初三二次函数压轴题集锦.docx

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初三二次函数压轴题集锦

初三二次函数集锦

一．解答题（共30小题）

1．如图，已知直线y=kx﹣6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在

（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

3．已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．

（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；

（2）在

（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM=3，求点M的坐标；

（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥x轴于点D．将抛物线y=x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由．

4．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣

x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．

①求S关于m的函数表达式；

②当S最大时，在抛物线y=﹣

x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（3，3）在抛物线y=ax2+bx+c上，点D在y轴上，且DC⊥BC，∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）CF能否经过抛物线的顶点？

若能，求出此时点E的坐标；若不能，说明理由；

（3）若△FDC是等腰三角形，求点F的坐标．

6．如图

（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=

x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y=

x2+bx+c交于第四象限的F点．

（1）求该抛物线解析式与F点坐标；

（2）如图

（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒

个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．

①问EP+PH+HF是否有最小值？

如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．

②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．

7．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：

四边形PEFM的周长是否有最大值？

如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．

（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？

若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．

（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；

（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？

若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

9．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，0），且经过点（0，1）．

（1）求该抛物线对应的函数的解析式；

（2）将该抛物线向下平移m（m＞0）个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B、C，若△ABC为等边三角形．

①求m的值；

②设点A关于x轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使四边形CBDP为菱形？

若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10．已知二次函数y=ax2+bx﹣2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x=﹣2和x=5时二次函数的函数值y相等．

（1）求实数a、b的值；

（2）如图1，动点E、F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒

个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．

①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？

若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；

11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

12．如图，抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7）且与直线y=kx﹣2k﹣3相交于点P（m，2m﹣7）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线y=kx﹣2k﹣3与抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的对称轴的交点Q的坐标；

（3）在y轴上是否存在点T，使△PQT的一边中线等于该边的一半？

若存在，求出点T的坐标；若不存在请说明理由．

13．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？

如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，在

（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？

14．如图，在平面直角坐标系中，直线y=

x﹣

与抛物线y=﹣

x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣8．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．

①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；

②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．

15．已知：

m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设

（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（注：

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为

（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：

3的两部分，请求出P点的坐标．

16．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为（4，0），以OA为一边，在第一象限作等边△OAB

（1）求点B的坐标；

（2）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；

（3）直线y=

x与

（2）中的抛物线在第一象限相交于点C，求点C的坐标；

（4）在（3）中，直线OC上方的抛物线上，是否存在一点D，使得△OCD的面积最大？

如果存在，求出点D的坐标和面积的最大值；如果不存在，请说明理由．

17．如图，二次函数

的图象经过点A（4，0），B（﹣4，﹣4），且与y轴交于点C．

（1）试求此二次函数的解析式；

（2）试证明：

∠BAO=∠CAO（其中O是原点）；

（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交此二次函数图象及x轴于Q、H两点，试问：

是否存在这样的点P，使PH=2QH？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：

与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线

经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（1）求n的值和抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．

19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，

且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；

（3）点Q在直线BC上方的抛物线上，点Q到直线BC的距离最远，

求点Q坐标．

20．如图，直线y=kx+b分别交y轴、x轴于A（0、2）、B（4、0））两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．

（1）求直线和抛物线的解析式；

（2）设N（x、y）是

（1）所得抛物线上的一个动点，过点N作直线MN垂直x轴交直线AB于点M，若点N在第一象限内．试问：

线段MN的长度是否存在最大值？

若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；

（3）在

（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

21．如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．

（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；

（2）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由；

（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；

（4）若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．

22．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（

，

）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？

若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

23．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？

若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

24．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣

x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．

①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；

②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：

OE=3：

8，求k的值．

25．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？

若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？

若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

26．如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=

x刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；

（2）小球的落点是A，求点A的坐标；

（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；

（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．

27．已知：

抛物线l1：

y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣

）．

（1）求抛物线l2的函数表达式；

（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；

（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

28．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；

（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标．

29．如图，已知抛物线y=﹣

x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．

（1）直接写出抛物线的解析式：

　　；

（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？

最大面积是多少？

（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？

若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

30．如图，已知二次函数y=ax2+

x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．

（1）请直接写出二次函数y=ax2+

x+c的表达式；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；

（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

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参考答案

一．解答题（共30小题）

1．　　　；2．　　　；3．　　　；4．　　　；5．　　　；6．　　　；7．　　　；8．　　　；9．　　　；10．　　　；11．　　　；12．　　　；13．　　　；14．　　　；15．　　　；16．　　　；17．　　　；18．　　　；19．　　　；20．　　　；21．　　　；22．　　　；23．　　　；24．　　　；25．　　　；26．　　　；27．　　　；28．　　　；29．y=﹣

x2+3x+8；30．　　　；