匀速圆周运动万有引力定律.docx
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匀速圆周运动万有引力定律
匀速圆周运动万有引力定律
万有引力定律
一.教法建议
【抛砖引玉】
“万有引力定律”是与“牛顿运动定律”并列的经典力学的最基本、最重要的定律。
本单元的教学可分为理论与应用两个密切相关的部分，我们作如下的教学建议。
1.“万有引力定律”的教学
在进行这一理论知识的教学虽不易采用实验观察的引入法，但却可以采用物理学史的叙述引入法，可以激发学生求知欲。
首先介绍17世纪开普勒发现的行星运动三定律（教师可以把三定律的条文写出来，并略作说明，但不宜深究，也不必作题），说明这是人类对行星运动的运动学研究成果，而尚未了解行星运动的动力原因。
接下来介绍牛顿对行星运动的动力学研究，他认识到：
地球对地面上物体的引力、行星对卫星的引力、太阳对行星的引力，都是同一种性质的力，称之为“万有引力”。
随后介绍牛顿根据“牛顿运动定律”、“匀速圆周运动定律”和“开普勒行星运动定律”推导出了“万有引力定律”──宇宙间的一切物体都是互相吸引的。
两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离平方成正比。
其数学表达式为：
（附）目前的高三物理课本没有给出“万有引力定律”的推导过程，这样可以减轻学生的学习负担，也不会影响后面的“应用”。
如果学校中学生的基础较好且求知欲较强，教师也可在课堂上或课外学科小组活动中给学生讲述下列的推导过程（这只是简化的推导，更全面深刻的知识需待大学时学习）：
设：
质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动，行星到太阳的距离是R，行星绕太阳运动的周期是T，行星做圆周运动所需的向心力是由太阳的引力F提供的。
则：
根据牛顿第二定律、向心力计算式、角速度计算式可以进行下列的推导
①
根据“开普勒第三定律”可得：
②
将②式代入③式可以推导出下式：
③
设：
常数
则③式可以简化为：
④
经科学研究知道μ是一个与太阳质量M有关的量。
（μ被称为太阳的高斯常数）
因此μ可以表达为μ=GM，G是一个常量，被称为“引力常量”。
将μ=GM代入式④可以导出：
这就是太阳对行星引力的计算式，如果推广到宇宙间任意的两个物体，就可写成课本上的“万有引力定律”的普遍表达式：
最后介绍卡文迪许测定“引力常量G”的方法和原理（学校若有“卡文迪许扭秤”模型，给学生观看讲述效果更好），并给出“引力常量G”的数值：
2.“万有引力定律”应用的教学
课本上讲述“万有引力定律在天文学上的应用”有两项教学目的：
一是培养学生把万有引力定律和匀速圆周运动规律联系起来综合解题的能力；二是使学生了解人类发现海王星和冥王星的历史，从而体会到在理论研究基础上的科学预见性的重大意义。
课本中的“地球上物体所受重力的变化”一节虽被列为选学内容，但我们认为这部分内容对学生很有启发性，特别是对重力实质的认识是非常重要的，还是应当在课堂上讲授的。
课本上“宇宙速度、人造地球卫星”一节，既介绍了现代科技中“航天技术”的初步知识又能够培养和提高学生的解题能力，教师在教学中可以适当地发挥。
（我们在后面也提供了一些知识和习题，供学生阅读和练习，供教师参考。
）
【指点迷津】
1.“万有引力定律”是否无条件的绝对正确？
近代科学研究中对“万有引力定律”有何新的见解？
近代理论研究指出了“万有引力定律”存在的问题。
1971年日本东京大学教授伊藤安仪经过研究提出了：
引力常量G与距离r有关。
1976年美国东华盛顿州立大学D·R·朗通过实验说明：
万有引力定律在近距离内是不正确的。
但是，我们要指出：
日本和美国的科学家所指出的问题都是限于“厘米”以内的近距离的，而地于天体之间的极大距离r的情况下，引力常量G仍可看作是不变的，所以“万有引力定律”在处理远距离问题时，仍然基本上是正确的，这就像“牛顿运动定律”在处理宏观低速运动问题时仍然正确一样。
这里我们仅是给同学们介绍一些现代物理研究动态，请不要因此而不敢用万有引力定律解题。
（中学解答的万有引力问题都是远距离的）
2.重力就是地球对物体的引力吗？
重力是实际力还是效果力？
严格地说，重力只是地球对物体引力的一个效果分力，不是实际力。
（地球对物体的万有引力才是实际力）
因为处于地球上的物体要随着地球的自转而做圆周运动，所以就需要向心力，这个向心力就来源于地球引力的一个分力，而剩下的另一个分力就是重力了。
从高三物理课本图3—21可以看出：
重力mg与地球对物体的引力F的大小和方向都不相同。
那么为什么在处理问题时我们经常把重力这个效果分力近似地当作地球引力这个实际力呢？
这是因为地球自转的角速度非常小（根据
，而地球自转的周期T=24小时=8.64×104秒由此可知ω的值很小的了。
）据
可知物体随着地球做圆周运动所需的向心力也是很小的。
既然地球引力的这个分力很小，则另一个分力就较大了。
因此高三物理课本图3—21中的平行四边形的力的分解图若按比例画应是一个十分狭窄的平行四边形，因此虽然mg不是F，但是mg的大小和方向都十分近似于F，这就是在平常处理问题时常把mg当作F的根据。
但是，地球自转轴与地面的两个交点──地理南极和地理北极是例外的，因为它们位于转轴上，所以圆周半径r=0，于是
=0，也就是说对于这两点地球引力F不需分解，因此这两点的重力就是地球对物体的引力了。
最后还有一事是同学们应当注意的：
你们在高一和高三学物理时，都是先学“重力”、后学“万有引力定律”的。
当初为了既保证概念的正确性，又不能超越知识的顺序，所以采用了这样一种叙述方法──由于地球的吸引而使物体受到的力，叫做重力。
（而绝不是说地球对物体的引力就是重力）现在我们学过了万有引力定律，再回顾思考上述的文字时，就应当这样理解──物体所受的地球引力F有一个分力mg，使物体受到竖直下拉的效果，这个效果力被称为重力。
（重力这个竖直下拉的效果如不受其它力干扰时就会使物体产生重力加速度；如果受到悬线的平衡时就会激起悬线的张力；如果受到地面或桌面等托住时就会激起支持力；……〈注：
张力和支持力的实质都是弹力〉）
3.既然地球受到太阳的引力而绕着太阳转动，为什么太阳受到地球的引力却不绕着地球绕动？
力是物体之间的相互作用，因此地球与太阳之间存在着大小相等、方向相反、彼此相互作用的力。
但是地球与太阳的质量却是相差极大的，由于地球的质量小，所以围绕着太阳转动；由于太阳的质量很大，则不能围绕着地球转动。
仅仅如上解释，同学们是不会满意的，也不可能深入地理解。
因此我们在本单元稍后的一个栏目“思维体操”中，将对此问题进行定量的推导，以比较严格的数学表达论述其中的道理，请关心此事的读者认真的阅读。
二.学海导航
【思维基础】
例题1.假如一个作圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍作圆周运动，则
（A）根据公式
，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍。
（B）根据公式
，可知卫星所需的向心力将减小到原来的
。
（C）根据公式
，可知地球提供的向心力将减小到原来的
。
（D）根据上述（B）和（C）中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的
。
思维基础：
本题所提供的选项中已罗列出了各有关的公式，在解答过程时需要认真思考的是各公式使用的条件，请注意以下内容：
在使用
分析问题时，不能只看到r与v的关系，还需考虑因r的变化而引起的万有引力F的变化。
在使用
分析问题时，不能只看到r与向心力的关系，还需考虑万有引力是否变化？
线速度是否变化？
地球对人造卫星的引力是向心力的来源，应用
来计算；人造卫星绕地球作圆周运动是向心力的效果，应用
来计算。
解题思路：
解答这个问题不应靠想象和猜测，而应通过踏实地推导才能正确地选出答案。
在推导的顺序上，可选择变量较少且不易出差错的选项入手。
由于公式
中，G、M、m都是不变的量，因此推导F和r的关系不易出错。
设人造地球卫星原来的圆周运动半径为r1，所受到的地球引力为F1；当人造地球卫星的轨道半径增为r2=2r1时所受到的地球引力为F2，则：
由此可知：
选项（C）是正确的。
将向心力的来源公式和向心力的效果公式联系起来，可以写出下列二式：
①
②
将r2=2r1代入②式可得：
③
将①、③两式相除可导出：
由此可知：
选项（D）也是正确的。
既然（D）是正确的，那么其结果不同的（A）显然是不正确的。
“卫星所需的向心力”与“地球提供的向心力”应当是一致的。
既然（C）是正确的，那么与其结果不同的（B）显然是不正确的。
建议：
请同学们想想是否还有其它的推导方法？
是否有比上面讲述的更简便的方法？
【学法指要】
例题2.两颗人造卫星A、B地球作圆周运动，周期之比为TA∶TB=1∶8，求：
（1）两颗人造卫星的轨道半径之比RA∶RB=？
（2）两颗人造卫星的运动速率之比VA∶VB=?
启发性问题
1.你能推导出人造地球卫星运行周期的公式吗？
2.你知道两颗人造卫星的轨道半径与运行周期之间的比例关系吗？
3.你知道两颗人造卫星的运动速率与运行周期和轨道半径之间的比例关系吗？
分析与说明：
1.设人造卫星的周期为T、轨道半径为R、地球的质量为M、卫星的质量为m、万有引力常量为G。
由于人造卫星所需的向心力来源于地球对卫星的万有引力，我们可以写出下式：
将
代入上式可得：
由上式可以化简为：
这就是人造地球卫星运行周期的计算公式。
由此式可看出：
运行周期与卫星的质量m无关。
轨道半径越小周期就越短，运动周期T与
成正比。
2.对于人造卫星A可以写出下式：
可导出：
①
同样的推导方法对于人造卫星B也可写出下式：
②
将②、①两式相除：
化简后可得：
还可变化为：
③
2.根据
对于A、B两颗卫星可以写出下列二式：
④
⑤
将④、⑤两式相除：
经化简后可得：
⑥
求解过程：
在“分析与说明”中推导出的关系式我们就直接应用，不在重复推导了。
（1）根据前面推导出的③式，并将已知量代入就可得出两颗人造卫星轨道半径之比：
答：
RA∶RB=1∶4
（2）根据前面推导出的⑥式，并将已知量代入就可得出两颗人造卫星运动速率之比：
答：
vA∶vB=2∶1
【思维体操】
在本单元的“指点迷津”中我们所提出的第3个问题“……为什么太阳受到地球的引力却不绕着地球转动？
”现在要通过解答下面这个例题，对此问题作进一步的说明。
例题3.如图3—20所示：
质量分别为m1和m2的两颗星围绕着一个共同的圆心O在两个半径不同的同心圆轨道上作匀速圆周运动，并且它们之间的距离总是恒定不变也为L，求这两颗星运行的轨道半径r1和r2。
（圆心O处无物体）
“准备活动”（解题所需的知识与技能）
1.由于圆心O处无物体存在，所以这两颗星作圆周运动所需的向心力只能由它们之间的万有引力互相提供──m2给m1的引力F1使m1作圆周运动；m1给m2的引力F2使m2作圆周运动。
而且根据牛顿第三定律可知：
F1=F2，且方向相反，分别作用在m1、m2两颗星上。
2.由于这两颗星之间的距离总是恒定不变为L，所以这两颗星的运行周期就必须相等，即：
T1=T2。
3.由于F1和F2承担着向心力的任务，所以它们都必须永远指向圆心O，又因两颗星的距离总是L，所以两颗星的连线必须始终通过圆心O，于是：
r1+r2=L。
（这在附图已经显示出了）
4.在解题过程中还需运用下列的导出关系式：
“体操表演”（解题的过程）
根据前面的导出关系式可以写出下列二式：
根据“准备活动：
1”分析出的F1=F2，则可写出下式
根据“准备活动：
2”分析出的T1=T2可以将上式中的
消去（并将等式两边的4π2也消去），于是写出了下式：
①
再把“准备活动：
3”分析出的r1、r2与L的关系式写在下面：
②
由②式导出r2=L－r1代入①式:
由②式导出r1=L－r2代入①式:
导出的两个※式就是本题的答案。
但是我们若对两个※进行讨论，还能受到更大的启发，获得更多的知识，请接看下面“整理运动”中的讨论内容。
“整理运动”（解题后的思考）
1.当m1＞＞m2时（注意:
必须是远远地大于）:
则:
根据两个※式可以得出
r1→0；r2→L
这种情况说明：
质量小的m2星围绕着质量很大的m1星作圆周运动，而且m1星近似地处于圆心处。
由此可知：
地球绕着太阳转，而太阳并不绕着地球转的原因。
（注意：
这只是给中学生看一种简化的、理想化的论证。
由于太阳系内还有其它许多行星存在，它们都与太阳之间存在着相互作用，而且太阳也不是绝对不动的，所以实际比上述的讨论要复杂得多。
对此特别有兴趣的同学，今后在大学中学习天体力学和天文学等知识时，就会有更深入的了解。
）
2.当m1=m2时,根据两个※式推论
则：
这种情况如图3—21所示：
两颗星围绕着一个无物存在的共同圆心，在同一圆轨道上运动，在天文学上称为“双星运动”。
三.智能显示
【心中有数】
1.万有引力定律表达式：
，其中万有引力恒量
该公式适用于质点间的相互作用，当物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也近似的适用，距离r应为物体质心间的距离。
2.物体的重力随离地面高度h的变化情况：
物体重力近似等于地球对物体的万有引力，即等于
，可见重力随h的增大而减小。
3.设地面附近的重力加速度为g0，离地面高度为h处的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响，则有
4.分析天体运动时，把天体运动近似看成匀速圆周运动，万有引力提供所需的向心力，即
。
（1）测出卫星围绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，可计算天体的质量M或密度ρ，由
，得
当卫星绕天体表面做匀速圆周运动时
（2）卫星运行的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
①由
，可见v与
成反比（r越大，v越小）
②由
，可见ω与
成反比（r越大，ω越小）
③由
可见T与
成正比（r越大,T越大）
【动脑动手】
（一）.选择题
1.航天飞机在进入绕地球做匀速圆周运动的轨道后，若有一宇航员走出机外，他将
A.向着地球方向落向地球
B.做平抛运动
C.由于惯性做匀速直线运动
D.绕地球做匀速圆周运动，像一个人造卫星
2.若已知某行星绕太阳公转的半径为r，公转周期为T，万有引力怛量G，则由此可求出
A.某行星的质量B.太阳的质量
C.某行星的密度D.太阳的密度
3.人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，则卫星的速度v、角速度ω、周期T与r的关系分别是
A.v与r成正比，T与r成正比
B.v与
成反比，T与
成正比
C.ω与
成反比
D.ω与r3成正比
4.绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星中有一与内壁相接触的物体，则这个物体
A.受到地球的万有引力和卫星内壁的支持力的作用
B.受到地球的万有引力和向心力的作用
C.只受到地球万有引力的作用
D.物体处于完全失重状态，不受任何力的作用
5.人造地球卫星由于空气阻力的作用，轨道半径不断地缓慢减小，下列说明中正确的是
A.卫星的运行速率不断减小
B.卫星的运动速率不断增大
C.卫星的运行周期不断变大
D.卫星的运行周期不断减小
6.人造地球卫星运行时其轨道半径为月球轨道半径的
，则该卫星运行的周期大约是
A.1天至4天之间
B.4天至8天之间
C.8天至16天之间
D.16天至20天之间
7.若取地球的第一宇宙速度为8km/s,某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，这个行星的第一宇宙速度约为
A.2km/sB.4km/sC.16km/sD.32km/s
8.有两颗人造地球卫星，它们的质量之比是m1∶m2=12，它们运行线速度的大小之比是v1∶v2=1∶2，那么
A.它们运行的周期之比是T1∶T2=8∶1
B.它们的轨道半径之比是r1∶r2=4∶1
C.它们的向心力大小之比是F1∶F2=1∶32
D.它们的向心加速度大小之比是a1∶a2=16∶1
9.两颗靠得较近的天体称为双星，它们以两者连线上某点为圆心做匀速圆周运动，因而不致于由于万有引力作用而吸引在一起，下列说法中正确的是
A.它们所受向心力之比与其质量成正比
B.它们做匀速圆周运动的角速度之比是1∶1
C.它们做匀速圆周运动的轨道半径之比与其质量成反比
D.它们做匀速圆周运动的线速度大小与其质量成反比
10.某人在一星球上以速度v0竖直上抛一物体，经ts后物体落回手中。
已知星球半径为R，那么使物体不再落回星球表面，沿水平方向抛出物体的速度至少应为
A.
B.
C.
D.
11.一颗小行星环绕太阳做匀速圆周运动，轨道半径是地球公转半径的4倍，则
A.它的线速度是地球公转线速度的2倍
B.它的线速度是地球公转线速度的
C.它的环绕周期是4年
D.它的环绕周期是8年
12.地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g0，在距地心4R处的重力加速度为g，则g∶g0为
A.1∶2B.1∶4C.1∶9∶D.1∶16
13.关于人造地球卫星所受的向心力与轨道半径r的关系，下列说法中正确的是
A.由
可知，向心力与r2成反比
B.由
可知，向心力与r成反比
C.由
可知,向心力与r成正比
D.由
可知，向心力与r无关
14.用m表示地球同步卫星的质量，h表示它离开地面的高度，R0表示地球半径，g0表示地球表面处的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则地球对同步卫星的万有引力的大小
A.等于零
B.等于
C.等于
D.以上结果都不正确
15.宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，飞船原来的线速度为v1，周期为T1。
假设在某时刻飞船向后喷气做加速动作后，进入新的轨道做匀速圆周运动，运动的线速度为v2，周期为T2，则
A.v1＞v2,T1＞T2
B.v1＞v2,T1＜T2
C.v1＜v2,T1＞T2
D.v1＜v2,T1＜T2
16.某星球的质量为地球的9倍，半径是地球的一半。
若在地球上h高处平抛一物体，物体的落地点与抛出点的水平距离为60m，那么在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛物体，物体的落地点与抛出点的水平距离为
A.10mB.15mC.40mD.90m
17.关于人造地球同步卫星，下列说法中正确的是
A.周期为24h
B.卫星离地面的高度是一个与卫星质量无关的常量
C.绕地球运行方向是自西向东
D.卫星运行速率与地球表面物体的自转速率相同
18.关于“亚洲一号”同步通讯卫星，下列说法中正确的是
A.已知它的质量是
，若使它的质量增加3倍，则它的轨道半径将变为原来的2倍
B.它运行的线速度大于7.9km/s
C.它运行的线速度小于4km/s
D.它距地面高度约为地球半径的5倍，它的向心加速度约为地面重力加速度的
19.地球同步卫星到地心的距离r可由
求出，已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则
A.a是地球半径，b地球自转周期，c是地球表面处的重力加速度
B.a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度
C.a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度
D.a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度
20.人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动其速率
A.一定等于7.9km/s
B.等于或小于7.9km/s
C.一定大于7.9km/s
D.介于7.9～11.2km/s
21.根据第一宇宙速度的数值估算地球半径的大小，计算公式为，数值为。
22.地球绕太阳公转的轨道半径r=1.49×1011m,公转周期T=3.16×107s,万有引力恒量G=6.67×10－11N·m2/kg2，则计算太阳质量的表达式M=，其数值约为kg.（取1位有效数字）
23.空间探测器进入某行星的万有引力范围之内以后，在靠近该行星表面的上只做匀速圆周运动，测得运动周期为T，则这个行星的平均密度ρ=.
24.火星的质量是地球质量的
火星的半径是地球半径
，地球上发射一颗人造地球卫星的速度至少为7.9×103m/s，那么在火星上发射一颗火星卫星的速度至少是。
25.木星的公转周期约为12年，设地球到太阳的距离为1单位（称为1天文单位），则木星到太阳的距离为天文单位。
（三）.计算题
26.人造卫星绕地球做匀速圆周运动，若轨道距地面的高度等于地球半径1.5倍，地球半径为6.4×106m，地面附近的重力加速度
，求这颗人造地球卫星的周期是多少？
27.宇航员站在一行星表面的上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到行星表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。
若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为
L。
已知两落地点在同一水平面内，该行星的半径为R，万有引力常数为G，求该行星的质量。
28.所谓“双星”就是在宇宙中有两颗相对距离较近的星球，离其它星球较远，质量分别为m和M，相距为d，如果它们的保持距离d不变，共同绕其连线上某点O，各自做匀速圆周运动，求O点的位置。
【创新园地】
29.太阳距离银河系中心约2.5×104光年，太阳绕银河系中心运动的轨道可视为圆，运动的周期约1.7×108年。
太阳光射到地球上需历时约500s，由此可估算银河系质量是太阳质量的多少倍？
（取两位有效数字）
30.将来人类离开地球到宇宙中去生活，有人设计了宇宙村，它是一个圆环形的密封建筑，人们生活在圆环的边上。
为了使人们在其中生活不致于有失重感，可以让它绕中心轴旋转。
假设这个宇宙村的直径为200m，当它绕中心轴的转速达到多少时，人们感觉到像生活地球上一样承受10m/s2的加速度？
并请你设计一个适合人类生活的宇宙村。
参考答案
第二单元
（一）.选择题
1.D2.B3.B、C4.C5.B、D6.B7.C8.A、B、C
9.B、C、D10.B11.B、D12.D13.A14.B、C15.D
16.A17.A、B、C18.C、D19.A、D20.B
（二）.填空题
21.
22.
23.
24.3.5×103m/s
25.5.2天文单位
26.人造卫星绕地球做匀速圆周运动所需的向心力，是由地球对卫星的万有引力提供的
∴
在地面附近，物体所受重力近似等于万有引力
27.设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有
x2+h2=L2①
根据平抛运动规律，当初速度增大到2倍，某水平射程也增大到2x，可得
（2x）2+h2=（
L）2②
由①、②解得
设该行星上的重力加速度为g，由平抛运动规律，得
③
由万有引力定律与牛顿第二定律，得
④
联立以上各式解得
28.“双星”做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力互相提供的，为了保证万有引力F和F1始终指向圆心O，这两颗星的连线必须始终通过圆心，且运行的角速度ω相等。
设圆心O距m为r，距M就是d—r，由万有引力定律和牛顿第二定律，则有
解得O点距m为
【创新园地】
29.设太阳系距离银河系中心为R，太阳运动周期为T，太阳质量为M太，银河系质量的为M银，根据万有引力定律和牛顿第二定律有
①
设地球与太阳之间的距离为r，地球质量为m，地球公转周期为T，由万有引力定律和牛顿第二定律得
②
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