最新人教版高中数学选修11《圆锥曲线与方程》单元检测8.docx
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最新人教版高中数学选修11《圆锥曲线与方程》单元检测8
本章检测
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.以
=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.
=1B.
=1
C.
=1D.
=1
解析:
∵双曲线
=1的焦点坐标为(0,±4),顶点坐标为(0,±2
),
∴所求椭圆的顶点坐标为(0,±4),焦点坐标为(0,±2
).
∴在椭圆中,a=4,c=2
.∴b2=4.
∴椭圆的方程为
=1.
答案:
D
2.
(a>b>0)的渐近线( )
A.重合
B.不重合,但关于x轴对称
C.不重合,但关于y轴对称
D.不重合,但关于直线y=x对称
解析:
双曲线
=1的渐近线方程为y=±
x,双曲线
=1的渐近线方程为y=±
x.
y=
x与y=
x关于直线y=x对称,y=-
x与y=-
x关于直线y=x对称.
因此,选项D正确.
答案:
D
3.(2005全国高考Ⅱ,文5)抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为( )
A.2B.3C.4D.5
解析:
由x2=4y知其准线方程为y=-1,据抛物线定义,点A与焦点的距离等于A与准线的距离,显然A的纵坐标为4.其距离为5.
答案:
D
4.(2005福建高考,文9)已知定点A、B,且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是( )
A.
B.
C.
D.5
解析:
由题作出示意图.
分析得出P在P′点处|PA|最小.
∴|AO|=2,|OP′|=
.
∴|PA|min=2+
=
.
答案:
C
5.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,若x1+x2=4,那么|AB|等于( )
A.10B.8C.6D.4
解析:
|AB|=x1+
+x2+
=x1+x2+p=4+2=6.
答案:
C
6.设F1和F2是双曲线
-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是( )
A.1B.
C.2D.
解析:
由
得
∴|PF1|·|PF2|=2.
∴△F1PF2的面积为
|PF1|·|PF2|=1.
答案:
A
7.动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过点( )
A.(4,0)B.(2,0)
C.(0,2)D.(0,-2)
解析:
直线x+2=0为抛物线y2=8x的准线,由于动圆恒与直线x+2=0相切,所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离,由抛物线的定义可知,定点为抛物线的焦点(2,0).
答案:
B
8.(2006安徽高考,5)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆
=1的右焦点重合,则p的值为…( )
A.-2B.2C.-4D.4
解析:
椭圆
=1的右焦点为(2,0),所以抛物线y2=2px的焦点为(2,0),则p=4,故选D.
答案:
D
9.(2006湖南高考,7)过双曲线M:
x2-
=1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
解析:
据题意如图
设lAB:
y=x+1,
lOC:
y=bx,
lOB:
y=-bx,
由
得C点纵坐标是
B点纵坐标是
.
∵|AB|=|BC|,
∴
∴b=3,
∴e=
答案:
A
10.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处.已知灯口的直径为60cm,灯深40cm,则抛物线的标准方程可能是( )
A.y2=
xB.y2=
x
C.x2=-
yD.x2=-
y
解析:
如果设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则抛物线过点(40,30),302=2p×40,2p=
所以所求抛物线方程应为y2=
x.
所给选项中没有y2=
x,但方程x2=-
y中的“2p”值为452,所以C选项符合题意.
答案:
C
11.(2006江苏高考,6)已知两点M(-2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|
|·|
|+
·
=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为( )
A.y2=8xB.y2=-8x
C.y2=4xD.y2=-4x
解:
依题意可知P(x,y),
则|
|·|
|+
·
=0
+(4,0)·(x-2,y)=0
+4(x-2)=0
化简整理得,y2=-8x.
答案:
B
12.(2006全国高考Ⅰ,理8,文11)抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是( )
A.
B.
C.
D.3
解:
设(x0,y0)为抛物线y=-x2上任意一点,
∴y0=-x
∴d=
∴dmm=
答案:
A
二、填空题(本小题共4小题,每小题4分,共16分)
13.双曲线的渐近线方程为y=±
x,则双曲线的离心率为___________.
解析:
∵双曲线的渐近线方程为y=±
x,
∴
答案:
14.抛物线y=
x2的焦点坐标是___________.
解析:
y=
x2=4y,p=2,其焦点为(0,1).
答案:
(0,1)
15.点P(6,1)平分双曲线x2-4y2=1的一条弦,则这条弦所在直线方程是___________.
解析:
设弦的两端点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则x21-4y21=1,x22-4y22=1.
两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0.
∵AB的中点为P(6,1),
∴x1+x2=12,y1+y2=2.∴
∴直线AB的方程为y-1=
(x-6),即3x-2y-16=0.
答案:
3x-2y-16=0
16.有一系列中心在原点,以坐标轴为对称轴的椭圆,它们的离心率en=(
)n(n∈N),且都以x=1为准线,则所有椭圆的长轴之和为___________.
解析:
因
故所有椭圆的长轴之和为
答案:
2
三、解答题(本大题共6小题,满分74分)
17.(12分)已知直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A、B,求证:
OA⊥OB.
证法一:
将y=x-2代入y2=2x中,得(x-2)2=2x,
化简得x2-6x+4=0,∴x=3±
.
∴x=3+
时,y=1+5,x=3-
时,y=1-
.
∴kOA·kOB=
=-1.∴OA⊥OB.
证法二:
同证法一得方程x2-6x+4=0.
∴x1+x2=6,x1·x2=4.
∴y1·y2=(x1-2)(x2-2)=x1·x2-2(x1+x2)+4=-4.
∴kOA·kOB=
=-1.∴OA⊥OB.
18.(12分)A、B为椭圆x2+
y2=a2(a>0)上的两点,F2为右焦点,若|AF2|+|BF2|=
a,且AB的中点P的横坐标为
,求该椭圆的方程.
解析:
设A、B、P三点到椭圆右准线的距离分别为d1、d2、d,则由椭圆的第二定义及几何性质得
|AF2|=ed1=
d1,|BF2|=
d2,
d=
又2d=d1+d2,
a-3=2d,
a=|AF2|+|BF2|=
(d1+d2),
∴d1+d2=2a,∴
a-3=2a,
∴a=6,
∴该椭圆的方程为x2+
y2=36.
19.(12分)已知双曲线x2-
=1与点P(1,2),过P点作直线l与双曲线交于A、B两点,若P为AB的中点.
(1)求直线AB的方程;
(2)若Q(1,1),证明不存在以Q为中点的弦.
(1)解:
设过点P(1,2)的直线AB的方程为y-2=k(x-1),
代入双曲线方程并整理得(2-k2)x2+(2k2-4k)x-(k2-4k+6)=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-
.
由已知
=1,
∴
=2,解得k=1.
又k=1时,Δ=(2k2-4k)2+4(2-k2)(k2-4k+6)=16>0,从而直线AB的方程为x-y+1=0.
(2)证明:
设过Q(1,1)点的直线方程为y-1=k(x-1),
代入双曲线方程并整理,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(k2-2k+3)=0.
由题知
=2,解得k=2.
而当k=2时,Δ=[-2k(1-k)]2+4(2-k2)(k2-2k+3)=-8<0.
∴这样的直线不存在.
20.(12分)(2006江苏扬州中学模拟,23)已知倾斜角为45°的直线l过点A(1,-2)和点B,其中B在第一象限,且|AB|=3
.
(1)求点B的坐标;
(2)若直线l与双曲线C:
-y2-1(a>0)相交于不同的两点E、F,且线段EF的中点坐标为(4,1),求实数a的值.
解:
(1)直线AB方程为y=x-3,设点B(x,y),
由
及x>0,y>0,得x=4,y=1,∴点B的坐标为(4,1).
(2)由
得
(
-1)x2+6x-10=0.
设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1+x2=
=8,得a=2,此时,Δ>0,∴a=2.
21.(12分)(2006上海高考,20)过抛物线y2=4x的准线与对称轴的交点作直线,交抛物线于M、N两点,问直线的倾斜角多大时,以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点?
解:
抛物线y2=4x的准线与对称轴的交点为(-1,0).设直线MN的方程为y=k(x+1).
由
得k2x2+2(k2-2)x+k2=0.
∵直线与抛物线交于M、N两点,∴Δ=4(k2-2)2-4k4>0,即k2<|k2-2|,k2<1,-1设M(x1,y1),N(x2,y2),抛物线焦点为F(1,0).
∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点,
∴MF⊥NF.
∴
即y1y2+x1x2-(x1+x2)+1=0.
∴k=±
即直线的倾斜角为arctan
或π-arctan
时,以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点.
22.(14分)(2006四川高考,文22)已知两定点F1(-
,0)、F2(
,0),满足条件|
|-|
|=2的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点.
(1)求k的取值范围;
(2)如果|AB|=6
,且曲线E上存在点C,使
+
=m
求m的值和△ABC的面积S.
解:
(1)由双曲线的定义可知,曲线E是以F1(-
,0)、F2(
,0)为焦点的双曲线的左支,且c=2,a=1,易知b=1.
故曲线E的方程为x2-y2=1(x<0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意建立方程组
消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0.
又已知直线与双曲线左支交于A、B两点,有
解得-
(2)因为|AB|=
|x1-x2|
2
依题意得
=63.
整理后得28k4-55k2+25=0.
∴k2=
或k2=
.
但-
.
故直线AB的方程为
x+y+1=0.
设C(xc,yc),由已知
+
=m
得(x1,y1)+(x2,y2)=(mxC,myC),
∴(xC,yC)=
(m≠0).
又x1+x2=
=-4
y1+y2=k(x1+x2)-2=
-2=
=8,
∴点C(
).
将点C的坐标代入曲线E