张达八年级数学上册新版北师大版精品导学案第一章勾股定理.docx

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张达八年级数学上册新版北师大版精品导学案第一章勾股定理

第一章　勾股定理

第1节探索勾股定理第1课时

【学习目标】

1、了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2、培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】

重点：

勾股定理的简单计算和实际运用。

难点：

勾股定理的证明。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、直角三角形两锐角的关系：

直角三角形的两锐角。

2、三角形任意两边之和第三边，三角形任意两边之差第三边。

3、阅读教材：

第1节探索勾股定理（前半部分）

二、教材精读

4、

（1）观察右面两幅图：

（2）填表：

A的面积

（单位面积）

B的面积

（单位面积）

C的面积

（单位面积）

左图

右图

（3）你能用直角三角形的边长

、

、

来表示上图中正方形的面积吗？

（4）你能发现直角三角形三边长度的平方之间存在什么关系吗？

归纳小结：

勾股定理：

如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为

，那么有a2+b2=c2．即直角三角形两直角边的等于斜边的．（古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦）

实践练习：

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，

①如果a=3，b=4，则c=________；②如果a=5，b=12，则c=_______。

（2）下列说法正确的是（　　）

A.若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2=c2；

B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2；

C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2+b2=c2；

D.若

、

、

是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a2+b2=c2.

三、教材拓展

5、例1已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13cm，

BC=5cm，求斜边AB上的CD的长。

解：

在Rt△ABC中，AB=13cm，BC=5cm，由勾股定理可得：

AC=。

∵S△ABC=

AC×BC=

AB×CD∴CD==。

实践练习：

（1）直角三角形的两直角边的长分别是8和15，则其斜边上的高的长为．

（2）在Rt△ABC，∠C＝90°AB=34,并且AC:

BC=8:

15,则AC=，BC=。

模块二合作探究

6、利用列方程求线段的长

例2如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

实践练习：

如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？



模块三形成提升

1、在Rt△ABC，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边。

（1）已知a=5,c=13,求b；

（2）已知a∶b=3∶4,c=5,求a。

2、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积为（　　）．

A．24cm2　　　B.36cm2　　　　C.48cm2　　　D.60cm2

3、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

模块四小结评价

本课知识：

1、勾股定理：

如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么有a2+b2=c2．即直角三角形两直角边的等于斜边的．

2、在应用勾股定理时应注意：

在用勾股定理求第三边时，分清是斜边还是直角边；弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形（只有直角三角形才能用勾股定理）．

第一章　勾股定理

第1节探索勾股定理第2课时

【学习目标】

1、会用勾股定理进行简单的计算。

2、树立数形结合的思想、分类讨论思想。

3、培养思维意识，发展数学理念，理会勾股定理的应用价值。

【学习方法】引导——探究——应用.

【学习重难点】

重点：

勾股定理的简单计算。

难点：

勾股定理的灵活运用。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、勾股定理：

直角三角形两直角边的等于斜边的．即：

2、勾股定理有以下应用：

（1）已知直角三角形的两边，求；

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的。

3、应用勾股定理时该注意些什么?

。

二、教材精读

4、观察下面图形：

（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？

能用两种方法吗？

解：

（2）你能由此得到勾股定理吗？

为什么？

解：

（3）你还能利用图2验证勾股定理吗？

解：

实践练习：

利用右图验证勾股定理：

三、教材拓展

5、例1一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？

解：

模块二合作探究

6、例2如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？

实践练习：

一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8千米，接着它又掉头向正东方向航行15千米．

（1）此时轮船离出点多少千米？

（2）若轮船每航行1千米需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升？

模块三形成提升

1、△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为。

2、一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动。

3、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度.

模块四小结评价

本课知识：

1、勾股定理的验证方法：

利用图形面积相等（用不同方法表示同一图形面积）。

2、将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理解决．

第一章　勾股定理

第1节探索勾股定理第3课时

【学习目标】

1、通过对几种常见的勾股定理验证方法，理解数学知识之间的内在联系；

2、经历综合运用知识解决问题的过程，加深对勾股定理、面积等的认识。

3、通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想及数学知识间的内在联系。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合．

【学习重难点】

重点：

运用已有知识解决问题，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。

难点：

1、利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。

2、利用数形结合的方法验证勾股定理。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、若a、b、c为直角三角形的三边，且c为斜边，则有a2+b2c2。

2、①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？

.

　②直角三角形中哪条边最长？

。

二、教材精读

3、请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多地寻找和了解验证勾股定理的方法，并填写探究报告：

《勾股定理证明方法汇总》

方法种类及历史背景

验证定理的具体过程

知识运用及思想方法

4、五巧板的制作

步骤：

做一个Rt△ABC，以斜边AB为边向内做正方形ABDE，并在正方形内画图，使DF⊥BI，CG=BC，HG⊥AC，这样就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。

沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。

自己画一幅五巧板：

三、教材拓展

5、议一议:

观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2。

左图：

a2+b2c2右图：

a2+b2c2

模块二合作探究

6、例2已知：

如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：

四边形ABCD的面积。

（提示：

延长AD、BC交于点E。

6.92≈48，3.52≈12）

小结：

不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。

实践练习：

已知：

如图，△ABC中，∠C＝90º，AD是角平分线，DE⊥AB，CD＝15，BD＝25．求AC的长．

模块三形成提升

1、已知直角三角形的两条直角边分别是6和8,则斜边长为_________．

2、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出4.6cm，问吸管要做多长？

3、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm，CD⊥AB，垂足为D．求：

（1）△ABC的面积；

（2）斜边AB的长；（3）斜边AB上的高CD．

模块四小结评价

本课知识：

1、验证勾股定理的方法：

。

2、不规则图形的面积计算方法：

。

附：

课外拓展思维训练

在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，试求BC的长。

第一章　勾股定理

第2节一定是直角三角形吗

【学习目标】

1、掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单的应用。

2、掌握勾股数的概念，探索常用勾股数的规律。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合．

【学习重难点】

重点：

掌握勾股定理的逆定理及简单应用。

难点：

勾股定理的逆定理的证明。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、勾股定理：

直角三角形两直角边的等于斜边的．

2、如果a、b和c分别表示直角三角形两直角边和斜边，则有。

3、阅读教材：

第2节一定是直角三角形吗

二、教材精读

4、已知：

三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a2+b2=c2；求证：

三角形ABC是直角三角形。

证明：

画一个直角三角形A1B1C1,使B1C1=a，A1C1=b，∠C1=90°，

在Rt△A1B1C1中，A1B12=B1C12+A1C12=，

又a2+b2=c2∴A1B1=，

在△ABC和△A1B1C1中，

AB=c=A1B1，BC=a=B1C1，AC=b=A1C1

∴△ABC△A1B1C

∴∠C==。

归纳：

如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是。

实践练习：

下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？

请说明理由。

①9，12，15；②15，36，39；③12，35，36；④12，18，22。

解：

5、满足

的三个正整数，称为。

常见的勾股数有：

①3，4，5；②9，40，41；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15。

勾股数有无数组。

一组勾股数中，各数的相同整数倍得到一组新的勾股数。

注意：

（1）勾股数必须都是正整数；

（2）判断一组数是不是勾股数，看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方。

实践练习：

.判断下列各组数，哪些是勾股数？

①15、36、39；②3、－4、5；③8、15、17；④10、20、26；⑤0.3、0.4、0.5。

是勾股数有：

。

三、教材拓展

6、例1一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中

都应是直角。

工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？

模块二合作探究

7、例2如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？

实践练习：

如图所示，∠C=900，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，问：

AD⊥AB吗？

试说明理由．

模块三形成提升

1、已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？

并指出那一个角是直角？

⑴a=9，b=41，c=40；⑵a=15，b=16，c=6；⑶a=5k，b=13k，c=12k（k＞0）。

2、如图在△ABC中，D是BC边上一点，己知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求CD的长。

3、如图，己知AB⊥BC，AB=7，BC=24，CD=60，AD=65，求△ACD的面积。

模块四小结评价

本课知识：

1、在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若∠C=90°，则有。

2、在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若a2+b2=c2，则有。

3、勾股数是指满足关系的三个正整数。

附：

课外拓展思维训练

已知∣x-12∣+（y-13）2+z2-10z+25=0，试判断以x、y、z为三边的三角形的形状。

第一章　勾股定理

第3节勾股定理的应用

【学习目标】

1、运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题，进一步发展学生的应用意识。

2、通过解决实际问题，使学生体会数学来源于生活，又应用于生活。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合．

【学习重难点】

重点：

探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用其解决生活实际问题．

难点：

利用建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题．

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、公理：

两点之间，。

2、立体图形

图形

直角三角形问题解决。

3、如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是。

4、判断一组数是勾股数的条件是：

①都是数；②满足条件。

5、阅读教材：

第3节勾股定理的应用

二、教材精读

6、例1一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行多少cm？

归纳小结：

立体图形转化为图形，再转化为问题，是解决此类问题的一般思路

实践练习：

如图所示，有一边长为8cm的正方体，在它的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？

你能求出来吗？

（17.92≈320）

.三、教材拓展

7、例2如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？

蚂蚁要爬行的最短路程是多少？

归纳小结：

将空间问题转化为平面问题是解决此类问题的基本思路，要注意长方体展开图的多种情况，从中选择最合适的展开图。

模块二合作探究

8、例3有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到点B处，如图，已知杯子高8cm，点B距杯口3cm（杯口朝上），杯子底面半径为4cm，蚂蚁从点A爬到点B的最短距离是多少？

（π取3）

实践练习：

如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是；

模块三形成提升

1、有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，则竹竿高，门高.

2、小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。

小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

3、如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿（CD），早晨测得它的影长为4米（AD），中午测得它的影长为1米（BD），则A、B、C三点能否构成直角三角形？

为什么？

模块四小结评价

本课知识：

1、蚂蚁在圆柱形表面爬行时，所走路线必定为线。

2、立体图形转化为图形，再转化为问题。

3、在展开长方体时应注意多种情况，选择最短路径。

附：

课外拓展思维训练

某工厂的大门是一个长方形ABCD，上部是以AB为直径的半圆，其中AD=2.3m，AB=2m。

现在有一辆装满货物的卡车，高2.5m，宽1.6，问这辆卡车能否通过厂门？

并说明你的理由。

第一章　勾股定理小结与复习

【学习目标】

1、进一步提高运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题。

2、培养学生运用所学知识解决实际问题的意识，增强学生的数学应用能力。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合．

【学习重难点】

重点：

掌握勾股定理及其逆定理。

难点：

理解勾股定理及其逆定理的应用。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、直角三角形的性质

已知如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．

（1）直角三角形的周长。

（2）直角三角形的面积。

（3）直角三角形的角的关系。

（4）直角三角形的边的关系。

2、直角三角形的判定

已知如图，在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．

（1）从角来判断：

。

（2）从边去判断：

。

3、勾股数：

。

4、勾股定理的应用：

（1）适用范围：

勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系，只适用于直角三角形，对于没有直角三角形条件时不能运用勾股定理。

（2）已知直角三角形的两边可以运用勾股定理求第三边。

（3）已知直角三角形的一边可以运用勾股定理求另两边的关系。

（4）利用勾股定理可以解决一些实际问题。

二、教材拓展

5、主要数学思想

（1）、方程思想

例1如图，已知长方形ABCD中AB=12cm,BC=20cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

例2已知：

如图，在△ABC中，AB ＝15，BC ＝14，AC＝13．求△ABC的面积．

实践练习：

①如图，把矩形ABCD纸片折叠，使点B落在点D处，点C落在C’处，折痕EF与BD交于点O，已知AB=16，AD=12，求折痕EF的长。

②已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=∠CAD，CD=1.5,BD=2.5,求AC的长.

（2）、分类讨论思想

例3、在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为

例4、已知在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高等于8，则△ABC的周长为．

实践练习：

①在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为

②等腰三角形的两边长为10和12，则周长为_____，底边上的高是______，面积是_______。

模块二合作探究

6、求线段的长度

例5、如图，在△ABC中，∠ACB=90º，CD⊥AB，D为垂足，AC=6cm,BC=8cm.

求①△ABC的面积；②斜边AB的长；③斜边AB上的高CD的长。

实践练习:

①直角三角形两直角边分别为5cm、12cm，那么斜边上的高是（）

A、6cm；B、8cm；C、

cm；D、

cm；

②直角三角形中两条直角边之比为3：

4，且斜边为20cm，求两直角边的长和斜边上的高线长.

7、判断直角三角形

例6、下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）

 A．2，3，4    B．3，4，6    C．5，12，13    D．4，6，7

实践练习:

已知：

如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，

CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：

∠A+∠C=180°。

8、求最短距离

例7如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为

cm，那么最短的路线长是（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.10πcm

模块三形成提升

1、△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（　　　）

A．42B．32C．42或32D．37或33

2、将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能

3、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）cm2

A.6B.8C.10D.12

4、如图小方格都是边长为1的正方形,图中四边形的面积为（）

A.25B.12.5　C.9D.8.5

5、甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进.上午10∶00，甲、乙两人相距多远？

6、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？

模块四小结评价

本课知识：

1、勾股定理：

。

2、勾股定理的逆定理：

。

3、勾股数：

。

4、主要数学思想方法：

（1）、方程思想；

（2）、分类讨论思想。

5、勾股定理的应用：

（1）求线段的长度；

（2）判断直角三角形；（3）求最短距离。

附：

课外拓展思维训练

1、如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（　　）

A、2nB、n+1C、n2－1D、n2+1

2、如图，等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12。

求：

（1）△ABC的周长；

（2）△ABC的面积。

3、.阅读下列解题过程：

已知a、b、c为△ABC的三边．且满足a2c2-b2c2=a4b4，试判断△ABC的形状。

解：

∵a2c2-b2c2=a4b4，①

∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）②

∴c2=a2+b2③

∴△ABC为直角三角形.

问：

（1）上述解题过程,从哪一步开始出现错误?

请写出该步的代号；

（2）错误的原因是；

（3）本题正确的结论是。

4、已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。

试判断△ABC的形状。