勾股定理学案.docx

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勾股定理学案

18.1勾股定理

（1）

教学时间：

学习目标：

了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

学习过程：

一.预习（阅读教材第64至66页，并完成预习内容。

）

1正方形A、B、C的面积有什么数量关系？

2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？

归纳：

等腰直角三角形三边之间的特殊关系。

二.新授

方法一；

如图，利用面积证明。

S正方形＝_______________＝____________________

方法二；

已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=______________

右边S=_______________

左边和右边面积相等，

即

化简可得。

归纳：

勾股定理的具体内容是。

三.练习

1.如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

（2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；

（3）三边之间的关系：

2.完成书上P69习题1、2

四.检测

1.在Rt△ABC中，∠C=90°

①若a=5，b=12，则c=___________；

②若a=15，c=25，则b=___________；

③若c=61，b=60，则a=__________；

④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。

2.已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

⑴c=。

（已知a、b，求c）

⑵a=。

（已知b、c，求a）

⑶b=。

（已知a、c，求b）

3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

4.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）

A、25B、14C、7D、7或25

5.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（　　）

A、56B、48C、40D、32

五.小结与反思

18.1勾股定理

（2）

教学时间：

学习目标：

会用勾股定理解决简单的实际问题。

学习过程：

一.预习（阅读教材第66至67页，并完成预习内容。

）

1.①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？

②直角三角形中哪条边最长？

2.在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长．

问题

（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？

（2）一个门框的尺寸如图所示．

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？

②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？

为什么？

二.新授

例：

如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．

①求梯子的底端B距墙角O多少米？

②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.

算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．

三.练习

1.书上P68练习1、2

2．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

3．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是

米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。

3题图1题图2题图

四.检测

1．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。

2．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？

3．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，

∠B=60°，则江面的宽度为。

4．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。

五.小结与反思

18.1勾股定理（3）

教学时间：

学习目标:

能利用勾股定理，在数轴上表示无理数。

一.预习（阅读教材第67至68页，并完成预习内容。

）

1.探究：

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示

的点吗？

2.分析：

如果能画出长为_______的线段，就能在数轴上画出表示

的点。

容易知道，长为

的线段是两条直角边都为______的直角边的斜边。

长为

的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？

利用勾股定理，可以发现，长为

的线段是直角边为正整数_____、______的直角三角形的斜边。

3.作法：

在数轴上找到点A，使OA=_____，作直线

垂直于OA，在

上取点B，使AB=_____，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示

的点。

4.在数轴上画出表示

的点？

（尺规作图）

二.新授

例1已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

例2已知：

如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。

⑵求S△ABC。

三.练习

1.完成书上P71第9题

2．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：

b=3：

4，则a=，b=。

（4）已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

2．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形面积。

四.检测

1．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是

cm，则另一条直角边的长是（）A.4cmB.

cmC.6cmD.

cm

2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（　　　）

A．42B．32C．42或32D．37或33

3．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（　）

A.9分米　　　　B.15分米　　　　C.5分米　　　　D.8分米

4．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

5.等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为.

五．小结与反思

18.2勾股定理的逆定理

（一）

教学时间：

学习目标

1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

一.预习新知（阅读教材P73—75,完成课前预习）

1.三边长度分别为3cm、4cm、5cm的三角形与以3cm、4cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？

你是怎样得到的？

2.如图18.2-2，若△ABC的三边长

、

、

满足

，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程．

3.定理与勾股定理之间的关系？

（1）什么叫互为逆命题

（2）什么叫互为逆定理

4.说出下列命题的逆命题。

这些命题的逆命题成立吗？

（1）两直线平行，内错角相等；

（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；

（3）全等三角形的对应角相等；

（4）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

二．新授

例1：

判断由线段

、

、

组成的三角形是不是直角三角形：

（1）

；

（2）

．

（3）

；（4）

；

三.练习

1.完成书上P75练习1、2

2.思考：

我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？

一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？

四.检测

1.若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．

2.已知：

如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。

求证：

△ABC是直角三角形。

五.小结与反思

18.2勾股定理逆定理

（2）

教学时间：

学习目标：

1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。

一.预习

已知：

如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

求：

四边形ABCD的面积。

归纳：

求不规则图形的面积时，要把不规则图形

二.新授

如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。

小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

三.练习

1.完成书上P76练习3

2.一个三角形三边之比为3：

4：

5，则这个三角形三边上的高值比为

A3:

4:

5B5:

4:

3C20:

15:

12D10:

8:

2

3.如果△ABC的三边a,b,c满足关系式

+（b-18）2+

=0则△ABC是_______三角形。

四.检测

1.若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）

A．等腰三角形；B．直角三角形；

C．等腰三角形或直角三角形；D．等腰直角三角形。

2.若△ABC的三边a、b、c，满足a：

b：

c=1：

1：

，试判断△ABC的形状。

3.已知：

如图，四边形ABCD，AB=1，BC=

，CD=

，AD=3，且AB⊥BC。

求：

四边形ABCD的面积。

4.小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。

小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

5.一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

6.已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=

，试判定△ABC的形状。

五.小结与反思

勾股定理复习

（1）

教学时间：

学习目标

1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.

2.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.

一.回顾

1.勾股定理：

（1）直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：

————————————.这就是勾股定理．

（2）勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．

．

2.勾股定理逆定理

“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.

3.勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）在数轴上作出表示

（n为正整数）的点．

（3）三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若

，则三角形是直角三角形；若

，则三角形是锐角三角形；若

，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．

二.新授

例1：

如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?

例2：

如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：

AD⊥BD．

三.练习

1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）

A．7，24，25B．3

，4

，5

C．3，4，5D．4，7

，8

2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍

3.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（　　）

A．6cm　　B．8．5cmC．

cmD．

cm

四.检测

1．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）

A．8cm　　B．10cm　　C．12cm　　D．14cm

2．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝＿＿＿

3．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿．

4．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？

五.小结与反思

勾股定理复习

（2）

教学时间：

学习目标

掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题．

一、考点分析：

考点一、已知两边求第三边

1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为______．

2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．

3．在数轴上作出表示

的点．

4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．

求①AD的长；②ΔABC的面积．

考点二、利用列方程求线段的长

1．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

考点三、判别一个三角形是否是直角三角形

1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：

（1）3、4、5

（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有

2.若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2（a>b>0）,则这个三角形是.

3.如图1，在△ABC中，AD是高，且

，求证：

△ABC为直角三角形。

考点四、灵活变通

1.在Rt△ABC中，a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c=

2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7

，8

，则以斜边为边长的正方形的面积为_________

．

3.如图：

在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，

则该地毯的长度至少是米。

考点五、能力提升

1.已知：

如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．

求证：

AB2-AC2=BC（BD-DC）．

二.检测

1．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（ ）．

   A．1：

1：

1   B．1：

1：

2   C．1：

2：

3   D．1：

4：

1

2．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）．

   A．6，7，8   B．5，6，7   C．4，5，6   D．3，4，5

3．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（ ）．

A．

cm2   B．2cm2   C．3cm2    D．4cm2

4.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（　　）

A．6cm　　B．8．5cmC．30／13cmD．60／13cm

5.有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．

6.一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶＿＿＿m．

7.一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿．

8.已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是．

9.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．

10.如图1所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?

11.已知：

如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．

求：

BD的长．

三.小结与反思