线性代数网络导学阶段测试三.docx
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线性代数网络导学阶段测试三
一、单项选择题（共20题）
1.（4，0）能否表示成（-1，2），（3，2）和（6，4）的线性组合？
若能则表出系数为（ ）
A.能,系数不唯一
B.不能
C.能，-1，-1，1
D.能，-1，1，0
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】假定（4，0）=λ1（-1，2）+λ2（3，2）+λ3（6，4）
=（-λ1，2λ1）+（3λ2，2λ2）+（6λ3，4λ3）
=（-λ1+3λ2+6λ3，2λ1+2λ2+4λ3）
可得方程组：
因此，第一个向量是其余向量的线性组合，而且表示不唯一，它的表示式可为：
（4，0）=-（-1，2）-（3，2）+（6，4）
或
（4，0）=-（-1，2）+（3，2）+0·（6，4）
2.若m×n矩阵C中n个列向量线性无关，则C的秩（ ）
A.大于m
B.大于n
C.等于n
D.等于m
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】C的秩等于C的列向量组的秩，也等于C的行向量组的秩，而C的列向量组的秩为n，故选C。
3.下列说法不正确的是（ ）
A.若向量组的一个部分组线性相关，则向量组线性相关；若向量组线性无关则任意部分组
必线性无关.
B.两个向量线性相关的充分必要条件是分量成比例.
C.当向量个数小于维数时，向量组必线性相关.
D.当向量个数大于维数时，向量组必线性相关.
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】当向量个数大于维数时，向量组必线性相关.所以C选项是错的.
4.若向量组α1，α2，…，αs线性无关，β1，β2，…，βs是它的加长向量组，则β1，β2，…，βs的线性相关性是（ ）
A.线性无关
B.线性相关
C.既线性相关又线性无关
D.不确定
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】根据线性无关组的加长向量组也无关.
5.向量组
的一个极大线性无关组可以取为（ ）
A.α1
B.α1，α2
C.α1，α2，α3
D.α1，α2，α3，α4
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】可以把α1，α2，α3，α4组成一个矩阵，化简为阶梯形后，可见向量组的秩为3，α1，α2，α3可构成一个极大线性无关组，故选C。
6.对于向量组γi（i=1，2，…n）因为有0γ1+0γ2+…+0γn=0，则γ1，γ2，…，γn是（ ）向量组
A.全为零向量
B.线性相关
C.线性无关
D.任意
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】A和C显然不对，在向量线性相关的定义中，要求是不全为零的数，而现在所有的数全为零，任意一个向量组中的向量每个乘以零再求和永远等于零向量，因此无法判断这组向量是否线性相关，故应选Ｄ。
7.（-1，1）能否表示成（1，0）和（2，0）的线性组合？
若能则表出系数为（ ）
A.能,1,1
B.不能
C.能,-1,1
D.能,1,-1
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】假定（-1，1）=λ1（1，0）+λ2（2，0）,可以知道解不出λ1和λ2
8.设A是m行n列矩阵，B是m行k列矩阵，则（ ）
A.r（A,B）小于等于r（A）与r（B）之和
B.r（A,B）大于r（A）与r（B）之和
C.r（A,B）小于r（A）与r（B）之和
D.不确定
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】教材P100的推论
9.若向量组
，则该向量组（ ）
A.当a≠1时线性无关
B.线性无关
C.当a≠1且≠-2时线性无关
D.线性相关
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
10.设有向量组
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】不妨将每个向量看成是列向量，设A=（α1,…,αs）B=（β1,…,βt），则分块阵（A，B）的秩就是r3，因为r（A,B）≤r（A）+r（B），故r3≤r1+r2,即r3-r1≤r2，应该选择B。
11.
的秩为（ ）
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】向量组的秩的概念
12.若α1,α2线性无关，β是另外一个向量，则α1+β与α2+β（ ）
A.线性无关
B.线性相关
C.即线性相关又线性无关
D.不确定
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】例如，α1=（1,1）,α2=（0,2）,β=（-1,-1）
则α1,α2线性无关，而α1+β=（0,0）,α2+β=（-1,1）线性相关。
如果β=（0,0）,那么α1+β,α2+β还是线性无关的.
13.向量组
线性相关，则a的值为（ ）
A.1
B.2
C.4
D.5
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】
14.α1=（1,0,0）,α2=（2,1,0）,α3=（0,3,0）,α4=（2,2,2）的极大无关组是（ ）
A.α1,α2
B.α1,α3
C.α1,α2,α4
D.α1,α2,α3
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】本题考查极大无关组的定义，极大无关组必线性无关，但在原来那一组向量中任意取出一个向量加进去，就一定线性相关，由计算知α1,α2,α4线性无关，但α1,α2,α3,α4线性相关，所以选C。
15.向量组
的秩不为s（s≥2）的充分必要条件是（ ）
A.
全是非零向量
B.
全是零向量
C.
中至少有一个向量可由其它向量线性表出
D.
中至少有一个零向量
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
16.下列说法不正确的是（ ）
A.一个向量α线性相关的充分必要条件是α=0.
B.两个向量线性相关的充分必要条件是分量成比例.
C.n个n维向量线性相关的充分必要条件是相应的行列式为0.
D.当向量个数小于维数时，向量组必线性相关.
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】应该是当向量个数大于维数时，向量组必线性相关.
17.设β可由向量
线性表示，则下列向量中β只能是（）
A.（2，1，1）
B.（-3，0，2）
C.（1，1，0）
D.（0，-1，0）
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】因为β可由向量
线性表示，则β的第二个分量必为0，故只可能为B.
18.设α，β，γ都是n维向量，k，l是数，下列运算不成立的是（ ）
A.α＋β=β＋α；
B.（α+β）＋γ=α＋（β＋γ）；
C.α，β对应分量成比例，可以说明α=β；
D.α＋（－α）＝0
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
应该是α，β对应分量都相等，可以说明α=β。
19.设向量组
线性相关，则必可推出（ ）
A.
中至少有一个向量为零向量
B.
中至少有两个向量成比例
C.
中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合
D.
中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
20.
维向量组
线性相关的（ ）
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.即不必要也不充分条件
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】向量组的线性相关性的判别
一、单项选择题（共20题）
1.向量组
的秩
的充分必要条件是（ ）
A.
全是非零向量
B.
中任意两个向量都不成比例
C.
中任何一个向量都不能由其它向量线性表出
D.
中任意
个向量都线性无关
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】秩为s可以知道该向量组是线性无关的，又因为向量组线性相关的充分必要条件是其中存在一个向量能由其余向量线性表示.故答案为C.
2.设向量组
线性相关，则必可推出（ ）
A.
中至少有一个向量为零向量
B.
中至少有两个向量成比例
C.
中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合
D.
中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
3.α1=（1,0,0）,α2=（2,1,0）,α3=（0,3,0）,α4=（2,2,2）的极大无关组是（ ）
A.α1,α2
B.α1,α3
C.α1,α2,α4
D.α1,α2,α3
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】本题考查极大无关组的定义，极大无关组必线性无关，但在原来那一组向量中任意取出一个向量加进去，就一定线性相关，由计算知α1,α2,α4线性无关，但α1,α2,α3,α4线性相关，所以选C。
4.向量组
线性相关，则a的值为（ ）
A.1
B.2
C.4
D.5
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】
5.
的秩为（ ）
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】向量组的秩的概念
6.已知向量组
则向量组α1,α2,α3,α4,α5的一个极大无关组为（ ）
A.α1，α3
B.α1，α2
C.α1，α2，α5
D.α1，α3，α5
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】
7.下列说法不正确的是（ ）
A.一个向量α线性相关的充分必要条件是α=0.
B.两个向量线性相关的充分必要条件是分量成比例.
C.n个n维向量线性相关的充分必要条件是相应的行列式为0.
D.当向量个数小于维数时，向量组必线性相关.
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】应该是当向量个数大于维数时，向量组必线性相关.
8.若m×n矩阵C中n个列向量线性无关，则C的秩（ ）
A.大于m
B.大于n
C.等于n
D.等于m
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】C的秩等于C的列向量组的秩，也等于C的行向量组的秩，而C的列向量组的秩为n，故选C。
9.已知向量组
的一组基，则向量
在这组基下的坐标是（ ）
A.（2，3，1）
B.（3，2，1）
C.（1，2，3）
D.（1，3，2）
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】
10.向量组
的秩不为s（s≥2）的充分必要条件是（ ）
A.
全是非零向量
B.
全是零向量
C.
中至少有一个向量可由其它向量线性表出
D.
中至少有一个零向量
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
11.向量组A的任何一个部分组（ ）由该向量组线性表示。
A.都能
B.一定不能
C.不一定能
D.不确定
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】向量组的任何一个部分组都能由该向量组线性表示.
12.（-1，1）能否表示成（1，0）和（2，0）的线性组合？
若能则表出系数为（ ）
A.能,1,1
B.不能
C.能,-1,1
D.能,1,-1
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】假定（-1，1）=λ1（1，0）+λ2（2，0）,可以知道解不出λ1和λ2
13.
维向量组
线性相关的（ ）
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.即不必要也不充分条件
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】向量组的线性相关性的判别
14.向量组
线性无关的充分必要条件是（ ）
A.
均不为零向量
B.
中任意两个向量不成比例
C.
中任意s-1个向量线性无关
D.
中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】向量组α1=（1，0），α2=（2，0）虽都不为零向量，但线性相关.
向量组α1=（1，0），α2=（0，1），α3=（1，1）中任意两个向量不成比例，但线性相关.且此向量组中任意两个向量都线性无关，故A，B，C都不对.因为向量组线性相关的充分必要条件是其中存在一个向量能由其余向量线性表示.故答案为D.
15.设有向量组
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】不妨将每个向量看成是列向量，设A=（α1,…,αs）B=（β1,…,βt），则分块阵（A，B）的秩就是r3，因为r（A,B）≤r（A）+r（B），故r3≤r1+r2,即r3-r1≤r2，应该选择B。
16.（4，0）能否表示成（-1，2），（3，2）和（6，4）的线性组合？
若能则表出系数为（ ）
A.能,系数不唯一
B.不能
C.能，-1，-1，1
D.能，-1，1，0
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】假定（4，0）=λ1（-1，2）+λ2（3，2）+λ3（6，4）
=（-λ1，2λ1）+（3λ2，2λ2）+（6λ3，4λ3）
=（-λ1+3λ2+6λ3，2λ1+2λ2+4λ3）
可得方程组：
因此，第一个向量是其余向量的线性组合，而且表示不唯一，它的表示式可为：
（4，0）=-（-1，2）-（3，2）+（6，4）
或
（4，0）=-（-1，2）+（3，2）+0·（6，4）
17.对于向量组γi（i=1，2，…n）因为有0γ1+0γ2+…+0γn=0，则γ1，γ2，…，γn是（ ）向量组
A.全为零向量
B.线性相关
C.线性无关
D.任意
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】A和C显然不对，在向量线性相关的定义中，要求是不全为零的数，而现在所有的数全为零，任意一个向量组中的向量每个乘以零再求和永远等于零向量，因此无法判断这组向量是否线性相关，故应选Ｄ。
18.α，β，γ是三维列向量，且|α，β，γ|≠0，则向量组α，β，γ的线性相关性是（ ）
A.线性无关
B.线性相关
C.既线性相关又线性无关
D.不确定
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】首先排除C，因为向量不可能线性相关又线性无关,只能是相关或者无关.再根据教材91页两个重要结论得出本题答案为A
19.向量组
的一个极大线性无关组可以取为（ ）
A.α1
B.α1，α2
C.α1，α2，α3
D.α1，α2，α3，α4
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】可以把α1，α2，α3，α4组成一个矩阵，化简为阶梯形后，可见向量组的秩为3，α1，α2，α3可构成一个极大线性无关组，故选C。
20.设α，β，γ都是n维向量，k，l是数，下列运算不成立的是（ ）
A.α＋β=β＋α；
B.（α+β）＋γ=α＋（β＋γ）；
C.α，β对应分量成比例，可以说明α=β；
D.α＋（－α）＝0
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
应该是α，β对应分量都相等，可以说明α=β。
一、单项选择题（共20题）
1.向量组
线性相关，则a的值为（ ）
A.1
B.2
C.4
D.5
【正确答案】A
【您的答案】B
【答案解析】
2.下列说法不正确的是（ ）
A.一个向量α线性相关的充分必要条件是α=0.
B.两个向量线性相关的充分必要条件是分量成比例.
C.n个n维向量线性相关的充分必要条件是相应的行列式为0.
D.当向量个数小于维数时，向量组必线性相关.
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】应该是当向量个数大于维数时，向量组必线性相关.
3.已知向量组
的一组基，则向量
在这组基下的坐标是（ ）
A.（2，3，1）
B.（3，2，1）
C.（1，2，3）
D.（1，3，2）
【正确答案】B
【您的答案】B 【答案正确】
【答案解析】
4.若m×n矩阵C中n个列向量线性无关，则C的秩（ ）
A.大于m
B.大于n
C.等于n
D.等于m
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】C的秩等于C的列向量组的秩，也等于C的行向量组的秩，而C的列向量组的秩为n，故选C。
5.下列说法不正确的是（ ）
A.若向量组的一个部分组线性相关，则向量组线性相关；若向量组线性无关则任意部分组
必线性无关.
B.两个向量线性相关的充分必要条件是分量成比例.
C.当向量个数小于维数时，向量组必线性相关.
D.当向量个数大于维数时，向量组必线性相关.
【正确答案】C
【您的答案】B
【答案解析】当向量个数大于维数时，向量组必线性相关.所以C选项是错的.
6.向量组
的秩不为s（s≥2）的充分必要条件是（ ）
A.
全是非零向量
B.
全是零向量
C.
中至少有一个向量可由其它向量线性表出
D.
中至少有一个零向量
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
7.向量组
的一个极大线性无关组可以取为（ ）
A.α1
B.α1，α2
C.α1，α2，α3
D.α1，α2，α3，α4
【正确答案】C
【您的答案】B
【答案解析】可以把α1，α2，α3，α4组成一个矩阵，化简为阶梯形后，可见向量组的秩为3，α1，α2，α3可构成一个极大线性无关组，故选C。
8.α，β，γ是三维列向量，且|α，β，γ|≠0，则向量组α，β，γ的线性相关性是（ ）
A.线性无关
B.线性相关
C.既线性相关又线性无关
D.不确定
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】首先排除C，因为向量不可能线性相关又线性无关,只能是相关或者无关.再根据教材91页两个重要结论得出本题答案为A
9.向量组
的秩
的充分必要条件是（ ）
A.
全是非零向量
B.
中任意两个向量都不成比例
C.
中任何一个向量都不能由其它向量线性表出
D.
中任意
个向量都线性无关
【正确答案】C
【您的答案】B
【答案解析】秩为s可以知道该向量组是线性无关的，又因为向量组线性相关的充分必要条件是其中存在一个向量能由其余向量线性表示.故答案为C.
10.对于向量组γi（i=1，2，…n）因为有0γ1+0γ2+…+0γn=0，则γ1，γ2，…，γn是（ ）向量组
A.全为零向量
B.线性相关
C.线性无关
D.任意
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】A和C显然不对，在向量线性相关的定义中，要求是不全为零的数，而现在所有的数全为零，任意一个向量组中的向量每个乘以零再求和永远等于零向量，因此无法判断这组向量是否线性相关，故应选Ｄ。
11.若α1,α2线性无关，β是另外一个向量，则α1+β与α2+β（ ）
A.线性无关
B.线性相关
C.即线性相关又线性无关
D.不确定
【正确答案】D
【您的答案】B
【答案解析】例如，α1=（1,1）,α2=（0,2）,β=（-1,-1）
则α1,α2线性无关，而α1+β=（0,0）,α2+β=（-1,1）线性相关。
如果β=（0,0）,那么α1+β,α2+β还是线性无关的.
12.含有零向量的向量组（ ）
A.可能线性相关
B.必线性相关
C.可能线性无关
D.必线性无关
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】含有零向量的向量组必线性相关。
13.
维向量组
线性相关的（ ）
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.即不必要也不充分条件
【正确答案】A
【您的答案】B
【答案解析】向量组的线性相关性的判别
14.若向量组α1，α2，…，αs线性无关，β1，β2，…，βs是它的加长向量组，则β1，β2，…，βs的线性相关性是（ ）
A.线性无关
B.线性相关
C.既线性相关又线性无关
D.不确定
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】根据线性无关组的加长向量组也无关.
15.α1=（1,0,0）,α2=（2,1,0）,α3=（0,3,0）,α4=（2,2,2）的极大无关组是（ ）
A.α1,α2
B.α1,α3
C.α1,α2,α4
D.α1,α2,α3
【正确答案】C
【您的答案】B
【答案解析】本题考查极大无关组的定义，极大无关组必线性无关，但在原来那一组向量中任意取出一个向量加进去，就一定线性相关，由计算知α1,α2,α4线性无关，但α1,α2,α3,α4线性相关，所以选C。
16.
的秩为（ ）
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】向量组的秩的概念
17.设A是m行n列矩阵，B是m行k列矩阵，则（ ）
A.r（A,B）小于等于r（A）与r（B）之和
B.r（A,B）大于r（A）与r（B）之和
C.r（A,B）小于r（A）与r（B）之和
D.不确定
【正确答案】A
【您的答案】B
【答案解析】教材P100的推论
18.设向量组
线性相关，则必可推出（ ）
A.
中至少有一个向量为零向量
B.
中至少有两个向量成比例
C.
中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合
D.
中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
19.向量组（1，-1，0），（2，4，1），（1，5，1）的秩为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
【正确答案】B
【您的答案】B 【答案正确】
【答案解析】把向量组拼成矩阵并用初等变换求秩：
求出秩等于2.
20.设α，β，γ都是n维向量，k，l是数，下列运算不成立的是（ ）
A.α＋β=β＋α；
B.（α+β）＋γ=α＋（β＋γ）；
C.α，β对应分量成比例，可以说明α=β；
D.α＋（－α）＝0
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
应该是α，β对应分量都相等，可以说明α=β。
一、单项选择题（共20题）
1.向量组
的秩不为s（s≥2）的充分必要条件是（ ）
A.
全是非零向量
B.
全是零向量
C.
中至少有一个向量可由其它向量线性表出
D.
中至少有一个零向量
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
2.若m×n矩阵C中n个列向量线性无关，则C的秩（ ）
A.大于m
B.大于n
C.等于n
D.等于m
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】C的秩等于C的列向量组的秩，也等于C的行向量组的秩，而C的列向量组的秩为n，故选C。
3.下列说法不正确的是（ ）
A.若向量组的一个部分组线性相关，则向量组线性相关；若向量组线性无关则任意部分组
必线性无关.
B.两个向量线性相关的充分必要条件是分量成比例.
C.当向量个数小于维数时，向量组必线性相关.
D.当向量个数大于维数时，向量组必线性相关.
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】当向量个数大于维数时，向量组必线性相关.所以C选项是错的.
4.设α1=（1,1,0），α2=（0,1,1），α3=（1,0,1），试判断α1,α2,α3的相关性（ ）
A.线性无关
B.线性相关
C.既线性相关又线性无关
D.不确定
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】系数行列式
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