高二数学演绎推理测试题.docx

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高二数学演绎推理测试题

选修2-22.1.2演绎推理

一、选择题

1．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是（　　）

A．正方形都是对角线相等的四边形

B．矩形都是对角线相等的四边形

C．等腰梯形都是对角线相等的四边形

D．矩形都是对边平行且相等的四边形

[答案]　B

[解析]　由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：

矩形是对角线相等的四边形．故应选B.

2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是（　　）

A．大前提错　　　　　　　

B．小前提错

C．结论错

D．正确的

[答案]　D

[解析]　前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D.

3．《论语·学路》篇中说：

“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（　　）

A．类比推理

B．归纳推理

C．演绎推理

D．一次三段论

[答案]　C

[解析]　这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．

4．“因对数函数y＝logax（x>0）是增函数（大前提），而y＝log

x是对数函数（小前提），所以y＝log

x是增函数（结论）”．上面推理的错误是（　　）

A．大前提错导致结论错

B．小前提错导致结论错

C．推理形式错导致结论错

D．大前提和小前提都错导致结论错

[答案]　A

[解析]　对数函数y＝logax不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的．

5．推理：

“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是（　　）

A．①

B．②

C．③

D．①②

[答案]　B

[解析]　由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.

6．三段论：

“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是（　　）

A．①

B．②

C．①②

D．③

[答案]　B

[解析]　易知应为②.故应选B.

7．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理（　　）

A．大前提错

B．小前提错

C．推论过程错

D．正确

[答案]　C

[解析]　大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C.

8．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理（　　）

A．正确

B．推理形式正确

C．两个自然数概念不一致

D．两个整数概念不一致

[答案]　A

[解析]　三段论的推理是正确的．故应选A.

9．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为（　　）

[答案]　A

[解析]　如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一概念S，这时三者的包含可表示为

；

如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时三者的关系应为

．故应选A.

10．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（　　）

A．使用了归纳推理

B．使用了类比推理

C．使用了“三段论”，但大前提使用错误

D．使用了“三段论”，但小前提使用错误

[答案]　D

[解析]　应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．

二、填空题

11．求函数y＝

的定义域时，第一步推理中大前提是

有意义时，a≥0，小前提是

有意义，结论是________．

[答案]　log2x－2≥0

[解析]　由三段论方法知应为log2x－2≥0.

12．以下推理过程省略的大前提为：

________.

∵a2＋b2≥2ab，

∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab.

[答案]　若a≥b，则a＋c≥b＋c

[解析]　由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：

若a≥b，则a＋c≥b＋c.

13．（2010·重庆理，15）已知函数f（x）满足：

f

（1）＝

，4f（x）f（y）＝f（x＋y）＋f（x－y）（x，y∈R），则f（2010）＝________.

[答案]　

[解析]　令y＝1得4f（x）·f

（1）＝f（x＋1）＋f（x－1）

即f（x）＝f（x＋1）＋f（x－1）　①

令x取x＋1则f（x＋1）＝f（x＋2）＋f（x）　②

由①②得f（x）＝f（x＋2）＋f（x）＋f（x－1），

即f（x－1）＝－f（x＋2）

∴f（x）＝－f（x＋3），∴f（x＋3）＝－f（x＋6）

∴f（x）＝f（x＋6）

即f（x）周期为6，

∴f（2010）＝f（6×335＋0）＝f（0）

对4f（x）f（y）＝f（x＋y）＋f（x－y），令x＝1，y＝0，得

4f

（1）f（0）＝2f

（1），

∴f（0）＝

即f（2010）＝

.

14．四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，四边形ABCD满足条件________时，VP－AOB恒为定值（写出一个你认为正确的一个条件即可）．

[答案]　四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等

[解析]　设h为P到面ABCD的距离，VP－AOB＝

S△AOB·h，

又S△AOB＝

|AB|d（d为O到直线AB的距离）．

因为h、|AB|均为定值，所以VP－AOB恒为定值时，只有d也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等．

三、解答题

15．用三段论形式证明：

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，则∠B＝∠C.

[证明]　如下图延长AB，DC交于点M.

①平行线分线段成比例大前提

②△AMD中AD∥BC小前提

③

＝

结论

①等量代换大前提

②AB＝CD小前提

③MB＝MC结论

在三角形中等边对等角大前提

MB＝MC小前提

∠1＝∠MBC＝∠MCB＝∠2结论

等量代换大前提

∠B＝π－∠1　∠C＝π－∠2小前提

∠B＝∠C结论

16．用三段论形式证明：

f（x）＝x3＋x（x∈R）为奇函数．

[证明]　若f（－x）＝－f（x），则f（x）为奇函数大前提

∵f（－x）＝（－x）3＋（－x）＝－x3－x＝－（x3＋x）＝－f（x）小前提

∴f（x）＝x3＋x是奇函数结论

17．用三段论写出求解下题的主要解答过程．

若不等式|ax＋2|＜6的解集为（－1,2），求实数a的值．

[解析]　推理的第一个关键环节：

大前提：

如果不等式f（x）＜0的解集为（m，n），且f（m）、f（n）有意义，则m、n是方程f（x）＝0的实数根，

小前提：

不等式|ax＋2|＜6的解集为（－1,2），且x＝－1与x＝2都使表达式|ax＋2|－6有意义，

结论：

－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根．

∴|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立．

推理的第二个关键环节：

大前提：

如果|x|＝a，a＞0，那么x＝±a，

小前提：

|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6，

结论：

－a＋2＝±6且2a＋2＝±6.

以下可得出结论a＝－4.

18．设A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．

（1）当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？

证明你的结论；

（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．

[解析]　

（1）F∈l⇔|FA|＝|FB|⇔A、B两点到抛物线的准线的距离相等．

∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意，y1，y2不同时为0.

∴上述条件等价于

y1＝y2⇔x

＝x

⇔（x1＋x2）（x1－x2）＝0.

∵x1≠x2，∴上述条件等价于x1＋x2＝0，即当且仅当x1＋x2＝0时，l经过抛物线的焦点F.

（2）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b；过点A、B的直线方程为y＝－

x＋m，所以x1，x2满足方程2x2＋

x－m＝0，得x1＋x2＝－

.

A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝

＋8m>0，即m>－

.设AB的中点N的坐标为（x0，y0），则

x0＝

（x1＋x2）＝－

，

y0＝－

x0＋m＝

＋m.

由N∈l，得

＋m＝－

＋b，于是

b＝

＋m>

－

＝

.

即得l在y轴上截距的取值范围是

.