243 圆周角.docx
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243圆周角
简单
1、如图，AB是⊙O的直径，∠C＝30°，则∠ABD等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】连接AD，由AB是⊙O的直径，可证∠ADB＝90°，由圆周角定理可证∠A＝∠C＝30°，即可求∠ABD．
【解答】解：
连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠C＝30°，
∴∠ABD＝90°－∠A＝60°．
故选D．
2、如图，在⊙O中，弦BC平行于半径OA，AC交OB于M，∠C＝20°，则∠AMB＝（ ）
A．60°B．30°C．40°D．70°
解：
∵∠C＝20°
∴∠AOB＝40°
又∵弦BC∥半径OA
∴∠OAC＝∠C＝20°
∵∠AMB是△AOM的外角
∴∠AMB＝60°．
故选A．
3、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠B＝70°，则∠A的度数是（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠B＝70°，
∴∠A＝90°－∠B＝20°．
故选A．
4、在⊙O中,弦AB,CD垂直相交于点E,求∠BOC＋∠AOD＝（）°.
A.90B.120C.180D.150
解：
∠BOC＝2∠BAD
∠AOD＝2∠ACD
弦AB、CD垂直相交于点E
在直角三角形ACE中,∠BAD＋∠ACD＝90°
∠BOC＋∠AOD＝180°
故选C
5、下列命题正确的是：
①顶点在圆上的角是圆周角；②90°的圆周角所对的弦是直径；③同弧所对的圆周角相等；④平分弦的直径垂直于弦；⑤三点确定一个圆（ ）
A．②③B．①④⑤C．②④⑤D．②④
【分析】根据圆周角，圆周角定理，垂径定理以及确定圆的条件即可求解．
【解答】解：
①顶点在圆上，且两边与圆相交的角是圆周角，故这个命题错误；
②90°的圆周角所对的弦是直径，正确；
③同弧所对的圆周角相等，正确；
④平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦必须不是直径，故命题错误；
⑤不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误．
则正确的是②和③．故选A．
6、下列说法错误的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．垂直半径的一端的直线是圆的切线
【分析】A、根据垂径定理即可判断；平分弦的直径垂直于弦不一定成立，当弦为直径时，应为平分弦（非直径）的直径垂直于弦；
B、根据圆周角定理就可判断；
C、根据圆心角、弧、弦的关系即可判断；
D、根据切线的定义即可判断．
【解答】解：
A．平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，选项没有强调非直径，故本选项错误．
B．根据圆周角定理半圆（或直径）所对的圆周角是直角，故此选项正确；
C．根据圆心角、弧、弦的关系，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等，故此选项正确；
D．根据切线的定义，过半径外端点且垂直于半径的直线为圆的切线，故此选项正确；
故选：
A．
7、圆的弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角是（）．
A30°.B.120°C.150°D.30°或150°
【分析】先由弦和两条半径得到等边三角形，则弦所对的圆心角为60度，要求这条弦所对的圆周角分两种情况：
圆周角的顶点在弦所对的劣弧或优弧上，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求出两种类型的圆周角．
【解答】解：
如图，
AB为⊙O的弦，且AB＝OA，则△ABO为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠P＝30°，
∴∠P′＝180°－∠P＝180°－30°＝150°．
∠P、∠P′都是弦AB所对的圆周角．
所以圆的弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角是30°或150°．
故选D．
8、如图，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，求△ABC的周长．
A.6B.8C.9D.12
【分析】由∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，所以∠A＝∠ACB＝60°，得到△ACB为等边三角形，又AC＝3，即可得到△ABC的周长．
【解答】解：
∵∠A＝∠BDC，
而∠ACB＝∠CDB＝60°，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴△ACB为等边三角形，
∵AC＝3，
∴△ABC的周长为9．
故选C
9、如图，已知A，B，C，D，E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A＋∠B＋∠C＝（）度．
A.60B.90C.120D.150
【分析】连接AE，根据圆周角定理可证∠B＝∠EAD，又因为AC为⊙O的直径，可证∠AEC＝90°，得到∠DAC＋∠B＋∠C＝∠DAC＋∠EAD＋∠C＝∠C＋∠EAC＝90°．
【解答】解：
连接AE，
则∠B＝∠EAD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴∠DAC＋∠B＋∠C＝∠DAC＋∠EAD＋∠C＝∠C＋∠EAC＝90°．
即∠A＋∠B＋∠C＝90°．
故选B
10、如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC＝100°，则∠ABC等于（ ）
A．140°B．110°C．120°D．130°
【分析】设点E是优弧上一点，由圆周角定理可求∠AEC＝1/2∠AOC＝50°，由圆内接四边形的对角互补可求∠ABC＝180°－∠AEC＝130°．
【解答】解：
设点E是优弧上一点，
∵∠AOC＝100°，
∴∠AEC＝1/2∠AOC＝50°，
∴∠ABC＝180°－∠AEC＝130°．
故选D．
11、如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）
A.∠4＜∠1＜∠2＜∠3
B.∠4＜∠1＝∠3＜∠2
C.∠4＜∠1＜∠3＜∠2
D.∠4＜∠1＜∠3＝∠2
∠2＞∠1＝∠3＞∠4
∠1和∠3是圆周角
∠4是圆外角
∠2是圆内角
故选B
12、有下列四个命题：
①直径是弦；
②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；
④半径相等的两个半圆是等弧．
其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
【解答】解：
①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；
②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．
故选：
B．
13、如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若∠DPB＝α，那么CD：
AB等于（ ）
A．sinαB．cosαC．tanαD．cotα
【分析】连接BD得到∠ADB是直角，再利用两三角形相似对应边成比例即可求解．
【解答】解：
连接BD，由AB是直径得，∠ADB＝90°．
∵∠C＝∠A，∠CPD＝∠APB，
∴△CPD∽△APB，
∴CD：
AB＝PD：
PB＝cosα．
故选B．
14、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝160°，则∠BCD＝（ ）
A．160°B．100°C．80°D．20°
【分析】根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，易求得圆周角∠BAD的度数；由于圆内接四边形的内对角互补，则∠BAD＋∠BCD＝180°，由此得解．
【解答】解：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°；
又∵∠BAD＝1/2∠BOD＝80°，
∴∠BCD＝180°－∠BAD＝100°；
故选B．
15、已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，⊙O是△ABC的外接圆，D是优弧BC上任一点（不与A、B、C重合），则∠ADB的度数是（ ）
A．50°B．65°C．65°或50°D．115°或65°
【分析】根据已知画出图形，得出∠ABC＝∠ACB＝65°，再利用圆内接四边形的性质得出即可．
【解答】解：
∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠C＝∠D′，∠C＋∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°－65°＝115°，
∠AD′B＝65°，
故选：
D．
16、下列说法错误的是（圆周角均指小于平角的角）（ ）
A．同弧所对的圆周角相等
B．同弧上的圆周角等于圆心角的一半
C．同弧所对的圆心角相等
D．同弧上的圆心角等于圆周角的一半
【分析】由圆周角定理：
同弧所对的圆周角相等，等于所对圆心角的一半，即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．
【解答】解：
A、同弧所对的圆周角相等，故正确；
B、同弧上的圆周角等于圆心角的一半，故正确；
C、同弧所对的圆心角相等，故正确；
D、同弧上的圆心角等于圆周角的2倍，故错误．
故选D．
难
1、如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AB⊥CDB．∠AOB＝4∠ACD
C．弧AD＝弧BDD．PO＝PD
【分析】根据垂径定理及圆周角定理可直接解答．
【解答】解：
∵P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，
∴AB⊥CD，弧AD＝弧BD，△AOB是等腰三角形，
∴∠AOB＝2∠AOP，
∵∠AOP＝2∠ACD，
∴∠AOB＝2∠AOP＝2×2∠ACD＝4∠ACD．
故选D．
2、如图，正方形ABCD内接于圆O，点P在弧AD上．则∠BPC＝（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【分析】由此图可知，正方形正好把圆周长平分为四等分，即把圆心角平分为四等份，所以∠BPC等于90°÷2＝45°．
【解答】解：
连接OB、OC；
∵四边形ABCD是正方形，且内接于⊙O，
∴∠BOC＝90°；
∴∠BPC＝1/2∠BOC＝45°；
故选C．
3、在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为（ ）
A．30°B．60°C．150°D．30°和150°
【分析】弦所对的弧有优弧和劣弧，故弦所对的圆周角也有两个，它们的关系是互补关系；弦长等于半径时，弦所对的圆心角为60°．
【解答】解：
如图，弦AB所对的圆周角为∠C，∠D，
连接OA、OB，
因为AB＝OA＝OB＝2，
所以，∠AOB＝60°，
根据圆周角定理知，∠C＝1/2∠AOB＝30°，
根据圆内接四边形的性质可知，∠D＝180°－∠C＝150°，
所以，弦AB所对的圆周角的度数30°或150°．故选D．
4、已知A,B,C,P是圆O上的点,弧AB＝弧AC,∠APC＝60°,△ABC是什么三角形？
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形
证明：
∵∠ABC、∠APC所对应圆弧都为劣弧AC
∴∠ABC＝∠APC
∵∠APC＝60°
∴∠ABC＝60°
∵∠ABC对应劣弧AC、∠ACB对应圆弧AB,弧AB＝弧AC
∴∠ACB＝∠ABC＝60°
∴△ABC是等边三角形
故选C
5、如图，已知△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D，E为AC的中点，延长ED交⊙O于F．
求证∠BAO与∠ADE是否相等
A.相等B.不相等
【解答】
（1）证明：
作直径AM，连结BM，如图，
∵AM为直径，
∴∠ABM＝90°，
∴∠BAM＋∠M＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＋∠C＝90°，
∵∠C＝∠M，
∴∠BAM＝∠DAC，
∵E为AC的中点，
∴AE＝DE，
∴∠ADE＝∠DAE，
∴∠BAO＝∠ADE；
故选A
6、己知：
如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．
（1）求证：
∠DAC和∠DBA是否相等；
（2）求证：
P是否为线段AF的中点．
A.
（1）是；
（2）不是
B.
（1）是；
（2）是
C.
（1）不是；
（2）不是
D.
（1）不是；
（2）是
【分析】
（1）根据圆周角定理得出∠DAC＝∠CBD，以及∠CBD＝∠DBA得出答案即可；
（2）首先得出∠ADB＝90，再根据∠DFA＋∠DAC＝∠ADE＋∠PDF＝90°，且∠ADB＝90°得出∠PDF＝∠PFD，从而得出PA＝PF．
【解答】
（1）证明：
∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠CBD，
∴∠DAC＝∠DBA；
（2）证明：
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ADE＋∠EDB＝∠ABD＋∠EDB＝90°，
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP，
∴PD＝PA，
∵∠DFA＋∠DAC＝∠ADE＋∠PDF＝90°，且∠ADB＝90°，
∴∠PDF＝∠PFD，
∴PD＝PF，
∴PA＝PF，
即：
P是AF的中点；
故选B
7、如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则AOC的度数为（ ）
A．70°B．60°C．45°D．30°
【分析】根据圆周角定理得到∠ABC＝1/2∠AOC，则有1/2∠AOC＋∠AOC＝90°，然后解方程即可．
【解答】解：
∵∠ABC＝1/2∠AOC，
而∠ABC＋∠AOC＝90°，
∴1/2∠AOC＋∠AOC＝90°，
∴∠AOC＝60°．
故选B．
8、如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝54°，连接AE，则∠AEB的度数为（ ）
A．36°B．46°C．27°D．63°
【分析】根据BE是直径可得∠BAE＝90°，然后在▱ABCD中∠ADC＝54°，可得∠B＝54°，继而可求得∠AEB的度数．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝54°，
∴∠B＝∠ADC＝54°，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AEB＝90°－∠B＝90°－54°＝36°．
故选：
A．
9、如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE＝______．
A.2B.
C.1D.2
∵AC＝AD，∠A＝30°；
∴∠ACD＝∠ADC＝75°；
∵AO＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°；
∴∠OCD＝45°，即△OCE是等腰直角三角形．
在等腰Rt△OCE中，OC＝2；因此OE＝
．
故选B
10、如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
A．4
cmB．3
cmC．5
cmD．4cm
【分析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB＝∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE＝AF＝3cm，根据勾股定理，得DE＝4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．
【解答】解：
连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD＝∠BAD（角平分线的性质），
∴弧CD＝弧BD，
∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，
∴△AOF≌△ODE，
∴OE＝AF＝1/2AC＝3（cm），
在Rt△DOE中，DE2＝OD2−OE2＝16，DE＝4（cm），
在Rt△ADE中，AD2＝DE2＋AE2＝80，AD＝4
（cm）．
故选：
A．
11、如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F。
（1）求证：
CF与BF是否相等；
（2）若AD＝2，⊙O的半径为3，求BC的长。
A.
（1）相等；
（2）2
B.
（1）相等；
（2）6
C.
（1）不相等；
（2）2
D.
（1）不相等；
（2）6
解：
（1）连结AC，如图
∵C是弧BD的中点
∴∠BDC＝∠DBC
又∠BDC＝∠BAC
在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB
∴∠BCE＝∠BAC
∠BCE＝∠DBC
∴CF＝BF。
（2）作CG⊥AD于点G
∵C是弧BD的中点
∴∠CAG＝∠BAC，即AC是∠BAD的角平分线
∴CE＝CG，AE＝AG
在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE＝CG，CB＝CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG
∴BE＝DG
∴AE＝AB－BE＝AG＝AD＋DG
即6－BE＝2＋DG
∴2BE＝4，即BE＝2
又△BCE∽△BAC
∴BC2＝BE·AB＝12
BC＝±2
（舍去负值）
∴BC＝2
。
故选A
12、已知：
如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45度．给出以下五个结论：
①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①②⑤D．①②③⑤
【分析】根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角等知识，运用排除法逐条分析判断．
【解答】解：
连接AD，AB是直径，
则AD⊥BC，
又∵△ABC是等腰三角形，
故点D是BC的中点，即BD＝CD，故②正确；
∵AD是∠BAC的平分线，
由圆周角定理知，∠EBC＝∠DAC＝1/2∠BAC＝22.5°，故①正确；
∵∠ABE＝90°－∠EBC－∠BAD＝45°＝2∠CAD，故④正确；
∵∠EBC＝22.5°，2EC≠BE，AE＝BE，∴AE≠2CE，③不正确．
∵AE＝BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误
故选B．
13、观察图1－图4相应推理，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】对每个选项进行分析，从而确定答案．
【解答】A、因为不在同圆或等圆中，故不正确；
B、可由圆周角定理得到，故正确；
C、弧的度数等于它所对的圆心角的度数，故不正确；
D、不符合垂径定理的条件，故不正确．
故选B．
14、如图，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，且⊙O2的圆心O2在圆⊙O1的圆上，P是⊙O2上一点，已知∠AO1B＝60°，那么∠APB的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【解答】解：
连接AO2、BO2，
设点E是优弧上的一点，
∴∠E＝1/2∠AO1B＝30°，
∴∠AO2B＝180°－∠E＝150°，
∠P＝1/2∠AO2B＝75°．
故选D．
15、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点CD⊥AB，垂足是D．若∠CAB＝α，则AD：
AB＝（ ）
A．cos2αB．cosαC．sin2αD．sinα
【分析】在直角△ADC中，利用三角函数的定义可以得到AD＝AC·cosα；
同样在直角△ABC中可以得到AC＝AB·cosα，然后代入所求的比例式即可得到结果．
【解答】解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
而CD⊥AB，
∴在直角三角形ADC中，AD＝AC·cosα．
在直角三角形ABC中，AC＝AB·cosα，
∴AD＝AB·cos2α，
∴AD：
AB＝cos2α．
故选A．
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