版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第一章 空间几何体复习 章末复习课 Word版含答案.docx

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版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第一章空间几何体复习章末复习课Word版含答案

学习目标.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.能熟练画出几何体的直观图或三视图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面化空间为平面的方法．

．空间几何体的结构特征及其侧面积和体积

名称

定义

图形

侧面积

体积

多

面

体

棱柱

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行

侧＝，为底面的周长，为高

＝

棱锥

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形

正棱锥侧＝′，为底面的周长，′为斜高

＝，为高

棱台

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分

正棱台侧＝（＋′）′，，′为底面的周长，′为斜高

＝（上＋下＋），为高

旋

转

体

圆柱

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体

侧＝π，为底面半径，为高

＝＝π

圆锥

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体

侧＝π，为底面半径，为高

＝＝π

圆台

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分

侧＝π（＋），，为底面半径，为母线

＝（上＋下＋）＝π（＋＋）

球

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体

球面＝π，为球的半径

＝π

．空间几何体的三视图与直观图

（）三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；

它包括正视图、侧视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．

（）斜二测画法：

主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：

①画轴；②画平行于、、轴的线段分别为平行于′、′、′轴的线段；③截线段：

平行于、轴的线段的长度不变，平行于轴的线段的长度变为原来的一半．

三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化.

（）转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面

①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线（折线）化为线段．

②等积变换，如三棱锥转移顶点等．

③复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等．

类型一空间几何体的结构特征

例根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．

（）由六个面围成，其中一个面是凸五边形，其余各面是有公共顶点的三角形；

（）一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转°形成的封闭曲面所围成的图形；

（）一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体．

解（）如图①，因为该几何体的五个面是有公共顶点的三角形，所以是棱锥，又其底面是凸五边形，所以是五棱锥．

（）如图②，等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转°形成半个圆台，故该几何体为圆台．

（）如图③，过直角梯形的顶点作⊥于点，将直角梯形分为一个直角三角形和一个矩形，绕旋转一周形成一个组合体，该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成．

反思与感悟与空间几何体结构特征有关问题的解题技巧

（）紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．

（）通过举反例对结构特征进行辨析，要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．

跟踪训练给出下列四种说法：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②底面为正多边形，且相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确的个数是（）

．．．．

答案

解析①连接上、下底面的圆周上两点连线要与轴平行才是母线；③直角三角形绕着直角边所在直线旋转一周才能形成圆锥；④棱台的上、下底面，相似．故只有②正确．

类型二三视图与斜二测画法

例（）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．

答案

解析该三棱锥的直观图如图所示，

并且⊥平面，

＝，＝，＝＝，

＝＝，

＝＝，

故最长．

（）如图，四边形是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，∥，⊥，且与轴平行，若＝，＝，＝，则原平面图形的实际面积是．

答案

解析将直观图中四边形还原为原图形四边形′′′′，由斜二测画法知′′⊥′′，′′＝，′′＝，′′＝，∴平面图形的实际面积为××（＋）＝.

反思与感悟（）空间几何体的三视图遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线用虚线表示．

（）斜二测画法：

主要用于水平放置的平面图画法或立体图形的画法．它的主要步骤：

①画轴；②画平行于，，轴的线段分别为平行于′，′，′轴的线段；③截线段，平行于，轴的线段的长度不变，平行于轴的线段的长度变为原来的一半．

跟踪训练若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）

答案

解析项的正视图如图（），项的正视图如图（），故均不符合题意；项的俯视图如图（），也不符合题意，故选.

类型三空间几何体的体积和表面积

例（）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

＋π＋π

＋π．＋π

答案

解析由三视图知，半球的半径＝，四棱锥为底面边长为，高为的正四棱锥，∴＝×××＋×π×＝＋π，故选.

（）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）

．＋．＋

．＋．

答案

解析由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．

直角梯形斜腰长为＝，

所以底面周长为＋，

侧面积为×（＋）＝＋，

两底面的面积和为×××（＋）＝，

所以该几何体的表面积为＋＋＝＋.

反思与感悟（）以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

（）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积问题要注意衔接部分的处理．

（）旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

跟踪训练在四棱锥—中，底面为梯形，∥＝，为的中点，设—的体积为，那么三棱锥—的体积为多少？

解设点到平面的距离为，点到平面的距离为，连接.因为是的中点，

所以—＝，

所以—＝－—.

而—＝—，—＝—，

所以＝＝.

因为，到平面的距离即为到平面的距离，

而∥，且＝，所以＝.

所以—＝－＝.

类型四与几何体有关的最值问题

例长方体—中，宽、长、高分别为、、，现有一个小虫从出发沿长方体表面爬行到来获取食物，则其路程的最小值为．

答案

解析把长方体含的面作展开图，有三种情形如图所示，利用勾股定理可得的长分别为、、.

由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为.

反思与感悟求几何体表面上两点间的最短路径的一般思路是化“曲”为“直”，其步骤为：

（）将几何体沿着某条棱剪开后展开，画出其表（侧）面展开图；（）将所求曲线（或折线）问题转化为平面上的线段问题；（）结合已知条件求得．

跟踪训练如图所示，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点从出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路径的长为．

答案

解析如图所示，将两个三棱柱的侧面沿侧棱展开并拼接，则最短路径为＝＝.

．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个冰面直径为，深为的空穴，则这个球的半径为（）

．．．．

答案

解析冰面空穴是球的一部分，截面图如图所示，设球心为，冰面圆的圆心为，球半径为，

由图知＝，＝＝，

＝－＝－，

在△中，由勾股定理＝（－）＋，

解得＝（）．

．将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为（）

答案

解析俯视图从图形的上边向下边看，看到一个正方形的底面，在底面上有一条对角线，对角线是由左上角到右下角的线，故选.

．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（）

．∶．∶∶．∶

答案

解析若圆锥的高等于底面直径，则＝，则母线＝＝，而圆锥的底面面积为π，圆锥的侧面积为π＝π，故圆锥的底面积与侧面积之比为∶.

．某几何体的三视图如图所示（单位：

），则该几何体的表面积是，体积是.

答案

解析由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为，下面长方体的底面边长为，高为，其直观图如图所示，其表面积＝×＋×＋××－×＝（）．体积＝××＋××＝（）．

．如图所示，在所有棱长均为的正三棱柱上，有一只蚂蚁从点出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达′点，求爬行的最短路程．

解将三棱柱沿′展开，如图所示，

则′的长为最短路程，

即′＝＝.

．研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．

．圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题解决．

课时作业

一、选择题

．给出下列命题中正确的是（）

．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

．底面是矩形的平行六面体是长方体

．棱柱的底面一定是平行四边形

．棱锥的底面一定是三角形

答案

解析平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成两个棱柱，故正确；三棱柱的底面是三角形，故错误；底面是矩形的平行六面体的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故错误；四棱锥的底面是四边形，故错误．故选.

．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：

①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是（）

．①②．②③．①③．①②③

答案

解析根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形．

．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：

置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式≈.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为.那么，近似公式≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为（）

答案

解析设圆锥的底面半径为，则圆锥的底面周长＝π，∴＝，∴＝π＝.令＝，提π＝，故选.

．某几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）

答案

解析根据几何体的正视图，得当几何体是球体与圆柱体的组合体，且球半径与底面圆半径相等时，俯视图是；当几何体上部为平放的圆柱体，下部为正方体的组合体，圆柱的高与底面圆直径都等于正方体的棱长时，俯视图是；当几何体的上部为球体，下部为正方体的组合体，且球为正方体的内切球时，其俯视图是；为俯视图时，与正视图矛盾，所以不成立．故选.

．已知一个半径为的球的内接正四棱柱的高为，则该正四棱柱的表面积为（）

．．．．

答案

解析设正四棱柱的底面边长为，则＋＝，

∴＝，∴该正四棱柱的表面积为×＋××＝，故选.

．某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半径为的半圆），则该几何体的体积为（）

．＋π．＋π

．＋π．＋π

答案

解析由三视图知，几何体是半圆柱与长方体的组合体，下面长方体的长、宽、高分别是、、，体积为××＝，上面半圆柱的半径为，高为，体积为·π··＝π，∴几何体的体积＝半圆柱＋长方体＝＋π，故选.

．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

．．．．

答案

解析由已知中的三视图，可得该几何体是一个长方体和三棱柱的组合体，其表面积相当于长方体的表面积和三棱柱的侧面积和，故＝×（×＋×＋×）＋（＋＋）×＝，故选.

二、填空题

．如图，正方形的边长为，所对的圆心角∠＝°，将图形绕所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为．

答案π

解析由题意知，形成的几何体是组合体：

上面是半球、下面是圆柱，

∵正方形的边长为，∠＝°，

∴球的半径是，圆柱的底面半径是，母线长是，

∴形成的几何体的表面积＝π×＋π××＋×π×＝π，故答案为π.

.一个水平放置的圆柱形储油桶（如图所示），桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是．

答案－

解析设圆柱桶的底面半径为，

高为，油桶直立时油面的高度为，

由题意知，油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为，

则＝π，所以＝－.

．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，其表面积为．

答案π＋π＋＋

解析由三视图可知，此几何体是由上下两部分组成的，上面是一个横放的半圆柱，下面是一个四棱锥，可得该几何体的体积为×π××＋××＝π＋，其表面积为π××＋π×＋××＋×××＝π＋＋.

．如图，在上、下底面对应边的比为∶的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为．

答案∶（或∶）

解析设三棱台的上底面面积为，则下底面面积为，高为，则

＝（＋＋）＝，

设剩余的几何体的体积为，则＝－＝，

所以体积之比为∶或∶.

三、解答题

．如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的侧面积为π，＝，∠＝°，试求三棱锥－的体积．

解圆柱侧＝π··＝π·＝π，

∴＝，

∵∠＝°，＝＝，

∴＝，＝＝＝.

∴

＝△·＝××××＝.

．三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右面是它的正视图和侧视图．（单位：

）

（）画出该多面体的俯视图；

（）按照给出的尺寸，求该多面体的体积．

解（）作出俯视图如下．

（）所求多面体的体积＝长方体－正三棱锥＝××－×（××）×＝（）．

四、探究与拓展

．某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是（）

．①③．①③④

．①②③．①②③④

答案

解析若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不合要求，①③都是能符合要求的几何体，故选.

．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．

解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．

根据切线性质知，当球在容器内时，水深为，水面的半径为，则容器内水的体积为＝圆锥－球＝π·（）·－π＝π，而将球取出后，设容器内水的深度为，则水面圆的半径为，从而容器内水的体积是′＝π·（）·＝π，

由＝′，得＝.

即容器中水的深度为.