试论高中数学概念教学.docx

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试论高中数学概念教学

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数学概念是构成数学知识的基础，概念教学在整个数学教学中起着举足轻重的作用，而学生对概念的学习不仅仅只限于接受、记忆、死记硬背；数学概念的教学也应该努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹。

一、引入概念的教学

概念的引入是概念教学的第一步，它是形成概念的基础，引入的环节设计、组织的好，后面的教学活动就能顺利展开，学生就会对教师所提供的感性材料进行分析、比较，继而顺利地形成概念。

（1）实例引入，实例引入是指利用学生的生活实际和所熟悉的事物及实例，从具体的感知引出概念，数学是对客观世界数量关系和空间关系的一种抽象，因此在教学中要尽可能的使抽象的数学概念用学生所接触过的、恰当的实例进行引入，如教学“圆的意义”时，由于这个概念比较抽象，因此不能直接给出“圆”的定义，必须从具体到抽象，帮助学生逐步形成“圆”的概念。

（2）旧知引入，旧知引入是指利用学生已掌握的概念引出新概念，数学概念之间有着非常密切的联系，许多新概念是建立在已有概念的基础上，是旧概念的延伸和发展，利用学生已有概念引申、推导出新概念，可以强化新旧知识问的内在联系，帮助学生弄清知识的来龙去脉和前因后果，帮助学生建立概念体系，使学生学到的知识是系统的、完整的，利用这种方法引入，还能充分调动学生学习的积极性、主动性，如讲双曲线的定义时，可以从椭圆定义引入等。

（3）计算引入，计算引入是指通过计算发现问题，通过计算引出概念，教材中有些概念既不便用实例引入，又与已有概念联系不大，就可以通过对运算的观察分析，发现其中蕴含的本质特征，揭示数量或形的本质属性，达到引出概念的目的，有时可以让学生计算出结果，再观察、分析，从中发现规律，继而引出定义。

（4）联想引入，联想引入是指依据客观事物之间的相互联系，由一事物想到另一事物的引入方法，由于数学知识间存在着类似、平行、递进、对比、从属、因果等关系，这就使学生的大脑能将两个看似互不相及的知识联系起来，使学生的思维像展翅的雄鹰在知识的天空中翱翔，教学中启发学生展开丰富的想象，引发多端的联想，会使学生的创造性思维能力在自由联想的天地中获得最大发展，如在教学“排列与组合”时，上课伊始就给学生提出这节课要学习“排列与组合”，要求学生根据课题进行联想，学生依据自己的直觉大胆想到“排列与次序有关”“组合与次序无关”“排列与组合有共性”“排列与组合又有什么本质区别”等，然后再引导学生学习新课，这样引入，既可提高学生的学习兴趣，又能使学生的创造性思维得到发展。

二、形成概念的教学

形成概念的教学是整个概念教学过程中至关重要的一步，概念的形成是通过对具体事物的感知、辨别而抽象、概括出概念的过程，因此学生形成概念的关键就是发现事物或形的本质属性或规律。

（1）比较发现，比较发现是指通过比较事物之间的相同点和不同点，从而总结出本质属性或规律，这种方法是针对事物之间的异同点进行探索，能提供对事物较为全面的认识，是一种重要的科学发现方法，运用这种方法可以使学生正确认识数学知识间的异同和关系，防止知识间的割裂与混淆，使学生更好地理解和掌握数学概念，在比较排列与组合时，可以根据事例总结出“排列”和“组合”的定义。

（2）类比发现，类比发现是指根据两个或两类事物在某些属性上都相同或相似，联想或猜想它们的其他属性也可能相同或相似，继而得到新的结论，它是依据客观事物或对象之间存在的普遍联系相似性，进行猜测得到结论的发现方法，它可以使学生明确知识间的联系，建立概念系统，教学中适当地对学生进行“类比发现”的训练，是培养学生创造性思维的一种重要手段。

（3）归纳发现，归纳发现是指引导学生对大量的个别材料进行观察、分析、比较、总结，从特殊中归纳出一般的带有普遍性的规律或结论，归纳发现是一种不完全归纳，但它仍能从特殊事例中发现该类事物的一般规律，因此这种方法也是一种具有创造性的发现方法，教学中可以引导学生通过对具体实例的直接观察，进行归纳推理，得出结论；也可以让学生对实际例子进行分析，归纳出结论。

（4）操作发现，操作发现是指讲授新的知识前，教师要求学生制作或给学生提供学具，上课时学生按照教师的要求进行操作、实验，使学生主动地、独立地发现事物的本质属性或规律，操作是一个眼、手、脑等多种器官协调的活动，让学生动手操作去发现概念，可以开发学生的右脑功能，使学生的左脑和右脑协调发展；利用操作发现还能充分体现以学生为主体，教师为主导的教学思想；能使学生经历知识产生与发展的过程，使学生经过亲身实践，在探求知识的过程中揭示规律，建立概念，掌握新知。

（5）尝试发现，尝试发现是指在教学过程中，教师不直接把现成的结论告诉学生，而是在教师的指导下，让学生进行尝试活动，使学生在尝试中学习，在尝试中发现，在尝试中成功，尝试是人们认识客观事物尤其是未知事物的一种方式，许多发明创造都是通过尝试而成功的，教学中让学生尝试着去进行发现，成功了可以使学生了解知识的产生发展过程，更好地理解和掌握概念；如果失败，则可引导学生发现自己的错误，使学生了解错误产生的根源，为下一步的尝试成功打下基础。

（河北省永年县第一中学）

浅谈高中数学概念课的教学

熊厚坚

摘要：

随着中学数学新课程标准的颁布实施和新一轮课程改革的全面开展，数学概念课的教学成为中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，本文将结合教学过程中对概念教学的认识和实践作初步的探讨，以期得到同行的指教。

关键词：

数学概念基本要求实施教学　

1.概念的认识与把握

1.1对数学概念的认识

恩格斯曾经说过：

“在一定意义上，科学内容就是概念的体系。

”现代的一些学者认为“数学的学习过程，就是不断地建立各种数学概念的过程”。

概念是客观事物本质属性、特征在人们头脑中的反映，是思维的基本单位。

事物有很多属性，其中有的是本质的，有的是非本质的。

本质属性就是决定该事物之所以成为该事物并区别于其他事物的属性，是事物存在的根据，是与其他事物区分的标志。

如：

圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，这是圆的本质属性，圆的概念就是这一本质属性的反映。

至于圆的半径的长短就不是圆的本质属性，而是非本质属性，圆的概念已舍弃它们。

数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式，是对一类数学对象的本质属性的反映。

数学概念是数学知识中最基本的内容，是数学认知结构的重要组成部分，它还是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是数学学科系统的精髓和灵魂。

从产生的背景来说，一般有两种情形：

一是直接从客观事物的空间形式和数量关系反映得来的。

例如三角函数这个概念就是在“角”“比”“对应”等一系列概念的基础上形成的。

概念是主观的抽象形式与客观的具体内容的辩证统一，是对客观事物更深刻，更完全的反映。

1.2概念的内涵和外延

概念的内涵是指反映在概念中的对象的本质属性。

概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的对象。

内涵是概念的质的方面，即概念所反映的事物是什么样子的。

外延是概念的量的方面，即概念的适用范围，它说明概念反映的是哪些事物。

如复数这一概念，“形如a+bi（a,b为实数）的数”，是其内涵，而“实数”“虚数”则是其外延。

如果学生对概念的内涵或外延不清楚，无形之中就会缩小或扩大概念的使用范围，造成错误。

1.3数学概念的特点

（1）数学概念具有普遍性和严谨性

数学概念是数学研究对象的高度抽象和概括，反映的是数学对象的本质属性。

例如“正方体”的概念。

我们并不是指某一个大小，形状，颜色确定的正方体，而是这些具体大小，形状，颜色各异的正方体的抽象，也就是排除了这类对象的具体物质内容（如大小，颜色，种类）以后抽象出的量的关系和形式构造，反映的是这类对象数与形方面的内在的，固有的属性。

所以在这一类对象范围内具有普遍意义，数学概念对本质属性的刻画是非常严谨的，具有严密性明确的规定性。

（2）数学概念具有抽象性和具体性

数学概念的抽象性主要体现在三个方面：

第一，数学概念反映的是数学对象的本质属性，那么它是抽象的。

第二，数学概念都由反映概念本质特征的符号来表示，如函数的概念用符号表示为

反函数的概念用符号表示为

等，使用了形式化，符号化的语言使数学概念更加抽象。

第三，数学的有些概念是“思维的自由想象”的产物，离现实世界很遥远，如“虚数”。

可见,数学概念具有高度的抽象性,正因为抽象程度愈高,与现实的原始对象联系愈弱,才使得数学概念应用愈广泛,但不管怎么抽象,一个数学概念的背后有许多具体内容作支撑,高层次的概念总是以低层次的概念为其具体内容,而且数学概念是数学命题,数学推理的基础,因此就整个数学体系而言,数学概念又是非常具体的。

（3）数学概念具有生成性与系列性

数学概念大多是在原始概念（原名）的基础上形成的，并采用逻辑定义的方法，以语言或符号的形式使之固定，先前的概念往往是后续概念的基础,从而形成了数学概念的系统结构,因此在学习时,要求学生循序渐进,扎扎实实的打好基础。

（4）数学概念具有相对性与发展性

在某特定研究领域内,数学概念的意义始终是一致的,但数,形等概念本身处于不断发展之中,例如,在小学里的数,指正有理数,在初中里的数,扩展到了实数,到高中,扩展到复数,角的概念,也经历了锐角,任意角,空间角,直线的概念,从平面直线到空间直线,其位置关系,也从初中的两平面直线相交,平行到高中两空间直线的相交,平行,异面等。

2.概念课教学的要求和目前的现状

2.1概念课教学的基本要求

高中数学课程的总目标是:

使学生在九年义务教育数学课程的基础上,进一步提高作为未来公民所必要的数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要.同时高中数学课程标准指出:

丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念,学生的数学学习活动不应只限于对概念,结论和技能的记忆,模仿和接受,独立思考,自主探索,动手实践,合作交流,阅读自学等都是学习数学的重要方式.在高中数学教学中,教师的讲授仍然是重要的教学方式之一,但要注意的是必须关注学生的主体参与,师生互动,高中数学课程在教育理念,学科内容,课程资源的开发利用等方面都对教师提出了挑战。

在教学中,教师应根据高中数学课程的理念和目标,学生的认知特征和数学的特点,积极探索适合高中学生数学学习的教学方式。

2.2目前概念课教学的现状

从平常数学概念的教学实际来看,学生往往会出现两种倾向,其一是有的学生仅仅把数学概念看作一个名词而已,不重视,不求甚解,导致概念认识模糊,不能很好地理解和运用概念,其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背,而不去真正透彻理解,没有认识到很多概念,如函数,向量等,本质是一种数学观念,是一种处理问题的数学方法,长期下去会影响学生对数学基础知识和基本技能的掌握和运用.只有真正掌握了数学中的基本概念,我们才能把握数学的知识系统,才能有正确,合理,迅速地进行运算,推理和论证.从一定意义上说,数学水平的高低,取决于对数学概念掌握的程度。

美国教育心理学家布鲁纳曾说过:

获得的知识如果没有完满的结构将它联系在一起,那是一个多半会被遗忘的知识,一串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命.因此,概念教学必须返璞归真,揭示数学概念的形成过程,让学生从概念的现实原型,概念的抽象过程,数学思想的指导作用,形象表述和符号化的运用等多方位理解一个数学概念,使之符合学生主动建构的教育原理。

3.概念课教学应注意的几个方面

波利亚说,教师讲了什么并非不重要,但更重要千百倍的是学生想了些什么,学生的思路应该在学生自己的头脑中产生,教师的作用在于系统地给学生发现事物的机会,启动学生在允许的条件下亲自去发现尽可能多的东西.因此在教学中,教师应创设情境,使学生在情境中像数学家那样去想数学,经历比较,抽象,概括,假设,验证和分化等一系列的概念形成过程,从中学到研究问题和提出概念的思想方法.在获得概念的同时培养学生的探索能力和创新精神。

3.1引入概念时创设情境

概念的形成是一个积累渐进的过程,因此在概念的的教学中要遵循从具体到抽象,从感性认识到理性认识的原则.学生的思维特点是从具体形象思维逐步向抽象思维过渡的,这种过渡在很大程度上还是依靠丰富的感性材料,所以数学概念不是靠教师讲出来的,而是靠学生自己去感悟,体验的。

高中数学概念,有一部分来源于生产和生活实际,一部分来源于数学本身内在需要,所以教学中要重视概念的引入,让学生明确引入概念的必要性。

（1）用实例,实物,模型或故事引入概念

形成数学概念的首要条件是使学生获得十分重要且合乎实际的感性材料.因此在进行概念教学时,应注意创设情境,让数学与学生的现实生活密切结合,使学生感受到数学是活的,是富有生命力的,不仅有利于学生对于所研究对象的感性认识,并在此基础上认识其本质,还能促进数学直觉的形成,数学思维的发展,更能激发学生思考和创造的源泉.同时,在现实问题的解决中发现的数学概念,形成的数学思想方法,,更能促进学生在以后遇到相关问题时自觉地运用有关的数学经验去思考,解决问题。

（2）让学生亲自做试验,体验概念的形成

在教学中可借助富有探究性,挑战性的问题,让学生在试验中亲自体验数学概念,通过自己的思考建立起对概念的理解,逐渐认识概念本质.如研究几何概型时,可让学生亲自作转盘试验,了解到指针指向转盘圆周上每一点的可能性都是一样的,而指针指向某奖品区A的弧上一点这一事件发生的概率只与A的几何度量成正比,而与A的位置和形状无关,从而顺利理解几何概型的概念。

（3）在学生原有的基础上引入新概念

任何数学概念必定有与之相关的最近概念,因此教学中要以学生已掌握了的知识为基础,引导学生探求新旧概念之间的区别和联系.如角的概念,三角函数的概念都可以在初中的基础上扩展,这样有助于学生掌握相互联系的知识,提高学生对数学知识之间的整体认识。

（4）由数学本身内在需要引入概念

中学数学的有些概念是为了解决数学内部的问题而引入的,如为了解决X2=-1的解而引入了复数的概念,为了确定两条异面直线的位置而引入了两条异面直线所成的角和距离等。

这时不妨从问题出发,创设情境,让学生在认知冲突中激发求知欲望。

3.2形成概念时探索交流

学会学习是一个现代人生存和发展的首要条件,自主探究与合作交流是学生理解和掌握知识的重要途径.新课程理念下的课堂是师生共同生活,共同发展的场所,学生在自主探究与合作交流过程中,应主动地提出问题,自由地展开讨论和交流,敢于尝试,学会倾听和进行自我反思.如果能在有限的合作时空里全员参与,在互动中互帮互学,那么不仅能有助于增强学生的合作意识,而且还能为学生获得终身学习的能力奠定基础。

3.3表述概念时必须准确

概念形成之后,应及时让学生用语言表述出来,以加深对概念的印象,促进内化,语言作为思维的物质外壳,教师可从学生的表述中得到反馈信息,了解,评价学生的思维结果.由于数学概念是用科学的,精练的数学语言概括表达出来的,它所揭示事物的本质属性必须确定,无矛盾,有根有据并合情合理.因此培养学生正确的表述概念,能促进学生思维的深刻性。

3.4巩固概念应用变式

初步形成的概念,巩固程度差,易受相近概念的干扰,适时利用变式训练有助于纠正学生的思维偏差.学生在感知立体几何图形的过程中,往往会受到图形的一些非本质属性的影响,把画在黑板上或书上的标准图形看作本质属性.如将正三棱锥S-ABC画成A-SBC时,学生易错误地说它不是正三棱锥.因此利用变式图形,如呈现若干个位置或大小不同的正三棱锥,让学生观察辩认,就有利于克服感知图形时的消极影响,帮助学生从方位和量的比较中引起对知识更为深刻的正面思考,使获得的概念更精确,更稳定。

3.5运用概念时联系实际

枯燥的概念与学生的生活实际结合起来,对概念的理解就更透彻了,还能认识到数学的价值,获得运用知识的能力.培养学生的实践能力对于提高学生的创造力起着至关重要的作用,只有积极参与实践,才能发现新问题,提出新见解,新思想,新方法,才能把握创造的机会进行成功的创造,提高创新能力,让学生用学到的数学概念解决日常生活中的实际问题,是概念教学中培养学生应用意识的有力手段。

4.概念课教学在课堂实践中举例

课题:

条件概率

教学过程:

环节一:

情境引入

在我们的生活的世界上,充满着不确定性,从流星坠落,到大自然的千变万化,从婴儿诞生,到世间万物的繁衍生息,都充满奇异的随机现象,我们能根据现在预测未来吗?

这节课就让我们从生物的保护谈起吧:

首先播放一段中华鲟视频。

提出问题:

中华鲟由出生算起活到30岁的概率为0.8,活到35岁的概率为0.4,大家看到的这条中华鲟现在恰好30岁,他能活到35岁的概率有多大呢?

[设计意图]从学生感兴趣的生物保护切入,引起学生的兴趣,激起学生探究新知的欲望。

学生答案可能是:

0.4,0.32,0.5等,为留悬念,教师暂不让学生阐述自己的想法,提出,哪位同学的答案正确呢?

这条中华鲟能活到35岁的概率究竟是多大呢?

当你研究了今天的课题就会明了.板书课题:

条件概率。

环节二:

概念形成

投掷红,蓝两颗骰子,如果用x代表红骰子所得点数,用y代表蓝骰子所得点数,这个随机试验的基本事件空间可以怎样表示?

问题1:

（1）事件A=蓝色骰子的点数为3或6,则P（A）=

（2）事件B=两颗骰子的点数之和大于8.则P（B）=

（3）事件C=蓝色骰子的点数为3或6且两颗骰子的点数之和大于8,则P（C）=

第

（1）

（2）直接由学生口答。

[设计意图]以上三个问题可以让学生在回答的过程中复习了古典概型的概率求法,为下面学习新知识做好知识方面的铺垫。

第（3）题让一位同学回答,在得到正确答案后,老师给出积事件的定义:

事件C可以理解为事件A和事件B同时发生,称为事件A与事件B的交（或积）。

提出思考1:

能否用集合表示积事件?

如何求积事件

的概率?

让学生画在笔记本上,体会积事件的含义,学生画文氏图,明确事件

直观表示，总结积事件概率的求法。

[设计意图]积事件的概率和条件概率是学生容易混淆的,让学生明确积事件的概念为后面学习扫清障碍。

思考2:

这个随机试验的基本事件空间为

大家考虑一下

是否也可以看作一个事件?

思考3:

第一个问题叙述成事件

发生的条件下,事件A发生的概率是多少?

行不行?

在学生了解到以前所学的概率可以认为是在基本事件空间

发生下的概率后,提出。

（4）事件D=已知蓝色骰子的点数为3或6的前提下,两颗骰子的点数之和大于8,则P（D）=

让学生讨论回答并阐述想法,初步接触条件概率。

在解决问题的过程中,学生会发现:

既然事件A已经发生了,所以我们就只能在A范围内研究B发生的概率,这样在A范围内B发生所包含的基本事件数直观上看实际就是

的个数。

[设计意图]课堂教学体现学生自主探究知识的过程,问题的设置体现了研究问题深度的增加。

教师提出:

通过第（4）小题,同学们已经解决了一个条件概率的问题,那谁能说一说条件概率的概念呢?

让两至三位同学回答,其他同学补充,形成概念:

对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,记作

。

让学生交流讨论,自主探究条件概率的计算公式:

=

（P（A）>0）

问题2:

与

的区别是什么?

让学生观察比较条件概率和积事件概率的联系与区别,讨论交流后展示成果,请两位学生回答,其他同学补充得出。

[设计意图]类比两个概率的求解过程,体现了新旧知识的联系与区别,符合学生的认知规律,同时深化了对条件概率概念的理解。

总结积事件概率和条件概率的不同之后解决引入中的疑惑:

判断一下那条30岁的中华鲟能活到35岁的概率到底是多少。

环节三:

概念应用

举例,（略）

环节四:

知识归纳

环节五:

作业布置

综上所述,新理念下的数学概念教学,是按照人类认识科学的一般规律和途径:

引出问题-形成猜想-演绎结论-应用拓展来进行的,让学生经历这样一个过程,不但能使学生逐步掌握概念本质,还能使学生感受到探究与合作的无限快乐,感觉到自己精神,智慧力量的增长,使学生的个性得充分的发展。

参考文献：

[1]李明照，“问题探究式”教学在高中数学课堂的实践与思考，数学教学研究[J]NO、82005年

[2]袁竟成，一堂关于直线和圆的建构式习题课，数学教学[J]，NO、3　2004年