版高考13《运动图象追及和相遇问题》教学案含答案.docx

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版高考13《运动图象追及和相遇问题》教学案含答案

第3讲

运动图象　追及和相遇问题

考纲下载：

匀变速直线运动及其图象（Ⅱ）

　　　　主干知识·练中回扣——忆教材夯基提能

1．xt图象

（1）物理意义

反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律。

（2）图线斜率的意义

①图线上某点切线斜率的大小表示物体速度的大小；

②切线斜率的正负表示物体速度的方向。

（3）两种特殊的xt图象

①匀速直线运动的xt图象是一条倾斜的直线；

②若xt图象是一条平行于时间轴的直线，则表示物体处于静止状态。

2．vt图象

（1）物理意义

反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。

（2）图线斜率的意义

①图线上某点切线斜率的大小表示物体加速度的大小；

②图线上某点切线斜率的正负表示物体加速度的方向。

（3）两种特殊的vt图象

①匀速直线运动的vt图象是与横轴平行的直线；

②匀变速直线运动的vt图象是一条倾斜的直线。

（4）图线与时间轴围成的面积的意义

①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移大小；

②此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向。

3．追及问题

（1）后者追前者，追上时在同一位置且后者速度不小于前者。

（2）若后者追不上前者，速度相等时距离最小。

4．相遇问题

（1）同向运动时追及即相遇。

（2）相向运动相遇时，两物体位移大小之和等于初始间距。

巩固小练

1．判断正误

（1）xt图象和vt图象都表示物体运动的轨迹。

（×）

（2）xt图象和vt图象都只能描述直线运动。

（√）

（3）xt图象上两图线的交点表示两物体相遇。

（√）

（4）vt图象上两图线的交点表示两物体此时相遇。

（×）

（5）两个物体在追及过程中，物体之间的距离总是在逐渐减小。

（×）

（6）速度较大的汽车刹车一定能够避免与前方速度较小匀速运动的汽车相撞。

（×）

（7）两物体同向运动恰好不相碰的时刻速度相等。

（√）

[xt图象]

2．[多选]质点做直线运动的位移—时间图象如图所示，该质点（　　）

A．在第1s末速度方向发生了改变

B．在第2s和第3s的速度方向相反

C．在前2s内发生的位移为零

D．在第3s末和第5s末的位置相同

解析：

选AC　图象是位移—时间图象，图线的斜率的正负代表了速度的方向，A正确；斜率的大小，表示速度的大小，在1s～3s斜率不变，质点速度大小和方向不变，沿负方向做匀速直线运动，B错误；位移图象中纵轴为位移，前2s的位移为零，第3s末和第5s末位移一正一负，表示质点位置离原点距离一样但方向相反，C正确，D错误。

[vt图象]

3．[多选]如图是某物体做直线运动的速度—时间图象，下列有关物体运动情况判断正确的是（　　）

A．1s末物体的加速度大小为5m/s2

B．4s末物体离出发点最远

C．2s末与6s末物体的速度相同

D．8s末物体的加速度为零

解析：

选AB　vt图象的斜率表示加速度，由题图求得0～8s末加速度大小a＝5m/s2，A正确，D错误；前4s物体一直沿正方向运动，4s末物体离出发点最远，B正确；2s末物体的速度为10m/s,6s末物体的速度为－10m/s，二者大小相同，方向相反，C错误。

[追及相遇问题]

4．（2016·佛山模拟）甲车以加速度3m/s2由静止开始做匀加速直线运动，乙车落后2s在同一地点由静止出发，以加速度4m/s2做加速直线运动，两车运动方向一致，在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是（　　）

A．18m　　　B．23.5m　　　C．24m　　　D．28m

解析：

选C　当两车速度相同时相距最大，即a甲t甲＝a乙t乙，因为t甲＝t乙＋2，解得t乙＝6s，两车距离的最大值是Δx＝x甲－x乙＝

a甲t

－

a乙t

＝24m，故选项C正确。

　　　　核心考点·分类突破——析考点讲透练足

考点一

两类运动图象的比较

1．（2016·哈尔滨模拟）甲、乙两车某时刻由同一地点沿同一方向开始做直线运动，若以该时刻作为计时起点得到两车的位移－时间图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．t1时刻甲车从后面追上乙车

B．t1时刻两车相距最远

C．t1时刻两车的速度刚好相等

D．0～t1时间内，两车的平均速度相等

解析：

选D　t1时刻两车的位移相等，知乙车从后面追上甲车，故A、B错误；t1时刻两车图线切线的斜率不等，则速度不等，故C错误；0～t1时间内，两车的位移相等，时间相等，则平均速度相等，故D正确。

2．（2016·安阳模拟）《机动车驾驶证申领和使用规定》已经正式施行，司机闯黄灯要扣6分，被称为“史上最严交规”。

某小轿车驾驶员看到绿灯开始闪时，经短暂思考后开始刹车，小轿车在黄灯刚亮时恰停在停车线上，vt图象如图所示。

若绿灯开始闪烁时小轿车距停车线距离L＝10.5m，则绿灯开始闪烁到黄灯刚亮的时间t0为（　　）

A．0.5s　　　B．1.5s　　　C．3s　　　D．3.5s

解析：

选C　根据vt图象中图象与坐标轴围成的面积表示位移得x＝L＝6×0.5＋

×6×（t0－0.5）＝10.5m，解得t0＝3s，故C正确。

3．[多选]小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高度，其速度—时间图象如图所示，则由图象可知（g＝10m/s2）（　　）

A．小球下落的最大速度为5m/s

B．小球第一次反弹初速度的大小为3m/s

C．小球能弹起的最大高度为0.45m

D．小球能弹起的最大高度为1.25m

解析：

选ABC　由图象可知，0～0.5s小球自由下落，0.5s～0.8s小球第一次反弹，且小球下落的最大速度为5m/s，第一次反弹初速度的大小为3m/s，A、B正确；vt图象与t轴所围面积表示小球的位移，小球第一次反弹能弹起的高度最大，故小球能弹起的最大高度h＝

×3×0.3m＝0.45m，C正确，D错误。

　分析运动图象的2个注意点

　1.xt图象、vt图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值x、v与t一一对应。

　2.无论是xt图象还是vt图象，所描述的运动情况都是直线运动。

考点二

运动图象问题的解题思路

用图象来描述两个物理量之间的关系，是物理学中常用的方法。

它运用数和形的巧妙结合，恰当地表达各种现象的物理过程和物理规律。

运用图象解题的能力可归纳为以下两个方面：

1．读图

即从图象中获取有用信息作为解题的条件，弄清试题中图象所反映的物理过程及规律，从中获取有效信息，一般需要关注的特征量有三个：

第一：

关注横、纵坐标

（1）确认横、纵坐标对应的物理量各是什么。

（2）注意横、纵坐标是否从零刻度开始。

（3）坐标轴物理量的单位也不能忽视。

第二：

理解斜率、面积、截距的物理意义

（1）图线的斜率：

通常能够体现某个物理量的大小、方向及变化情况。

（2）面积：

由图线、横轴，有时还要用到纵轴及图线上的一个点或两个点到横轴的垂线段，所围图形的面积，一般都能表示某个物理量，如vt图象中的面积，表示位移。

（3）截距：

图线在纵轴上以及横轴上的截距。

第三：

分析交点、转折点、渐近线

（1）交点：

往往是解决问题的切入点。

（2）转折点：

满足不同的函数关系式，对解题起关键作用。

（3）渐近线：

往往可以利用渐近线求出该物理量的极值或确定它的变化趋势。

2．作图和用图

依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图象来研究和处理问题。

[典题1]　（2016·威海模拟）小明同学利用传感器绘出了一个沿直线运动的物体在不同运动过程中，加速度a、速度v、位移x随时间变化的图象，如图所示。

若该物体在t＝0时刻，初速度为零，则表示该物体沿单一方向运动的图象是（　　）

[解析]　选项A所描述的运动在0～2s内，位移先增大再减小，知运动的方向发生改变，故A错误；选项B所描述的运动在0～2s内速度为正值，向正方向运动，在2s～4s内速度为负值，向负方向运动，运动方向发生改变，故B错误；对于选项C,0～1s内加速度不变，做匀加速直线运动，1s～2s内加速度方向改变，大小不变，向正方向做匀减速直线运动，2s末速度为零，在一个周期内速度的方向不变，故C正确；对于选项D，在0～1s内，向正方向做匀加速直线运动，1s～2s内加速度方向改变，大小不变，向正方向做匀减速直线运动，2s末速度为零，2s～3s内向负方向做匀加速直线运动，运动的方向发生变化，故D错误。

[答案]　C

1.（2016·张掖模拟）a、b两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的vt图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．a、b加速时，物体a的加速度大于物体b的加速度

B．20s时，a、b两物体相距最远

C．60s时，物体a在物体b的前方

D．40s时，a、b两物体速度相等，相距200m

解析：

选C　vt图象的斜率表示加速度，因此在加速阶段，物体a的加速度小于物体b的加速度，A错误；20s时，物体b开始运动，在两物体速度达到相等之前，两物体之间的距离越来越大，40s时两物体相距最远，B错误；图象与时间轴围成的面积表示物体的位移，故60s时，物体a的位移为2100m，而b的位移为1600m，C正确；40s时，a、b两物体速度相等，物体a的位移为1300m，物体b的位移为400m，D错误。

2．（2014·全国新课标Ⅱ）甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。

在t＝0到t＝t1的时间内，它们的vt图象如图所示。

在这段时间内（　　）

A．汽车甲的平均速度比乙的大

B．汽车乙的平均速度等于

C．甲、乙两汽车的位移相同

D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大

解析：

选A　根据vt图象下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，C错误；根据

＝

得，

甲>

乙，A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于

，B错误；根据vt图象的斜率反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，D错误。

3．（2015·广东高考）甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动，前1小时内的位移—时间图象如图所示。

下列表述正确的是（　　）

A．0.2～0.5小时内，甲的加速度比乙的大

B．0.2～0.5小时内，甲的速度比乙的大

C．0.6～0.8小时内，甲的位移比乙的小

D．0.8小时内，甲、乙骑行的路程相等

解析：

选B　在0.2～0.5小时内，位移—时间图象是倾斜的直线，则物体做匀速直线运动，所以在0.2～0.5小时内，甲、乙两人的加速度都为零，选项A错误；位移—时间图象的斜率绝对值大小反映了物体运动速度的大小，斜率绝对值越大，速度越大，故0.2～0.5小时内甲的速度大于乙的速度，选项B正确；由位移—时间图象可知，0.6～0.8小时内甲的位移大于乙的位移，选项C错误；由位移—时间图象可知，0.8小时内甲、乙往返运动过程中，甲运动的路程大于乙运动的路程，选项D错误。

考点三

追及和相遇问题

1．追及相遇问题中的一个条件和两个关系

（1）一个条件：

即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

（2）两个关系：

即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。

2．追及相遇问题常见的情况

假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有三种常见情况：

（1）A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。

（2）要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。

（3）若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB。

3．解题思路和方法

题型一　追者匀速，被追者匀加速

[典题2]　一步行者以6.0m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25m处时，绿灯亮了，汽车以1.0m/s2的加速度匀加速启动前进，则（　　）

A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36m

B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7m

C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43m

D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远

[解析]　在跑到距汽车25m处时，绿灯亮了，汽车以1.0m/s2的加速度匀加速启动前进，当汽车加速到6.0m/s时二者相距最近。

汽车加速到6.0m/s所用时间t＝6s，人运动距离为6×6m＝36m，汽车运动距离为18m，二者最近距离为18m＋25m－36m＝7m，A、C错误，B正确；人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，D错误。

[答案]　B

题型二　追者匀速，被追者匀减速

[典题3]　如图所示，A、B两物体（可视为质点）相距x＝7m，物体A以vA＝4m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时的速度vB＝10m/s，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动，加速度大小为a＝－2m/s2，那么物体A追上物体B所用的时间为（　　）

A．7s　　　　B．8s　　　　C．9s　　　　D．10s

[解析]　物体B做匀减速运动，到速度为零时，所需时间t1＝

＝5s，运动的位移xB＝

＝

m＝25m，在这段时间内物体A的位移xA＝vAt1＝4×5m＝20m；显然还没有追上，此后物体B静止，设物体A追上物体B所用时间为t，则有4t＝（x＋25）m，代入数据解得t＝8s，B正确。

[答案]　B

题型三　追者匀减速，被追者匀速

[典题4]　（2016·西安联考）汽车正在以10m/s的速度在平直的公路上匀速前进，在它的正前方x处有一辆自行车以4m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做a＝－6m/s2的匀变速运动，若汽车恰好碰不上自行车，则x的大小为（　　）

A．8.33m　　　B．3m　　　C．3.33m　　　D．7m

[解析]　汽车减速到4m/s所需的时间t＝

＝1s，此时汽车的位移x1＝v1t＋

at2；自行车的位移x2＝v2t，若汽车恰好碰不上自行车，则有x2＋x＝x1，代入数据解得x＝3m，选项B正确。

[答案]　B

题型四　追者匀加速，被追者匀速

[典题5]　（2016·湛江模拟）现有一辆摩托车先由静止开始以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，后以最大行驶速度25m/s匀速行驶，追赶前方以15m/s的速度同向匀速行驶的卡车。

已知摩托车开始运动时与卡车的距离为200m，则：

（1）追上卡车前二者相隔的最大距离是多少？

（2）摩托车经过多少时间才能追上卡车？

[解析]　

（1）在追上卡车前二者速度相等时相距最大，设从开始经过t1时间速度相等，最大间距为xm，则

v＝at1

解得t1＝

＝6s

最大间距xm＝（x0＋vt1）－

at

＝245m

（2）由题意得摩托车匀加速运动最长时间

t2＝

＝10s

此过程的位移x2＝

＝125m

所以摩托车在达到最大速度之前没有追上卡车。

设从开始经过t时间摩托车追上卡车，则有

＋vm（t－t2）＝x0＋vt

解得t＝32.5s

[答案]　

（1）245m　

（2）32.5s

题型五　追者匀减速，被追者匀减速

[典题6]　甲、乙两车同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，速度分别为v甲＝8m/s，v乙＝16m/s。

在相距16m时，甲、乙两车同时刹车，甲车加速度大小为2m/s2。

问乙车加速度至少为多大时两车才不会相撞？

[解析]　甲、乙两车不相碰的条件是经过时间t，x乙≤x甲＋16m，当x乙＝x甲＋16m时正好不相撞。

设乙的加速度为a，两车速度相等时，两车距离最小。

则v乙－at＝v甲－2t，即t（a－2）＝8①

又因为x乙＝x甲＋16m

得16t－

at2＝8t－

×2t2＋16②

联立①②解得t＝4s，a＝4m/s2

即当a＝4m/s2时，两车正好不相撞，所以乙车的加速度至少应为4m/s2。

[答案]　4m/s2

　　　　专题突破训练

一、单项选择题

1.（2016·柳州模拟）某一质点运动的位移—时间图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．质点一定做直线运动

B．质点可能做曲线运动

C．t＝20s时刻质点离开出发点最远

D．在t＝10s时刻质点速度最大

解析：

选A　位移图象只能反映位移正负两个方向，所以只能描述直线运动，故A正确，B错误；根据位移等于坐标的变化量分析可知，在10s时质点离出发点最远为4m，而在20s时离出发点的距离只有1m，故C错误；图象的斜率表示速度大小，在t＝10s速度为零，故D错误。

2．利用传感器与计算机结合，可以自动做出物体运动的图象。

某同学在一次实验中得到运动小车的速度－时间图象如图所示，由此图象可知（　　）

A．18s时的加速度大于13s时的加速度

B．小车做曲线运动

C．13s末小车距离出发点最远

D．小车前10s内的平均速度比后10s内的大

解析：

选A　由vt图象的斜率大小表示小车的加速度大小可知，18s时小车的加速度大于13s时小车的加速度，A正确；vt图象只表示直线运动，B错误；小车在0～20s内速度方向不变，故t＝20s时小车离出发点最远，C错误；由x前10s

＝

可知D错误。

3.（2016·上饶联考）如图所示，直线①和曲线②分别是在平直公路上行驶的甲、乙两车的vt图象，已知t1时刻两车在同一位置，则在t1到t2时间内（不包括t1、t2时刻）（　　）

A．乙车速度先减小后增大

B．甲、乙两车的加速度总是不同

C．乙车的速度始终小于甲车的速度

D．甲车始终在乙车前方，且二者间距离先增大后减小

解析：

选C　图线切线的斜率表示加速度，在t1到t2这段时间内，甲车图线斜率先减小后增大，则b车的加速度先减小后增大，速度一直在增大，故A错误；乙两车的加速度有相同时，故B错误；由图可知乙车的速度始终小于甲车的速度；故C正确；图象与坐标轴围成的面积表示位移，则在t1到t2这段时间内，二者间距离始终增大，故D错误。

4.（2016·鹤壁质检）如图所示为速度—时间图象。

若将该物体的运动过程用位移—时间图象表示出来，下列四幅图象中正确的是（　　）

解析：

选C　由速度图象可知0～t1为正方向的匀速直线运动，t1～t2静止，t2～t3为负方向的匀速直线运动，0～t1和t2～t3的速度大小相等，所以位移—时间图象为C图。

5．如图甲、乙所示是某物体在t时间内运动的位移—时间图象和速度—时间图象，从图象上可以判断（　　）

A．物体的位移—时间图象是图甲

B．该物体做的是曲线运动

C．该物体运动的时间t为2s

D．该物体运动的加速度为1.5m/s2

解析：

选A　从vt图象可知，物体做的是匀加速直线运动，因此位移与时间的二次方成线性关系，因此位移—时间图象是图甲，A正确；该物体做的是直线运动，B错误；由8m＝

（3m/s＋6m/s）t，得t＝

s，加速度a＝

＝

m/s2＝

m/s2，C、D错误。

6．汽车A在红灯前停住，绿灯亮起时启动，以0.4m/s2的加速度做匀加速运动，经过30s后以该时刻的速度做匀速直线运动。

设在绿灯亮的同时，汽车B以8m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始（　　）

A．A车在加速过程中与B车相遇

B．A、B相遇时速度相同

C．相遇时A车做匀速运动

D．两车不可能相遇

解析：

选C　作出A、B两车运动的vt图象如图所示，vt图象所包围的“面积”表示位移，经过30s时，两车运动图象所围面积并不相等，所以在A车加速运动的过程中，两车并未相遇，A错误；30s后A车以12m/s的速度做匀速直线运动，随着图象所围“面积”越来越大，可以判断在30s后某时刻两车图象所围面积会相等，即两车会相遇，此时A车的速度要大于B车的速度，所以两车不可能再次相遇，C正确，B、D错误。

二、多项选择题

7.如图所示为甲、乙两物体相对于同一坐标的xt图象，则下列说法正确的是（　　）

A．甲、乙均做匀变速直线运动

B．甲比乙早出发时间t0

C．甲、乙运动的出发点相距x0

D．甲的速率大于乙的速率

解析：

选BC　由xt图线可知，甲、乙均做匀速直线运动，A错误；乙与横坐标的交点表示甲比乙早出发时间t0，B正确；甲与纵坐标的交点表示甲、乙运动的出发点相距x0，C正确；甲、乙运动的速度大小用图线斜率的绝对值表示，由图可知甲的速率小于乙的速率，D错误。

8.（2016·揭阳质检）如图是甲、乙两物体从同一点开始做直线运动的运动图象，下列说法正确的是（　　）

A．若y表示位移，则t1时间内甲的位移小于乙的位移

B．若y表示速度，则t1时间内甲的位移小于乙的位移

C．若y表示位移，则t＝t1时甲的速度大于乙的速度

D．若y表示速度，则t＝t1时甲的速度大于乙的速度

解析：

选BC　若y表示位移，t1时间内两物体位移相等，图线的斜率表示物体的速度，故t1时刻v甲＞v乙，C正确，A错误；若y表示速度，t1时刻v甲＝v乙，由图线与t轴所围面积表示物体的位移可知，x甲＜x乙，B正确，D错误。

9．小球A从离地面20m高处做自由落体运动，小球B从A下方的地面上以20m/s的初速度做竖直上抛运动。

两球同时开始运动，在空中相遇，取g＝10m/s2，则下列说法正确的是（　　）

A．两球相遇时速率都是10m/s

B．两球相遇位置离地面高度为10m

C．开始运动1s时相遇

D．两球在空中相遇两次

解析：

选AC　小球B能够上升的最大高度h＝

＝20m，故A、B两球在B上升的过程中相遇，两球相遇时有hA＋hB＝

gt2＋v0t－

gt2＝20m，解得t＝1s，C正确；相遇时，vB＝v0－gt＝（20－10×1）m/s＝10m/s，vA＝gt＝10×1m/s＝10m/s，hB＝v0t－

gt2＝

m＝15m,A正确，B错误；t＝2s时，小球A落地，小球B运动到最高点，所以两球在空中只能相遇一次，D错误。

10．（2016·和平区模拟）近几年来，我国大部分地区都出现了雾霾天气，给人们的正常生活造成了极大的影响。

在一雾霾天，某人驾驶一辆小汽车以30m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方40m处有一辆大卡车以10m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，但刹车过程中刹车失灵。

如图所示a、b分别为小汽车和大卡车的vt图象，以下说法正确的是（　　）

A．因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾

B．在t＝5s时追尾

C．在t＝3s时追尾

D．如果刹车不失灵，不会追尾

解析：

选CD　从图象可以看出，小汽车刹车失灵前的加速度a1＝10m/s2，失灵后的加速度a2＝2.5m/s2，设追尾时间为t，则有小汽车刹车失灵前的位移x1＝

（20＋30）×1m＝25m，小汽车刹车失灵后的位移x2＝20（t－1）－

×2.5×（t－1）2，大卡车的位移x3＝10t，由x1＋x2＝40＋x3解得t＝3s，A、B错误，C正确；如果刹车