定积分的概念和性质Concept.docx

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定积分的概念和性质Concept

第五章定积分

Chapter5DefiniteIntegrals

5.1定积分的概念和性质（ConceptofDefiniteIntegralanditsProperties）

一、定积分问题举例（ExamplesofDefiniteIntegral）

设在y=fx区间[a,b1上非负、连续，由x=a,x=b,y=0以及曲线y二fx

所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。

Letfxbecontinuousandnonnegativeontheclosedinterval〔a,bLThentheregionboundedbythegraphoffx,thex-axis,theverticallinesx二a,andx=biscalledthetrapezoidwithcurvededge.

黎曼和的定义（DefinitionofRiemannSum）

设fx是定义在闭区间l.a,b1上的函数，厶是l.a,b1的任意一个分割，

a=冷：

：

：

Xi：

：

：

|||:

:

:

人」：

：

：

xn=b，

其中Ax是第i个小区间的长度，G是第i个小区间的任意一点，那么和

n

Zf（Cj）Ax，xiJL^c兰洛

iV

称为黎曼和。

Letfxbedefinedontheclosedinterval!

a,bl,andlet:

beanarbitrarypartitionofl.a,bI,a=怡：

％IIIex*」vxn=b,whereAxisthewidthoftheithsubinterval.Ifciisanypointintheithsubinterval,thenthesum

n

Jf（cHxi，xi—xi,

iT

IscalledaRiemannsumforthepartition

二、定积分的定义（DefinitionofDefiniteIntegral）

定义定积分（DefiniteIntegral）

设函数fx在区间！

a,b丨上有界，在〔a,b丨中任意插入若干个分点a=怡：

:

:

为：

：

：

川：

:

：

人4:

:

:

Xn=b，把区间'a,b1分成n个小区间：

仪0必1,I.x1,x21JH,l-xn4,xn],

各个小区间的长度依次为二咅=%-乂0，二屜=灭2-為，…，^Xn^Xn-xn/。

在每个小区

间IXx］上任取一点£,作函数f（匕）与小区间长度也x的乘积f（©件

（i=1,2,|i|,n）,并作出和

记P=max{&「&2,川，也xn}，如果不论对［a,b］怎样分法，也不论在小区间tx^xj

上点©怎样取法，只要当Pt0时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数fx在区间l.a,b1上的定积分（简称积分），记作:

fxdx，即

n

afxdx=l=IPm^fi

其中fx叫做被积函数，fxdx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，

b叫做积分上限，|a,b］叫做积分区间。

Letfxbeafunctionthatisdefinedontheclosedintervalla,b].Considerapartition

poftheintervalb,b」intonsubinterval（notnecessarilyofequallength）bymeansof

points=x0:

:

:

为：

：

：

川：

:

：

xn」xn=b

fxcorrespondingtothepartition

n

Iff（勺岁xexists,

Integral）offxfromatob,isgivenby

n

fxdx=ipmo]

nn

d>0suchthat瓦f（£yiXj-LforallRiemannsums瓦f（©yiXjforf（x）

i=1i=1

on［a,b］forwhichthenormPoftheassociatedpartitionislessthand.

b

Inthesymbolifxdx,aiscalledthelowerlimitofintegral,btheupperlimitofintegral,andla,bJtheintegralinterval.

定理1可积性定理（IntegrabilityTheorem）

设fx在区间la,bI上连续，则fx在la,b］上可积。

Theorem1IfafunctionfxiscontinuousontheclosedintervalIa,b1,itisintegrableonIa,bI.

定理2可积性定理（IntegrabilityTheorem）

设fx在区间la,b］上有界，且只有有限个间断点，则fx在区间la,b］上可积。

itiscontinuousthereexcept

Theorem2Iffxisboundedonla,b丨andifatafinitenumberofpoints,thenfxisintegrableon〔a,b.L

3.定积分的性质（PropertiesofDefiniteIntegrals）两个特殊的定积分

a

（1）如果fx在x=a点有意义，则.fxdx=0；

a

（2）如果fx在l.a,b1上可积，则fxdx二-fxdx。

■b'a

TwoSpecialDefiniteIntegrals

a

（1）Iffxisdefinedatx=a.Then.fxdx=0.

a

（2）Iffxisintegrableon!

a,bLThenfxdx=fxdx.

b'a

定积分的线性性（LinearityoftheDefiniteIntegral）

设函数fx和gx在la,b1上都可积，k是常数，则kfx和fx+gx都可积,

并且

bb

（1）kfxdx=kfxdx;

aa

bbb

||fx亠gxdx=fxdx+gxdx;andconsequently,

bbb

gxareintegrableon[a,blandkisaconstant.Then

bb

（1）

akfxdx=kafxdx;

bbb

||fx^gxdx=fxdx+gxdx；andconsequently,

bbb

afX-gXdx=afXdx-agxdx.

性质3定积分对于积分区间的可加性（IntervalAdditivePropertyofDefinite

Integrals）

设fx在区间上可积，且a,b和c都是区间内的点，则不论a,b和c的相对位置

cbc

如何，都有.fxdx=.fxdx+.fxdx。

a'a'bv

Property3Iffxisintegrableonthethreeclosedintervalsdeterminedbya，

b，andc,then

cbc

afXdx=afXdx+bfxdx

nomatterwhattheorderofa，b，禾廿c.

性质4如果在区间！

a,b1上fx•三1，贝U1dx=dx=b-a。

“％=a

Property4Iffx_1foreveryxin〔a,bl,then

bb

1dx=dx=b-a.

a'a

性质5如果在区间l.a,b1上fx_0,则fxdx丄0ab。

Property5IffXisintegrableandnonnegativeontheclosedinterval

la,bl,then

b

fxdx-0a

a

推论1。

2定积分的可比性（ComparisonPropertyforDefiniteIntegrals）

如果在区间l.a,b1上,fx岂gx，贝U

bb

afxdxEagxdx，

Lf（x）dx兰[|f（x0x。

用通俗明了的话说，就是定积分保持不等号。

Corollary1,2Iffxand

gX）isintegrableontheclosedintervalfa,b】,and

fx_gxforallxinl.a,bl.Then

and

[f（x）dx兰jjf（xjdx。

IninformalbutdescriptiveIanguage,wesaythatthedefiniteintegralpreserves

inequalities.

性质6积分的有界性（BoundednessPropertyforDefiniteIntegrals）

如果fx在la,b］上连续，且对任意的

l.a,b1，都有m乞fx

b

mb-a]Ifxdx辽M

Property

6Iffxiscontinuousonl.a,b1

andm_fx-Mforallxin

l.a,bl.Then

b

mb-ajIfxdx乞Mb-a。

性质7

积分中值定理（MeanValueTheoremforDefiniteIntegrals）

如果函数fx在闭区间la,b1上连续，则在积分区间〔a,b1上至少存在一点•，使下式

成立

b

afxdx=fb-a，

1bf=Lafxdxb_aa

称为函数fx在区间la,b1上的平均值。

Property7Iffxiscontinuouson〔a,b〕,thereisatleastonenumberbetween

aandbsuchthat

Lf（x）dx=f仁）（b-a）,

a

and

b

afXdX

iscalledtheaveragevalueoffxon[a,b].

5.2微积分基本定理（FundamentalTheoremofCalculus）

一.积分上限的函数及其导数（AccumulationFunctionandItsDerivative）

定理1微积分基本定理（FundamentalTheoremofCalculus）

X

如果函数fX在区间la,b吐连续，则积分上限函数Xftdt在la,b]上可导，并

'av

且它的导数是

X

dff（tdt

'x=—=fxa乞x乞b.

Theorem1Letfxbecontinuousontheclosedinterval〔a,blandletxbea（variable）

X

pointina,b.ThenX=!

ftdtisdifferentiableon

•av

x

dJf（tdt

la,bl,and—a=fxaExEb.

dx

定理2原函数存在定理（TheExisteneeTheoremofAntiderivative）

如果函数fx在区间l.a,b1上连续，则函数'x=Xftdt就是fx在l.a,b1上的一个原函数•

11■avv

x

Theorem2Iffxiscontinuousontheclosedinterval〔a,b「thenXis

11■a

anantiderivativeoffxonla,bI.

二.牛顿-莱布尼茨公式（Newton-LeibnizFormula）

定理3微积分第一基本定理（firstFundamentalTheoremofCalculus）

如果函数Fx是连续函数fx在区间la,b1上的一个原函数，

则

b

fxdx=Fb-Fa

a

称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式•

Theorem3LetfXbecontinuous（heneeintegrable）on〔a,bl,andletFXbeanyantiderivativeoffXonLa,b）.Then

b

afxdx=Fb-Fa

whichiscalledtheNewton-LeibnizFormula

5.3定积分的换元法和分部积分法（integrationbySubstitutionandDefiniteIntgralsby

Parts）

1.定积分的换元法（SubstitutionRuleforDefiniteIntegrals）

2.定理定积分的换元法（SubstitutionRuleforDefiniteIntegrals）

假设函数fx在区间la,b］上连续，函数x二t满足条件

⑴讣］：

a,"b;

⑵t在L：

J：

］（或「：

，：

I）上具有连续导数，且其值域R厂la,bl,则有

b■:

afXdX=ft'tdt,

上面的公式叫做定积分的换元公式

TheoremLetthaveacontinuousderivativeon上，-l（or〔-厂I）,andletfx

becontinuousonla,bI.If:

=a,：

=bandtherangeofxisasubsetof

l.a,bl.Then

b■:

afxdx=：

ft'tdtwhichiscalledthesubstitutionrulefordefiniteintegrals.

二.定积分的分部积分法（DefiniteIntegrationbyParts）

根据不定积分的分部积分法，有

二uxvxu'xvxdx

_b

-||uxvxa

b

-fv（x）u'（xJdx

简写为

b・bb

uv'dx=〔uv，vu'dx

aaa

bb

udv=IuvI-vdu.

aa-

Accordingtotheindefiniteintegrationbyparts,

fu（xy（x加[jux）vYx）dx]

=[u（x）v（x）-Ju'（x）v（x）dx]

=ux）v（x）]

bb

-avxu'xdx

Forsimplicity,

or

uv'dx=Iuv1

a

b

-[vu'dx

a

bb

udv=Iuv]-

aa

vdu.

5.4反常积分（ImproperIntegrals）

.无穷限的反常积分（ImproperIntegralswithInfiniteLimitsofintegration）

t

fx在区间]a,-":

•上连续，取ta,如果极限」im_fxdx存在且

定义1设函数

为有限值，则此极限为函数

fx在无穷区间a,v上的反常积分，记作'fxdx,即

a

:

:

t

afxdx=tlimafXdx.

这时也称反常积分fxdx收敛；如果上述极限不存在，函数fx在无穷区间a,上的

La-

反常积分就没有意义，习惯上称为反常积分"fxdx发散.

La

.t

Letfxbecontinuouson||a,：

：

andta.Ifthelimitpm一.fxdx

existsand

havefinitevalue,thevalueistheimproperintegraloffxon2,亠i,which

isdenoted

-be

byfxdx,thatis,

a

:

:

t

fxdx=limfxdx,

at「：

.a

WesaythatthecorrespondingimproperintegralconvergesOtherwise,theintegral

diverge.

issiadto

——b_一

设函数f（xj在区间（-°o,b]上连续，取tcb，如果极限lim[f（xpx存在且为有限值,

则此极限为函数fx在无穷区间-：

：

，b1上的反常积分，记作bfxdx，即

bb

fxdx=tlimtfxdx，

这时也称反常积分

b

fxdx收敛；如果上述极限不存在，就称反常积分

—OQ

b

fxdx发散。

——b

Letfxbecontinuousonandt:

:

b.Ifthelimitlimtfxdx

existsandhave

finitevalue,thevalueistheimproperintegraloffxon一匚亠b|,which

isdenotedby

b

fxdx,thatis,

—oO

Wesaysaidto

thatthe

diverge.

bb

」xdx=tlimtfxdx，

correspondingimproperintegralconverges.Otherwise,

theintegralis

定义

设函数fx在区间上连续，如果反常积分

0:

:

_:

.fxdx和0fxdx都

收敛，则

称上述反常积分之和为函数fx在无穷区间

上的反常积分，记作

「xdx，即

:

:

0:

:

_:

;fXdx=Jxdx+0fxdx

0t

=limfxdx+lim

t.tt,0

fxdx

这时也称反常积分…fxdx收敛；否则就称反常积分

—OQ

Letfxbecontinuouson:

[―匚匕：

：

」fboth

fxdx发散。

0:

:

fxdxandfxdxconverge,

■0

■bo

thenIfxdxissaidtoconvergeandhave

value

:

:

0:

:

_;-fxdx=Jxdx+0fxdx

0t

专mtfxdx+tlim.0fxdx.

、无界函数的反常积分（ImproperIntegralsofInfiniteIntegrands）

定义无界函数反常积分（ImproperIntegralsofInfiniteIntegrand）

bt

f（x）dx=limf（x）dx

atb-a

如果等式右边的极限存在且为有限值，此时称反常积分收敛，否则称反常积分发散.

DeintionLetf（x）becontinuousonthehalf-openintervalla,bandsuppose

thatlim|f（x）.Then

tf

bt

f（x）dxlimf（x）dx

at'a

Providedthatthislimitexistsandisfinite,inwhichcasewesaythattheintegralconverge.Otherwise,wesaythattheintegraldiverges.

无界函数的反常积分（ImproperIntegralsofInfiniteIntegrands）

定义

设函数f（x）在半开半闭区间a,b1上连续，且严.“（X）|=：

：

则

bt

f（x）dx=limf（x）dx,

at■a

如果等式右边的极限存在且为有限值，此时称反常积分收敛，否则称反常积分发散.

DeintionLetf（x）becontinuousonthehalf-openintervala,blandsupposethat

lim」（x）=°°.Then

tT

bt

af（x）dx=limf（x）dx

aJaa

Providedthatthislimitexistsandisfinite,inwhichcasewesaythattheintegral

converge.Otherwise,wesaythattheintegraldiverges.

积分函数在内点极限为g的反常积分（IntegrandsThatareInfiniteatanInteriorPoint）

设函数在f（x）在la,b】上除点c（avc

X—Jc

bcb

af（x）dx=af（x）dxcf（x）dx

tb

=limf（x）dxlimf（x）dx

t「c―归Jc：

-t

如果等式右边的两个反常积分都收敛，否则称反常积分

b

f（x）dx发散.

a

Letf（x）becontinuousonla,b.1exceptatanunberc,wherea：

：

c.b,and

二：

：

.Thenwedefine

supposethatlimf（x）

XT

bcb

f（x）dx=if（x）dx亠if（x）dx

a^a力

tb

=limf（x）dxlimf（x）dx

t_C_at_c