专项练习题集定义法求轨迹方程.docx
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专项练习题集定义法求轨迹方程
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专项练习题集定义法求轨迹方程
2016年专项练习题集-定义法求轨迹方程
选择题
1、点p（x，y）是平面中的一个动点，满足：
，则点p的轨迹方程是（ ）
C．
D．
分值：
5
答案：
A
【考查方向】本题考查椭圆的定义，熟练掌握椭圆的定义是解题的关键。
【易错点】不能将看做点（x,y）和点（4,0）之间的距离。
【解题思路】利用椭圆的定义即可得出．
【解析】∵点p（x，y）在运动过程中满足关系式：
，
∴点p到两定点F（4，0），F′（-4，0）的距离之和满足：
|PF|+|PF′|=1o＞8．
故点P的轨迹是以点F，F′为焦点，10为长轴长的椭圆．
易知，c=4,a=5,b=3,椭圆的方程为，故选A．
2、已知圆：
（x+3）2+y2=4，圆（x﹣3）2+y2=100，动圆c与圆、圆都内切，则动圆圆心的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
【分值】5
【答案】A
【考查方向】本题主要考查椭圆的定义、轨迹方程、圆与圆的位置关系及其判定。
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【易错点】找不出+为定值这一关系。
【解题思路】设动圆的半径为r，由相切关系建立圆心距与r的关系，进而得到关于圆心距的等式，结合椭圆的定义即可解决问题．
【解析】设动圆的半径为r，动圆圆心为c（x，y），
因为动圆与圆：
（x+3）2+y2=4及圆（x﹣3）2+y2=100都内切，
则=r﹣2，=10﹣r．
∴+=8＞=6
因此动圆圆心为c的轨迹是焦点为、，中心在（0，0）的椭圆．
故选A．
3、设动圆M与y轴相切且与圆C：
x2+y2﹣4x=0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．y2=8x
B．y2=﹣8x
C．y2=8x或y=0（x＜0）
D．y2=8x或y=0
【分值】5
【答案】C
【考查方向】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
【易错点】忽视讨论x.
【解题思路】设出动圆圆心M的坐标，利用动圆M与y轴相切且与圆C：
x2+y2﹣4x=0相外切，建立方程，化简可得动圆圆心M的轨迹方程．
【解析】设动圆圆心M的坐标为（x，y），则
∵动圆M与y轴相切且与圆C：
x2+y2﹣4x=0相外切
∴
当x＜0时，y=0；当x≥0时，y2=8x
故选C．
4、若动圆过定点A（﹣2，0）且和定圆（x﹣2）2+y2=4外切，则动圆圆心P的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分值】5
【答案】D
【考查方向】考查了双曲线的定义、两圆外切的性质和动点轨迹求法等知识，属于中档题．
【易错点】容易错误的把轨迹看成整支双曲线。
【解题思路】设定圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为B，根据外切两圆的性质得点P到B、A两点的距离之差等于2，由此可得点P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，可得本题的答案．
【解析】设动圆的半径为R，
∵动圆圆心为P，点A在动圆上，∴|PA|=R
又∵定圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为B（2，0），半径为2，
定圆与动圆P相外切
∴圆心距|PB|=R+2
由此可得|PB|﹣|PA|=（R+2）﹣R=2（常数），
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的左支。
易知：
双曲线焦点在x轴，，所以方程为
故选：
D
5、已知圆C：
（x+2）2+y2=36和点B（2，0），P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是（ ）
A．y2=6x
B．
C．
D．x2+y2=9
【分值】5
【答案】B
【考查方向】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，得出|MC|+|MB|=6＞|BC|，是解题的关键和难点．
【易错点】不能得出|MC|+|MB|=6。
【解题思路】根据线段中垂线的性质可得，|MB|=|MP|，又|MP|+|MC|=半径6，故有|MC|+|MB|=6＞|BC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程．
解析：
由圆的方程可知，圆心C（﹣2，0），半径等于6，设点M的坐标为（x，y），
∵BP的垂直平分线交CQ于点M，
∴|MB|=|MP|．又|MP|+|MC|=半径6，∴|MC|+|MB|=6＞|BC|．依据椭圆的定义可得，
点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2a=6，c=2，∴b=，
故椭圆方程为，
故选B．
填空题
6、△ABC的三边|BC|＞|AC|＞|BA|成等差数列，A、C两点的坐标分别为（0,1），（0，-1），则点B的轨迹方程是 ．
【分值】3
【答案】．（0＜y＜2）
【考查方向】本题主要考查椭圆的定义，熟练掌握等差数列的定义、椭圆的定义是解题的关键。
【易错点】忽视|BC|＞|AC|＞|BA|，而导致曲线为整条椭圆。
【解题思路】利用等差数列的定义可得，|BC|+|BA|=2|AC|=4＞|AC|．利用椭圆的定义即可得出．
解：
∵△ABC的三边|BC|＞|AC|＞|BA|成等差数列，
∴|BC|+|BA|=2|AC|=4＞|AC|．
由题意的定义可知：
点B的轨迹方程是以点A，C为焦点（c=1），a=2为半长轴长的椭圆的一部分，
∴b2=a2﹣c2=4﹣1=3．
∴点B的轨迹方程是．
∵△ABC的三边|BC|＞|AC|＞|BA|，∴0＜y＜2．
故答案为．（0＜y＜2）．
7、、如图，，，，且AD⊥α，，AD=2，BC=4，AB=6，若tan∠ADP+2tan∠BCP=5，则点P在平面α内的轨迹是。
【分值】3
【答案】椭圆的一部分
【考查方向】本题考查椭圆的定义，注意定义中动点到两定点距离之和与定点间距离的大小比较．
【易错点】忽视定义中动点到两定点距离之和与定点间距离的大小比较．
【解题思路】根据题意，易得tan∠ADP=，tan∠BCP=，又由tan∠ADP+2tan∠BCP=5，且AD=2，BC=4，可得AP+BP=10，比较可得AP+BP＞AB，由椭圆的定义分析可得答案．
解析：
由AD⊥α，可得AD⊥AP，tan∠ADP=，
四边形ABCD是梯形，则AD∥BC，可得BC⊥α，BC⊥BP，则tan∠BCP=，
又由tan∠ADP+2tan∠BCP=5，且AD=2，BC=4，
可得AP+BP=10，
又由AB=6，则AP+BP＞AB，
故P在平面α内的轨迹是椭圆的一部分，
8、点M到点F（0，﹣3）的距离比它到直线l：
y﹣4=0的距离小1，则点M的轨迹方程是 ．
【分值】3
【答案】x2=﹣12y
【考查方向】考查了两点间的距离公式、轨迹方程的求法、抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．
【易错点】在去|x-3|的绝对值时，不能根据平面几何原理，得y＜3。
解题思路：
设M（x，y），由两点间的距离公式建立关于x、y的方程，结合平面几何原理将方程化简整理，即可得到点M的轨迹方程．
【解析】设M（x，y），依题意得
∵点M到点F（0，﹣3）的距离比它到直线l：
y﹣43=0的距离小1，
∴由两点间的距离公式，得，
根据平面几何原理，得y＜4，原方程化为
两边平方，得x2+（y+3）2=（3﹣y）2，整理得x2=﹣12y
即点M的轨迹方程是x2=﹣12y．
故答案为：
x2=﹣12y．
综合题
9、已知F（﹣2，0），以F为圆心的圆，半径为r，点A（2，0）是一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线FP相交于点Q．在下列条件下，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
（1）r=2时，点P在圆上运动；
【分值】6
【答案】，是双曲线；
【考查方向】本小题主要考查椭圆的定义、双曲线的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．熟练掌握双曲线、椭圆的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．属于中档题．
【易错点】不能找出QA=QP及|QA﹣QF|=|QP﹣QF|=FP这两个关系式。
【解题思路】由题意得QA=QP，则|QA﹣QF|=|QP﹣QF|=FP=r=2，即动点Q到两定点F、A的距离差的绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点Q的轨迹是：
以F，A为焦点，FA为焦距长的双曲线．
【解析】
（1）当r=2时，
∵A为⊙F外一定点，P为⊙F上一动点
线段AP的垂直平分线交直线FP于点Q，
则QA=QP，则|QA﹣QF|=|QP﹣QF|=FP=r=2，
即动点Q到两定点F、A的距离差的绝对值为定值，
根据双曲线的定义，可得点Q的轨迹是：
以F，A为焦点，FA为焦距长的双曲线，
故2a=2，2c=4，a=1，c=2，b=．
故方程为：
，是双曲线；
（2）r=8时，点P在圆上运动．
【分值】6
【答案】，是椭圆
【考查方向】本小题主要考查椭圆的定义、双曲线的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．熟练掌握双曲线、椭圆的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．属于中档题．
【易错点】不能找出QA=QP，FP=FQ+QP这两个关系式。
【解题思路】由题意QA=QP，FP=FQ+QP=r=8，所以FQ+QA=8．故曲线是以A、F为焦点，长轴长为8的椭圆，由此能求出曲线的方程．
【解析】
（2）当r=8时，
由题意：
QA=QP，FP=FQ+QP=r=8，
所以FQ+QA=9．
故曲线是以A、F为焦点，长轴长为8的椭圆，
其2a=8，2c=4，a=4，c=2，b=，
方程为：
，是椭圆．
10、已知圆，点（1，0），P是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于Q
（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；
【分值】5
【答案】
【考查方向】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及点满足直线方程，属于中档题．
【易错点】找不出和为定值这一条件。
【解题思路】连结，运用垂直平分线定理可得，，可得，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；
解析：
（1）将化为：
（x+1）2+y2=16，
连结，运用垂直平分线定理可得，，可得，故动点Q的轨迹Γ是以为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为：
可知a=2，c=1，∴所以点Q的轨迹Γ的方程为；
（2）若直线y=k（x﹣1）与
（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR说明理由．
【分值】7
【答案】存在T（4，0）
【考查方向】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及点满足直线方程，属于中档题．
【易错点】不能将条件∠OTS=∠OTR转化为kTS+kTR=0。
【解题思路】假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T（4，0）．
【解析】
（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．
设R（x1，y1），S（x2，y2）联立，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，
由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，
由∠OTS=∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），
故kTS+kTR=0即②，
由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，
故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，
即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③，
将①代入③，即有：
④，
要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，
综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．
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