二次函数及其图象复习课问题串.docx

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二次函数及其图象复习课问题串

二次函数及其图象复习课（问题串）

二次函数及其图象复习课

问题串式教学设计

一、教材分析

1．地位和作用

（1）函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一.二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一,更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。

在历届中考试题中，二次函数都是不可缺少的内容。

（2）二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。

（3）二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会贯通.

2．课标要求：

会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。

会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题。

3．学情分析

（1）初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识。

（2）学生的分析、理解能力较学习新课时有明显提高。

（3）学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力。

（4）学生能力差异较大，两极分化明显。

4．教学目标

◆认知目标

（1）掌握二次函数y=ax2+bx+c图像与系数符号之间的关系。

◆能力目标

提高学生对知识的整合能力和分析能力.

◆情感目标

制作动画增加直观效果,激发学生兴趣,感受数学之美.在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。

5．教学重点与难点：

重点：

掌握二次函数y=ax2+bx+c图像与系数符号之间的关系。

难点：

已知二次函数的解析式说出函数性质

二、教学方法：

1.师生互动探究式教学，以课标为依据，渗透新的教育理念，遵循教师为主导、学生为主体的原则，结合初三学生的求知心理和已有的认知水平开展教学．形成学生自动、生生助动、师生互动，教师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于学生能力的提高、思维的训练。

同时考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节中进行分层施教，让每一个学生都能获得知识，能力得到提高。

三、学法指导：

1．学法引导

“授人之鱼，不如授人之渔”在教学过程中，不但要传授学生基本知识，还要培育学生主动思考，亲自动手，自我发现等能力，增强学生的综合素质，从而达到教学终极目标。

2．学法分析：

新课标明确提出要培养“可持续发展的学生”，因此教师有组织、有目的、有针

定：

①的符号决定抛物线的开口方向

②的符号决定抛物线与y轴交点的位置

③的符号决定抛物线与x轴交点的位置

④a、b号，对称轴在y轴的左侧

（设计意图：

通过问题串的形式展现知识点，学生在回答这些问题的同时也就是复习知识，巩固知识的时候，学生自主完成，不仅体现学生的自主学习意识，调动学生学习积极性，也能为课堂教学扫清障碍。

）

一、课堂训练：

1、抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是___________．

2、当m=时，函数y=

+3x是二次函数

3、函数y=ax2－ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值和交点坐标分别为；

4、直线y=x+2与抛物线y=x2+2x的交点坐标是　　　　　　；

5．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：

甲：

对称轴是直线x＝4；　　　　乙：

与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：

与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：

___________　　　．

6．抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则a0,b0,c0，b2-4ac0

第8题图

7．已知一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋bx＋c，它们在同一坐标系内的大致图象是（　）

（A）（B）（C）（D）

8．把抛物线y=x2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为。

（设计意图：

为了更好地理解、掌握二次函数图像和性质，根据不同学生的学习需要，按照分层递进的教学原则，设计安排了8个不同知识点的问题．让每一个学生都能为下一步的探究做好准备。

）

三、课后作业：

1．抛物线

的对称轴是（）

A、直线x=－3B、直线x=3

C、直线x=－2D、直线x=2

2．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0,3）的抛物线的解析式__________________________________；

3．已知抛物线

与x轴交点的横坐标是－1，则a＋c＝。

4．二次函数

的对称轴是x＝。

5．已知点

在函数

的图象上，则

的大小关系为（）（A）

（B）

（C）

（D）

6．已知二次函数

的图象与x轴交于点A、B两点，在x轴上方的

抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则C点的坐标为_________________；

7．已知二次函数y=ax2-4x+3的图象经过点（-1，8）。

（1）求此二次函数的解析式；

（2）根据图象回答：

当函数值y<0时，x的取值范围是什么？

8．已知抛物线的对称轴是x=1，它与直线

相交于点A（1，－1），与y轴相交于点B（0，3），求解下列问题：

（1）求k的值；　　　　　　　　　　　　　

（2）求抛物线的解析式；

（3）求抛物线的顶点坐标。

9．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．

根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；

（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

（设计意图：

运用知识，体验成功，根据不同层次的学生，同时配有两个由低到高、层次不同的巩固性习题，体现渐进性原则，希望学生能将知识转化为技能。

让每一个学生获得成功，感受成功的喜悦。

）

（四）方法与小结

由总结、归纳、反思，加深对知识的理解，并且能熟练运用所学知识解决问题．

五、评价分析：

本节课的设计，我以学生活动为主线，通过“观察、分析、探索、交流”等过程，让学生在复习中温故而知新，在应用中获得发展，从而使知识转化为能力。

本节教学过程主要由创设情境，引入新知――合作交流；探究新知――运用知识，体验成功；知识深化――应用提高；归纳小结――形成结构等环节构成，环环相扣，紧密联系，体现了让学生成为行为主体即“动手实践、自主探索、合作交流“的《数学新课标》要求。

二次函数解析式复习教案—

问题串式教学设计

一、教材分析

1．地位和作用

（1）.二次函数解析式在二次函数的教学中占重要地位，它不仅是二次函数学习的基础，也是二次函数教学的重点和难点之一,特别是灵活选择三种解析式是很关键的。

（2）二次函数解析式教学体现了数形结合的数学思想、二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，对学生基本数学思想和素养的形成有一定的作用。

2．课标要求：

通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。

3．教学目标

1．了解二次函数解析式的三种方法表示.

2．会用待定系数法求二次函数的解析式.

3．能从某些实际问题中抽象出二次函数的解析式.

4．教学重点与难点：

重点：

各类形式的二次函数解析式的求解方法和思路.

难点：

运用数形结合思想,选用恰当的数学关系式解决几何问题.

二、教学方法：

1．将知识点分类，让学生通过这个框架结构很容易看出不同解析式表示的二次函数的内在联系，让学生形成一个清晰、系统、完整的知识网络。

2．运用多媒体进行辅助教学，既直观、生动地反映图形变换，增强教学的条理性和形象性，又丰富了课堂的内容，有利于突出重点、分散难点，更好地提高课堂效率。

三、学法指导：

1、设计理念：

《课标》要求，对于课程实施和教学过程，教师在教学过程中应与学生积极互动、共同发展，要处理好传授知识与培养能力的关系，关注个体差异，满足不同学生的学习需要．”

2、设计思路：

不把复习课简单地看作知识点的复习和习题的训练，而是通过复习旧知识，拓展学生思维，提高学生学习能力，增强学生分析问题，解决问题的能力。

四、教学过程：

1.知识点问题：

用待定系数法求二次函数的解析式时可首先设解析式（用字母表示）为

①一般式___________________；②顶点式_____________；③两根式_____________。

2．例题展示1

（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；

（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线过点（—2，5），（4，5），且有最小值为y=3，求此函数关系式。

（4）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式；

（5）图象顶点坐标是（-1,9）,与x轴两交点间的距离是6.

（6）已知△ABC中，A（-1，0），C（0，4），点B在x轴正半轴上，且三角形ABC的面积为6.试求过A、B、C三点的抛物线的解析式。

（设计意图：

让学生通过问题串看出不同解析式表示的二次函数的内在联系，和各自的优点让学生形成一个清晰、系统、完整的知识网络。

）

例2,若点P（1,a）和Q（-1,b）都在抛物线y=—X2+1上，则线段PQ的长是

分析：

既然P、Q两点在y=—X2+1上，那么就可求出a与b的值，这样就确定了P、Q两点的坐标，进而求出PQ的长。

解：

依题意有a=-12+1

b=-（-1）2+1

∴P（1,0）,Q（-1,0）

∴a=0

b=0

∴PQ=1-（-1）=2

例3,已知抛物线y=-X2+bX+c与x轴的两个交点分别为A（m,o）,B（n,o）,且m+n=4,m/n=1/3.

（1）求此抛物线的解析式y

设此抛物线与y轴的交点为C（如下图）

AB

（2）过C作一条平行于X轴的直线交抛物线于另一点P求△ACP的面积S△ACP。

分析：

利用m+n=4，m/n+1/3，求出m,n的值，进而求出A，B两点坐标

代入y=-X2+bX+c之中，即可求得b,c.

先求得C点坐标，进而求出P点坐标，利用S△ACP=1/2CP×OC，可求得

△ACP的面积。

解：

（1）由m+n=4

m/n=1/3

解得m=1

n=3

将A（1，0），B（3，0）的坐标代入y=-X2+bX+c得

解得b=4

c=-3

所以，此抛物线的解折式为y=-X2+4X-3.

抛物线y=-X2+4X-3.与y轴相交于点C（0,3）,令y=-3,则有-3=-X2+4X-3

解之X1=0

X2=4

所以点P的坐标为P（4，-3），CP=4

所以S△ACP=

×CP×OC=

×4×3=6

例4、某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产。

已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：

当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为

元，年销售量为

万件，年获利（年获利＝年销售额－生产成本－投资）

万元。

（1）试写出

与

之间的函数关系式；（不必写出

的取值范围）

（2）试写出

与

之间的函数关系式；（不必写出

的取值范围）

（3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？

相应的年销售量分别为多少万件？

（4）公司计划：

在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年年获利不低于1130万元。

请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价

（元）应确定在什么范围内？

解：

（1）依题意知，当销售单价定为x元时，年销售量减少

（x-100）万件.

∴y=20-

（x-100）=-

x+30.即y与x之间的函数关系式是:

y=-

x+30.

（2）由题意，得：

z=（30-

）（x-40）-500-1500=-

x2+34x-3200.

即z与x之间的函数关系式是:

z=-

x2+34x-3200.

（3）∵当x取160时，z=-

×1602+34×160-3200=-320.

∴-320=-

x2+34x-3200.

整理，得x2-340+28800=0.

由根与系数的关系，得160+x=340.∴x=180.

即同样的年获利，销售单价还可以定为180元.

当x=160时，y=-

×160+30=14;

当x=180时，y=-

×180+30=12.

即相应的年销售量分别为14万件和12万件.

（4）∵z=-

x2+34x-3200=-

（x-170）2-310.

∴当x=170时，z取最大值，最大值为-310.

也就是说：

当销售单价定为170元时，年获利最大，并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资.

第二年的销售单价定为x元时，则年获利为：

z=（30-

x）（x-40）-310

=-

x2+34x-1510.

当z=1130时，即1130=-

+34-1510.

整理，得x2-340x+26400=0.解得x1=120,x2=220.

函数z=-

x2+34x-1510的图象大致如图所示：

由图象可以看出：

当120≤x≤220时，z≥1130.

所以第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内.

二次函数综合应用复习教案

问题串式教学设计

教学目的:

1.掌握二次函数式的应用，理解并掌握二次函数的应用。

2、体会并理解掌握数形结合思想在解题中的作用；

教学分析：

重点：

理解并掌握二次函数的定义以及应用。

难点：

数形结合思想在解题中的作用；

教学方法:

讲练结合，以练为主．

自主探究，合作交流：

本环节通过开放性题的设置，发散学生思维，学生对二次函数的性质作出全面分析。

让学生在教师的引导下，独立思考，相互交流，培养学生自主探索，合作探究的能力。

通过学生观察、思考、交流，经历发现过程，加深对重点知识的理解。

教学过程:

一、例题分析：

1、下列函数关系中，可以看作二次函数

模型的是（）．

（A）在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

（B）我国人口年自然增长率为1％，这样我国人口总数随年份的变化关系

（C）竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）

（D）圆的周长与圆的半径之间的关系

（设计意图：

通过此问题让学生明确二次函数应用的条件）

例2、已知抛物线

（m为常数）与x轴交于A,B两点，且线段AB的长为

（1）求m的值；

（2）若该抛物线的顶点为P，（3）求

的面积。

例3、已知抛物线y=

和直线y=ax+1

（1）求证：

不论a取何值，抛物线与直线必有两个不同的交点；

（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线与直线的两个交点，点P为线段AB的中点，且点P的横坐标为

，试用a表示点P的纵坐标；

（3）函数A、B两点的距离

，试用a表示d。

（设计意图：

通过例2、3问题让学生加强对抛物线与x轴、y轴和其他直线的位置关系的理解认识）

例4、某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少10件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大？

并且求出最大利润是多少？

（设计意图：

让学生在实际生活中学会主动用数学知识解决问题的意识，形成生活中处处有数学的理念）

三、巩固训练：

1．一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下面宽度为20米，拱顶距离水面4米；

（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；

（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（米）时，桥下水面的宽度为d（米）。

试求出将d表示为h的函数解析式。

（3）设正常水位时桥下的水深为2米，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？

四、课后训练：

1．具店出售书包和文具盒，书包每个定价30元，文具盒每个定价5元，该店制定了两种优惠方案：

①买一个书包赠送一个文具盒。

②按总价九折付款。

某班需购8个书包，文具盒若干（不少于8个）如果设购文具盒数为x（个），付款为y（元）；

（1）分别求出两种优惠方案中y与x之间的函数关系式；

（2）若购文具盒60个，两种方案中哪一个更省钱？

2。

知抛物线y=

和直线y=ax+1

a）求证：

不论a取何值，抛物线与直线必有两个不同的交点；

b）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线与直线的两个交点，点P为线段AB的中点，且点P的横坐标为

，试用a表示点P的纵坐标；

c）函数A、B两点的距离

，试用a表示d。

3．如图已知抛物线

与x轴有两个交点A、B，点A在x轴正半轴上，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB。

（1）求m的值；

（2）求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴和顶点C的坐标；（3）问在抛物线上是否存在一点M，使△MAC≌△OAC，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

4．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。

要跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面

米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误，

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）在某次试跳中，测得运动员在空中运动路线是如图抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为

米，问此次跳水会不会失误？

并通过计算说明理由。

5．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3，AD=2，将此矩形置于直角坐标系xoy中，使AB在x轴上，点C在直线上y=x－2。

（1）按题设画出图形，并求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；

（2）若直线y=x－2与y轴交于点E，抛物线y=ax2+bx+c过E、A、B三点，求抛物线的解析式；（3）判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD的内部？

并说明理由。

6．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。

（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。

（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。

（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？

7．善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间

（单位：

分钟）与学习收益量

的关系如图1所示，用于回顾反思的时间

（单位：

分钟）与学习收益

的关系如图2所示（其中

是抛物线的一部分，

为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．

（1）求小迪解题的学习收益量

与用于解题的时间

之间的函数关系式；

（2）求小迪回顾反思的学习收益量

与用于回顾反思的时间

的函数关系式；

（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大？

后记：

课后训练的6个题目分别从二次函数与生活应用联系、与直线的位置关系、数形结合思想、存在性探索问题、如何求最大小值、分段分类谈论思想突出了二次函数的综合应用，展现二次函数功能的全面性，激发学生的兴趣，让学生体会享受学习的成功乐趣。