完整版第二章行列式习题解答.docx
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完整版第二章行列式习题解答
第二章行列式习题解答
1.决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性：
1）134782695;
解•吒13478269为=0+4+0+0+4+2+0+0=10偶排列.
2）217986354;
解：
吃179眈54）二1+0+4+5+4+3+0+1=18,偶排列；
3）987654321;
解：
璋876別艾1）=8+7+&+5+4+F+2+1=26,偶排歹【」.
2.选择'与上使
1）1274巧陆9成偶排列；
解：
•与上一个为3,另一个为8,而咲1刀43两9）=2+1+1+1=5是奇排列，
由对换的性质因此有H；
2）庇荻4斬成奇排列.
解：
与七一个为3,另一个为6,而^32564897）=1+2+2=5是奇排列，因此有心工宀6.
3.写出把排列1羽孑5变成排列25341的那些对换.
解：
124站卩*）214笳（也）25431仲）比鈔41
4.决定排列巾-—心的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解：
1与其他数构成卫个逆序，2与其他数构成汽_2个逆序，…山-2与其他数构成2个逆序，芒一1与兀构成1个逆序，故
巩対住_1）…21）二3_1）十@_2）+…+2+1二^
当"毗或"滋+1（上为正整数）时，排列为偶排列；当"处+2或
n-Ak^3为正整数）时，排列为奇排列.
5.如果排列w’j二的逆序数为：
，排列厂二的逆序数是多
少？
解:
中任意两个数码=：
与丁必在而且仅在两个排列
°：
二'"■或**-1…中之一构成逆序，月个数码中任取两个的不同取法有
”2个，因此两个排列的逆序总数为戈，所以排列…F的
陨"1）_总
逆序数为Z
6.在6级行列式中，心円三j汽这两项应带有什么符
号？
严小吟心皿）-（_［严"，因此项计吻恥％带正号.
7.写出四级行列式中所有带有负号并且包含因子一心的项.
-£l11LJ23«32a44?
七护34迎小
解：
因为：
匚上-'，因此所求的项为
1）
00*-01
00・-20
III11111«1111fe■
0卫一1•…00
n0■■*00
；2）
010...0
002...0
000...丹-1
nQ0...0
7
3）
0…0
0-200
■a«•■即ia«i»iife■
m-1・■-000
0・■-00«
_^1+^23^31^42-
8.按定义计算行列式:
解：
1）该行列式含有的非零项只有m/JAi…叫七％1,带的符号为CU2，
值为57』，因此原行列式等于（T」3创.
2）该行列式含有的非零项只有①曲曲心小卅池，带的符号为值为「2，因此原行列式等于df.
3）该行列式含有的非零项只有%”宀"叫％，带的符号为
（7丄，值为，因此原行列式等于卜1）2创.
9.由行列式定义证明：
证明：
行列式的一般项为I==二，列指标•「S1只能在1,2,3,4,5
中取不同值，故*「】中至少有一个要取3,4,5中之一，而'厂恥宀从而每一项中至少包含一个零因子，故每一项的值均为零，因此行列式的值为零.
10.由行列式定义计算
2a12
1x1-1
32工1
111工
中/与/的系数，并说明理由.
解：
行列式元素中出现兀的次数都是1次的，因此含屏项每一行都要取含齐的,因此含/项仅有%如宀，其系数为2,符号为正，h的系数为2.类似的含尸项仅有知灼金％，其系数为1,符号为负，代的系数为-1.
11.由
1・-•1
11■■■1
...=Q
■♦V
11・•1
证明：
奇偶排列各半
证明：
行列式每一项的绝对值为1行列式的值为零，说明带正号项的个数等于带负号项的个数•由定义，当项的行指标按自然顺序排列时，项的符号由列
1）由行列式定义，说明'「是一个卞―〔次多项式;
2）由行列式性质，求'的根.
解：
1在行列式’〔中只有第一行含有t，出现t最高次数为次，由
为互不相同的数可得其系数不为零，因此'•是一个・】次多项式
2）用■，，，r^--分别代*，均出现了两行相同，因此行列式为0.即
宀为—的全部根
13.计算下面的行列式：
246427327
10W543443
八-342721621小、
1）；2）
3111
1234
1311
2341
1131
3412
3）
1113
；4）
4123
9
1+A
1
1
1
（a+2）2
（a+3a
1
1-工
1
1
4+1）2
0+卯
@+卯
11
1+》
1
W+1尸
（亡+卯
（心
5）
11
1
I
；6）
9+1尸
（八疔
解：
1该行列式中每行元素的和为
1000的倍数，第2列与第三列相差100，
2
3
1
3
246
427
327
1000
427
327
6
7
1000
100
327
1014
543
443
2000
543
44孑
-
—
2000
100
443
-342
721
€21
1000
721
621
1000
100
621
327
116二-294x12
294
5）显然当二=■'或」时均有两行元素相同，因此行列式为0.当'时
1h-x
11
1I
f
0
0
1
c4-x~\
'i
0
0
0
1
]
-x1
1七
、厂5（
〕■
-X
0
]
c4+z1<
i
0-
-X
0
0
3y
1
1g
1P
=123（
）
0
y
1
5-严
:
3
0
0
y
0
1
11
i-卅
肿
y
1-7
y
A
y
-y
【口十
3十2尸
⑺十浙
十1
牝十4
6口十夕
（*+Da
辿+2尸
叶卯
*
22）+1
4b+4
6b+9
（T
尸
（小尸
L3
2^+1
4亡+4
&+9
d2
3+1尸
3+計
&+卯
茲十1
4d+4
阳+9
b+亡c+txa+b
abe
右L+百1号+%如4玄
=2
旬玄巧
-
14.证明：
鸟+勺耳+勺巴十坊
也®巾
加+12
6
6_
6-
6
i+c
c^a
a+b
2（a十B十u）
c+a
戊+B
A.+勺
=
2（d|+坷+5）
码+歼
证明：
為+勺
如+S
2（角+务+勺）
勺+码
+i+cc+a
=2口］+妬+匕1百［+（3］
巧十毎十勺勺+包
15.算出下列行列式的全部代数余子式:
1214
0-121
1-12
0021
321
poos
；2）
014
-121
021
0-11
4i=
021
=-6;血=-
021
=0；j4o=
001
=0
003
003
003
14
21=6;
0
-12
4+=-
0
02
=0；4j!
=-
0
00
解:
1）
2
0
0
14
21
03
1
=-12;爲立=0
n
-4b==°；■41=1》4盘=-^3=—5-^34=Q斗］.=乙&2=Q'Ab=L；&4=7
41=
2）
=3^=-
-12
14
1-1
01
=5,=
1-1
32
16.计算下面的行列式
11111卩0
211-*厂©*0
122510
4321||斗1
1
1
1
2
2
-5
=1.
4
2）
3
1
2
1
3
4
1
3
17
1丄
1
5
4
6
4
1
2
J
2
1
10
n1
—
2
—
—
2
—
—
—
2-
3
2
2
1
-1
|：
4
-10
-1
1
0
1
|3
1
17
1
1
-1
3
2
1
6
10
13
12
1°
1
2-1
4
0
1
2
-1
4
0
1
2
一］
4
2
a
1
2
:
2
0
1
2
1
2
-6
1
2
1
一
3
5
]
2
二
一1
3
5
1
2
二
-1
6
5
1
2
3
3
1
2
:
1
3
0
0
0
0
0
0
0
2
1
n
3
5
2
1
0
3
5
2
-5
0
3
5
-1
1
0
2
0-5
12
0-9
03
-5
2
37
-11
2
-9
-3
=一
0
0
-3
=-483.
3
5
55
-12
5
=-36-3
-5
5
1
1
2
n
-1
1
1
1
2
-1
2
3
2
1
0
二
1
-1
0
1
2
1
兀
2
1
3
0
20
-10
10
23
-1
1
3
2
1
3
11014
1618
0
-7
0
-10
3
-16=114
-19
18
0
-7
-W
17.计算下列乜级行列式:
J.
2
2
12-2
-1
2
2
13
7
110
-112
16
-16=-12
-19818
0
-1
-10
0
12
17
613
1）
X
y
I〕
…0
0
Q
y
…o
0
0
0
c
…K
y
y
ri
c
…0
■■■
3）&心
12
22
22
2
2
3
»■i
•II
2
2
2
1
1
0
23-■
垃一1
0
0
溶
Cl
CI
-1
2
o…
-2
4）
■■■I■■4
22
a■»a
2
■II
w«■
+I*
Ji
7
5）
+1■
0
II*
0
4-iICI+
0…
bl*
-1
1-ra
解1
）按第一列展开得
x
F0
t）
0
X
…0
0
y
0
0
…0
0
0
龙y
0
0
0
X
…0
0
X
y
0
…0
0
■I-K
■*I■4I
»■I-
4I»■
II4
-冥
■41
»II-
■11+I■4
■-KI
十
（-1严》
■*I
I-fiE
■I-
■I«I»■4
■4
0
00
*■■■
X
y
0
0
…x
y
仃
0
0
…y
0
y
00
¥«l>
0
X
1
0
…o
工
L-i
y
0
0
y
也可以按定义计算，非零项只有两项及'—…「八值分别为"和厂，符号分别为+和「，因此原行列式1?
，t
2）解：
当阅i时，行列式等于问■対；当"2时
原行列式
当吃二三时，从第二列起，每一列减去第一列得:
工1_的
冷…G
抵…召
1■V
亏_朋…兀
■»11«■«■»
—
Sxi
H■
_枕
1
七—枕…丹
h■n■■■■■■
…召一翩
鬥
一懣
勺…码一规
d-1
从第二列起，每一列都加到第一列然后提取因子得
3）解:
1
也■■■耳
]
乃…G
1
心一烧■■■X”
'j
-m…0
（S為一阀
=（壬再-廉）
i-L
■4
B*■■4I«■I-
■*I
II-4#III3-I
]
八•耳-附
0
0…-W3
=（备-觀）（-计
1
2
2…
2
1
2
2…2
1
0
0
…0
2
2
2…
2
1
0
0
…0
1
2
2
…2
2
2
3-
2
二
1
0
1
…0
二—
1
0
…0
■■■•
■V■■
■■4■»■I-
V■■
■»■■■'■■
■■■'■
■*■
«■»»■■
2
2
2…
•吃
]
0
0
…丹一2
1
0
0
…2
两行后化为三角形得:
然后交换
解:
4）
1,2
从第二行起每一行减去第一行,
1
2
3•…
用-1
V-4
2
3…
73-1
1
-1
0■-
0
0
.5—1
0
-1
0…
0
0
0
2
-2・・・
0
0
=
0
2
-2…
0
0
0
0
0…
用—1
1—料
«■|>
0
■>11
0
■1V■>11
0…
1«■
N-1
■iV
1一冷
2列起每一列都加到第
然后按第一列展开得到:
列,
1
5）
解：
从第
耳一1
»1
二&連2…吐（附一龙―）；
j-1康
（］二2,3"■，聊+1）
证明：
从第2列起，每一列的-倍加到第一列即可得:
二1用_壬_
%
1
1
…1
1
1
-1
j>l葩
1
的
0
■…0
0
0
…0
1
■1
巾
0
B
■
1
・・・0
«
■
二
0
0
禺
■■■0
1
0
0
・・■
|>
0
■
0
•
■
0
1
■-叫
证明：
当“°时结论显然成立，当疋八时，第一行的工加到第二行，然后第
\_
行的工加到第三行，依次类推可得:
小+"学…笋+禺）"+%严iw+飾
证法二：
按最后一列展开即可得.
证法三：
按第一行展开再结合数学归纳法证明•
证法四：
从最后一行起，每一行乘以X加到上一行，然后按第一行展开可得:
X
0
0…
0
%
A
0
0…
0
-1
X
0…
0
h
X
0…
0
盘］
a
-1
X…
0
0
-1
X
0
■
■
■
■
■
二
・
■
■
*
■1
-
■
■
*
*
■
«
H
■
■
■
■
■
1
1
■
■■
a
0
0*■'
0
0
0'•*
0
a
0
0…
「1
Q
0
0…
-1
兀+J1
IJ
0
0
…0
孟"+|2”］乳"1+■■・+（3］工+口0
-1
0
0
…0
茂+务+…的
0
-1
0
…0
9—□»—3
X++…眄
H
■
■
1
1
«
■
-
*
B
■
■
■
■
0
D
0
…0
0
0
0
■■9V］
=（—l）w+l（X™+込_]才】+…+fif[北+引）
-1
）
二（-1严*0+）（-1）"_1=
十…+硯丸+%
就+$
afi
0…
0
0
1
ar+
ap…
0
0
0
1
口十0…
0
0
ar—Q"
■■1
■■■
■HlH■■
■in
H■■
a-Q'
0
0
0…
C£-\-jS
3）
C1
0
0…
1
少+fl
0
解:
原行列式按第一行展开得：
'.「+广―-一―’丁，一•因此有
即J是以■宀-为首项，以二为公比的等比数列.因此有
&_
类似有必％二才.当“0时，解得Ha-^.
证法二：
按第一行展开找到递推关系，再结合数学归纳法加以证明
1
2cosC&
1
cosa
1
0
4）
证明：
对行列式的级数用第二数学归纳法证明
_cosa1
12cosa
*2
=2cos4一1=2d
，因此结论成立.
假设当级数小于T时结论成立，对咛级行列式匚按最后一行展开得:
Dk=2cos^r-Ds_2=2cosa-cos（^-l）a-匕加山一2）口
=2cosc<>s[（?
;-l）dU-iT]
=-l）a-sinasinfw-l）dr=cosna
由数学归纳法，结论成立•
注意：
因为主对角线上第一个元素为曲口，其它主对角线上元素为
2l:
<:
;-，本行列式按第一行展开得到的低级数行列式与原行列式形式不同，无
法得到与*兀之间的递推关系，而按最后一行可得到递推关系
1
1-I-心
1
a1
二甸孔…碍门+卫—）■i-ia.
证明：
从第二行起,
再三角化
1+盘]
1
1…
1
1+位11
1
…1
1
1亠①
1…
1
_口］叫
0
…0
1
H
1-
1
1
]+也…
1
■#
1
■
■
=
_筍0
■■
■
…0
II
'■
i
1
1
•#I
■
15
一口10
0
■
…仇
行减去第一行先化为爪形行列式,
1
1+&1+E竺za20
=0+^1+S—）^3-^"曲他…耳（1十艾丄）
2-1[7^
19.用克拉默法则解下列线性方程组:
5开i+6勺=1
Xj+5%4陆=0
©+5衍-F6a4=0
也+5x4十&屯=0
&+%5-1
z!
Jlj—x、十3兀m2工4二b”3ij一3叼+3x?
+2工斗二5,3x{-x2—x5+2x4-3t予冋_花+3也一筍=4;
巧+2貫2+3xj—2珥—6,
2&-j?
3-2也一窃=&
3%!
+Jl5-as+二4,
2町-3工2+2兀§+筍=_&
扎+2心-2屁十4兀-x.=-1,
2xj-+3x3一4旺+2^=8彳弓站+阳-电+2^4一心=3,
4x:
十3x立+4延十2耳十2心=-2f兀一两一阿+2a4-弓召=-3,
解：
1）系数行列式
3
2
2
-1
3
2
F
3
2
3
-3
3
2
3
-1
2
0
2
■4
0
~0
3
-1
3
-1
3
-1
P
-1
-3
2
-1
1
-3
0
1
12
-32
1-1
=-29一10=-70,
31-1
故方程组的解为:
2.
出二弓24同二3纽£=64&厶二■艾4£=・6J&
颅=虫=L呵=佥=2,旳=佥=-1曲=—--2
故方程组的解为：
ddd&
3）d=2A,口二込禺=■弓苑£=-迥£=1私^=312?
故方程组的解为：
&=4再=-14內=7耳=7fx_5=13.
4）
口-2D*=243?
Ds-3D4二32,
2-二艰-2D3）二9（厶-二27（2-2耳）=243r
j
6
0
0
6
0
0
0
1
5
6
0
5
6
0
0
]
1
5
6
1
5
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2二3畑,2><艾二血
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=1507,
5
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爲=-1145f^3=703^4=-395,&=212?
定的数，用克拉默法则证明：
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