高考复习立体几何.docx

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高考复习立体几何

个性化辅导教案

年级：

高三科目：

数学课时：

2课时

课题:

立体几何（几何方法）

直线、平面平行的判定及其性质

基础梳理

1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．

2．直线和平面平行的判定

（1）定义：

直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；

（2）判定定理：

a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；

（3）其他判定方法：

α∥β；a⊂α⇒a∥β.

3．直线和平面平行的性质定理：

a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.

4．两个平面平行的判定

（1）定义：

两个平面没有公共点，称这两个平面平行；

（2）判定定理：

a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；

（3）推论：

a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.

5．两个平面平行的性质定理

（1）α∥β，a⊂α⇒a∥β；

（2）α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.

6．与垂直相关的平行的判定

（1）a⊥α，b⊥α⇒a∥b；

（2）a⊥α，a⊥β⇒α∥β.

平行问题的转化关系：

两个防范

（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．

（2）把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．

考向一　直线与平面平行的判定与性质

【例1】►（2011·天津改编）如图，

在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．

求证：

PB∥平面ACM.

【训练1】如图，若

PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：

AF∥平面PCE.

考向二　平面与平面平行的判定与性质

【例2】►如图，

在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：

平面MNP∥平面A1C1B；

证明面面平行的方法有：

（1）面面平行的定义；

（2）面面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

（4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

（5）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

【训练2】如图，

在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

考向三　线面平行中的探索问题

【例3】►如图所示，

在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？

若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件（出现矛盾），则不存在．

【训练3】如图，

在四棱锥PABCD中，底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？

若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题

【问题研究】高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几何知识，考查判定定理、性质定理等内容，难度为中低档题目.

【解决方案】利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征，尤其注意对正棱柱、正棱锥等特殊几何体性质的灵活运用，进行空间线面关系的相互转化.

【示例】►（本题满分12分）（2011·山东）如图，

在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.

（1）证明：

AA1⊥BD；

（2）证明：

CC1∥平面A1BD.

【试一试】（2010·安徽）

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．

（1）求证：

FH∥平面EDB；

（2）求证：

AC⊥平面EDB；

（3）求四面体BDEF的体积．

直线、平面垂直的判定及其性质

基础梳理

1．直线与平面垂直

（1）判定直线和平面垂直的方法

①定义法．

②利用判定定理：

如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．

③推论：

如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．

（2）直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．

②垂直于同一个平面的两条直线平行．

③垂直于同一直线的两平面平行．

2．斜线和平面所成的角

斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．

3．平面与平面垂直

（1）平面与平面垂直的判定方法

①定义法

②利用判定定理：

如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．

（2）平面与平面垂直的性质

如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

一个关系

垂直问题的转化关系

三类证法

（1）证明线线垂直的方法

①定义：

两条直线所成的角为90°；

②平面几何中证明线线垂直的方法；

③线面垂直的性质：

a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；

④线面垂直的性质：

a⊥α，b∥α⇒a⊥b.

（2）证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义：

a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；

②判定定理1：

⇒l⊥α；

③判定定理2：

a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

④面面平行的性质：

α∥β，a⊥α⇒a⊥β；

⑤面面垂直的性质：

α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

（3）证明面面垂直的方法

①利用定义：

两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

②判定定理：

a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

考向一　直线与平面垂直的判定与性质

【例1】►（2011·天津改编）如图，

在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD.

证明：

AD⊥平面PAC.

（1）证明直线和平面垂直的常用方法有：

①判定定理；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④面面垂直的性质．

（2）线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．

【训练1】如图，

已知BD⊥平面ABC，

MC=

BD，且MC∥BD，AC＝BC，N是棱AB的中点．求证：

CN⊥AD.

考向二　平面与平面垂直的判定与性质

【例2】►如图

所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，

已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4

.M是PC上的一点，证明：

平面MBD⊥平面PAD.

面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有：

判定定理法、平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面）、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法．

【训练2】如图所示，

在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．

证明：

平面ABM⊥平面A1B1M.

考向三　平行与垂直关系的综合应用

【例3】►如图，

在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：

（1）直线EF∥平面ACD；

（2）平面EFC⊥平面BCD.

解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图．图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键．

【训练3】如图，

正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝

，CE＝EF＝1.

（1）求证：

AF∥平面BDE；

（2）求证：

CF⊥平面BDE.

考向四　线面角

【例4】►（2012·无锡模拟）

如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．

（1）求证：

平面AEC⊥平面PDB；

（2）当PD＝

AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

求直线与平面所成的角，一般分为两大步：

（1）找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；

（2）计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．

【训练4】（2012·丽水质检）

如图，已知DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．

（1）证明：

PQ∥平面ACD；

（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

【错题示例】►（2011·江苏）如图，

在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：

（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD.

错因　在运用判定定理时漏掉关键条件致使推理不严谨致误．

实录　

（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP、AD的中点，所以EF∥PD，所以EF∥平面PCD.

（2）△ABD为正三角形，

∴BF⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD

∴BF⊥平面PAD，∴平面BEF⊥平面PAD.

正解　

（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.

又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.

（2）如图，连结BD.

因为AB＝AD，∠BAD＝60°，

所以△ABD为正三角形．

因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.

又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.

【试一试】如图

所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝

AD.

（1）求证：

EF∥平面PAD；

（2）求证：

平面PAB⊥平面PCD.

（2016新课标全国）（本小题满分为12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，

，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是

．

（

）证明：

平面ABEF

平面EFDC；

（

）求二面角E-BC-A的余弦值．

（2014全国）（本小题满分12分）如图三棱柱

中，侧面

为菱形，

.

（Ⅰ）证明：

；

（Ⅱ）若

，

，AB=BC

求二面角

的余弦值.

（本题满分12分）（2015·山西太原市模拟）如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥平面ABCD．

（1）求证：

AD⊥PB；

（2）若BD与平面PBC的所成角为30°，求四面体P－BCD的体积．

【2005全国3，理18】（本小题满分12分）

如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．

（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；

（Ⅱ）求面VAD与面VDB所

成的二面角的大小．

【2011新课标，理18】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．

（1）证明：

PA⊥BD；

（2）设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．

【2010全国2，理19】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1.

（1）证明DE为异面直线AB1与CD的公垂线；

（2）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1AC1B1的大小．

在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC＝

，AB＝2BC＝2，AC⊥FB.

（1）求证：

AC⊥平面FBC；

（2）求四面体FBCD的体积；

（3）线段AC上是否存在点M，使得EA∥平面FDM？

证明你的结论．

（理）如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是

，D是AC的中点．

（1）求证：

B1C∥平面A1BD；

（2）求二面角A1－BD－A的大小；

（3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，点N为B1C1的中点，点P在棱A1C1上运动．

（1）试问点P在何处时，AB∥平面PNC，并证明你的结论；

（2）在

（1）的条件下，若AA1

，求二面角A－BP－C的大小.

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝

AD＝1，CD＝

.

（1）求证：

PE⊥平面ABCD；

（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；

（3）求直线BM与CD所成角的余弦值．