判别孪生三生四生五生六生素数的初等证明.docx

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判别孪生三生四生五生六生素数的初等证明

判别孪生三生四生五生六生素数的初等证明

　　　　　　　　　务川县实验学校王若仲（王洪）

摘要:

运用特异奇合数的性质，探讨如何判别孪生素数、三生素数、四生素数、五生素数、六生素数、七生素数、八生素数。

关键词：

特异奇数特异奇合数孪生素数

孪生素数的概念：

当两个素数的差为2时，这样的两个素数称为孪生素数。

如：

3和5，5和7，11和13，17和19，29和31等等。

三生素数的概念：

若有三个素数，其中有两个素数的差为2，有两个素数的差为4时，这样的三个素数称为三生素数。

如：

3和5以及7，5和7以及11，11和13以及17，17和19以及23等等。

四生素数的概念：

若有四个素数，其中有两对素数的差为2，有两个素数的差为4时或者其中有两对素数的差为4，有一对素数的差为2时，这样的四个素数称为四生素数。

如：

5和7以及11和13，11和13以及17和19，13和17以及19和23等等。

五生素数的概念：

若有五个素数，其中有两对素数的差为2，有两对素数的差为4时，这样的五个素数称为五生素数。

如：

7和11以及13以及17和19，11和13以及17和19以及23等等。

六生素数的概念：

若有六个素数，其中有三对素数的差为2，有两对素数的差为4时或者其中有三对素数的差为4，有两对素数的差为2时，这样的六个素数称为六生素数。

如：

3和5以及7和11以及13和17，5和7以及11和13以及17和19，7以及11和13以及17和19以及23等等。

七生素数的概念：

若有七个素数，其中有四对素数的差为2，有三对素数的差为4时或者其中有三对素数的差为2，有三对素数的差为4时，这样的七个素数称为七生素数。

如：

3和5以及7和11以及13和17以及19，5和7以及11和13以及17和19以及23等等。

八生素数的概念：

若有八个素数，其中有四对素数的差为2，有四对素数的差为4时或者其中有三对素数的差为2，有四对素数的差为4时，这样的八个素数称为八生素数。

如：

3和5以及7和11以及13和17以及19和23。

由全体奇数组成的集合，称为奇数集合。

记为「G」。

定义1：

奇数集合「G」中（除1外），不能被3整除的整数，称为特异奇数。

如：

5，7，11，13，17，19，23，25，29，……。

定义2：

由全体特异奇数组成的集合，称为特异奇数集合。

记为〈G〉。

定理1:

任一特异奇数均可表为6k+1或6k－1的形式,k∈N,k＞0；〈G〉={5，7，11，13，…，（6ｎ－1），（6ｎ+1），…}。

证明:

因为集合「G」中能被3整除的整数均可表为3（2m-1）的形式，m∈N，m＞0。

令3（2m-1）+2=6m-1,3（2m-1）-2=6（m-1）+1,对于[6（m-1）+1]，m＞1。

则（6m-1）和[6（m-1）+1]均为不能被3整除的奇数,根据定义1,（6m-1）为特异奇数，[6（m-1）+1]（m＞1）也为特异奇数。

故定理1成立。

定理2:

若p为素数（除2和3外）,那么p∈〈G〉。

证明:

因为p为素数（除2和3外）,所以p是奇数,p不能被3整除,根据定义1,p∈〈G〉。

定义3：

我们把既是特异奇数,又是素数的整数,称为特异素数。

如:

5，7，11，13，17，19等等。

定义4：

我们把既是特异奇数,又是合数的整数,称为特异奇合数。

如:

25,35,49,55,77等等。

定理3:

对于任一特异奇合数ａ,ａ均可表为下列三种形式之一:

（1）ａ=36kh-6k-6h+1，

（2）ａ=36kh+6k+6h+1，

（3）ａ=36kh+6k-6h-1，

其中k∈N,h∈N,k＞0,h＞0。

证明:

对于任一特异奇合数ａ,ａ总可以分解为两个特异奇数的乘积,我们令ａ=ｂｃ,根据定理1,ｂ=6k+1或6k－1,k∈N,k＞0,ｃ=6h+1或6h－1,h∈N,h＞0。

则有情形：

（1）ａ=（6k－1）（6h－1）=36kh-6k-6h+1,

（2）ａ=（6k+1）（6h+1）=36kh+6k+6h+1,

（3）ａ=（6k+1）（6h-1）=36kh-6k+6h-1,

（4）ａ=（6k-1）（6h+1）=36kh+6k-6h-1。

因为{36kh+6k-6h-1∣k,h=１、２、３、…、n、…}={36kh-6k+6h-1∣k,h=１、２、３、…、n、…},故定理3成立。

定理4:

对于某一特异奇数ａ,关于下列不定方程:

36xy-6x-6y+1=ａ

（1）

36xy+6x+6y+1=ａ

（2）

36xy+6x-6y-1=ａ（3）

若不定方程

（1）,

（2）,（3）中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数ａ为特异奇合数。

证明:

假设不定方程36xy-6x-6y+1=ａ有正整数解,不妨令x=k,y=h,k∈N,h∈N,k＞0,h＞0,则ａ=36kh-6k-6h+1。

根据定理3,那么特异奇数ａ为特异奇合数。

同理可证其它情形。

故定理4成立。

定理5:

对于某一特异奇数ａ,关于下列不定方程:

36xy-6x-6y+1=ａ

（1）

36xy+6x+6y+1=ａ

（2）

36xy+6x-6y-1=ａ（3）

若特异奇数ａ为特异奇合数,那么不定方程

（1）,

（2）,（3）中至少有一个不定方程有正整数解。

证明:

因为特异奇数ａ为特异奇合数,根据定理3,我们不妨设ａ=36kh+6k-6h-1,其中k∈N,h∈N,k＞0,h＞0。

对于不定方程（3）,我们令x=k,y=h,则不定方程（3）有正整数解。

同理可证其它情形。

故定理5成立。

定理6:

对于某一特异奇数ａ,关于下列不定方程:

36xy-6x-6y+1=ａ

（1）

36xy+6x+6y+1=ａ

（2）

36xy+6x-6y-1=ａ（3）

若不定方程

（1）,

（2）,（3）均无正整数解,那么特异奇数ａ为特异素数。

证明:

假定特异奇数ａ为特异奇合数,根据定理5,不定方程

（1）,

（2）,（3）中至少有一个不定方程有正整数解,这与题设产生矛盾,故定理6成立。

定理7:

对于某一特异奇数ａ,关于下列不定方程:

36xy-6x-6y+1=ａ

（1）

36xy+6x+6y+1=ａ

（2）

36xy+6x-6y-1=ａ（3）

若特异奇数ａ为特异素数,那么不定方程

（1）,

（2）,（3）均无正整数解。

证明:

假定不定方程

（1）,

（2）,（3）中至少有一个不定方程有正整数解,根据定理4,那么特异奇数ａ为特异奇合数。

这与题设产生矛盾,故定理7成立。

定理8:

对于特异奇数ａ和ｂ,ａ=6k－1,ｂ=6k+1,k∈N,k＞0,关于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

若不定方程

（1）,

（2）,（3）中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数ａ和ｂ中至少有一个为特异奇合数。

证明:

对于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

我们不妨设不定方程（3）有正整数解,令x=p,y=q,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0。

则有6pq+p-q=k,即36pq+6p-6q-1=6k-1,由定理3知,6k-1为特异奇合数。

同理可证其它情形。

故定理8成立。

例：

6×2×3-2-3=31，31×6+1=187，187是特异奇合数。

6×2×3+2-3=35，35×6-1=209，209是特异奇合数。

定理9:

对于特异奇数ａ和ｂ,ａ=6k－1,ｂ=6k+1,k∈N,k＞0,关于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

若特异奇数ａ和ｂ中至少有一个特异奇数为特异奇合数,那么不定方程

（1）,

（2）,（3）中至少有一个不定方程有正整数解。

证明:

对于特异奇数ａ和ｂ,我们不妨设特异奇数ｂ为特异奇合数,根据定理3,我们令ｂ=36pq-6p-6q+1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程

（1）有正整数解。

同理可证其它情形。

故定理9成立。

定理10:

对于特异奇数ａ和ｂ,ａ=6k－1,ｂ=6k+1,k∈N,k＞0,关于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

若不定方程

（1）,

（2）,（3）均无正整数解,那么特异奇数ａ和ｂ为孪生素数。

证明:

假定特异奇数ａ和ｂ不为孪生素数，因为ａ=6k－1,ｂ=6k+1,k∈N,k＞0,那么特异奇数ａ和ｂ中至少有一个为特异奇合数：

（Ⅰ）我们不妨设特异奇数ｂ为特异奇合数,根据定理3,我们令ｂ=36pq-6p-6q+1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程

（1）有正整数解，这与题设产生矛盾。

（Ⅱ）我们还是不妨设特异奇数ｂ为特异奇合数,根据定理3,我们令ｂ=36pq+6p+6q+1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程

（2）有正整数解，这与题设产生矛盾。

（Ⅲ）我们不妨设特异奇数ａ为特异奇合数,根据定理3,我们令ａ=36pq+6p-6q+1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程（3）有正整数解，这与题设产生矛盾。

故定理10成立。

例：

6xy-x-y=5，6xy+x+y=5，6xy+x-y=5等三个不定方程均无正整数解,6×5-1=29，6×5+1=31，则29和31为孪生素数。

6xy-x-y=17，6xy+x+y=17，6xy+x-y=17等三个不定方程均无正整数解,6×17-1=101，6×17+1=103，则101和103为孪生素数。

定理11:

对于特异奇数ａ和ｂ,ａ=6k-1,ｂ=6k+1,k∈N,k＞0,关于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

若特异奇数ａ和ｂ为孪生素数,那么不定方程

（1）,

（2）,（3）均无正整数解。

证明:

（Ⅰ）假定不定方程

（1）有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,则有6pq-p-q=k，变换可得36pq-6p-6q+1=6k+1，根据定理3,则特异奇数ｂ为特异奇合数，这与题设产生矛盾。

（Ⅱ）假定不定方程

（2）有正整数解，我们又不妨设x=p，y=q，p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,则有6pq+p+q=k，变换可得36pq+6p+6q+1=6k+1，根据定理3,则特异奇数ｂ为特异奇合数，这与题设产生矛盾。

（Ⅲ）假定不定方程（3）有正整数解，我们又不妨设x=p，y=q，p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,则有6pq+p-q=k，变换可得36pq+6p-6q-1=6k-1，根据定理3,则特异奇数ａ为特异奇合数，这与题设产生矛盾。

故定理11成立。

定理12:

对于特异奇数ａ和ｂ以及c,ａ=6k－1,ｂ=6k+1,c=6（k-1）+1,k∈N,k＞1,关于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

6xy-x-y+1=k（4）

6xy+x+y+1=k（5）

若不定方程

（1）,

（2）,（3），（4）,（5）中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数ａ和ｂ以及c中至少有一个为特异奇合数。

证明:

对于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

6xy-x-y+1=k（4）

6xy+x+y+1=k（5）

我们不妨设不定方程（3）有正整数解,令x=p,y=q,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0。

则有6pq+p-q=k,即36pq+6p-6q-1=6k-1,由定理3知,6k-1为特异奇合数。

同理可证其它情形。

故定理12成立。

定理13:

对于特异奇数ａ和ｂ以及c,ａ=6k－1,ｂ=6k+1,c=6（k-1）+1,k∈N,k＞1,关于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

6xy-x-y+1=k（4）

6xy+x+y+1=k（5）

若特异奇数ａ和ｂ以及c中至少有一个特异奇数为特异奇合数,那么不定方程

（1）,

（2）,（3），（4）,（5）中至少有一个不定方程有正整数解。

证明:

对于特异奇数ａ和ｂ以及c,我们不妨设特异奇数ｂ为特异奇合数,根据定理3,我们令ｂ=36pq-6p-6q+1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程

（1）有正整数解。

同理可证其它情形。

故定理13成立。

定理14:

对于特异奇数ａ和ｂ以及c,ａ=6k－1,ｂ=6k+1,c=6（k-1）+1,k∈N,k＞1,关于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

6xy-x-y+1=k（4）

6xy+x+y+1=k（5）

若不定方程

（1）,

（2）,（3），（4）,（5）均无正整数解,那么特异奇数ａ和ｂ以及c为三生素数。

证明:

假定特异奇数ａ和ｂ以及c不为三生素数，因为ａ=6k－1,ｂ=6k+1,c=6（k-1）+1,k∈N,k＞1,那么特异奇数ａ和ｂ以及c中至少有一个为特异奇合数：

（Ⅰ）我们不妨设特异奇数ｂ为特异奇合数,根据定理3,我们令ｂ=36pq-6p-6q+1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程

（1）有正整数解，这与题设产生矛盾。

（Ⅱ）我们还是不妨设特异奇数ｂ为特异奇合数,根据定理3,我们令ｂ=36pq+6p+6q+1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程

（2）有正整数解，这与题设产生矛盾。

（Ⅲ）我们不妨设特异奇数ａ为特异奇合数,根据定理3,我们令ａ=36pq+6p-6q+1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程（3）有正整数解，这与题设产生矛盾。

（Ⅳ）我们不妨设特异奇数c为特异奇合数,根据定理3,我们令c=36pq-6p-6q+1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程（4）有正整数解，这与题设产生矛盾。

（Ⅴ）我们不妨设特异奇数c为特异奇合数,根据定理3,我们令c=36pq+6p+6q+1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程（5）有正整数解，这与题设产生矛盾。

故定理14成立。

定理15:

对于特异奇数ａ和ｂ以及c,ａ=6k-1,ｂ=6k+1,c=6（k-1）+1,k∈N,k＞1,关于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

6xy-x-y+1=k（4）

6xy+x+y+1=k（5）

若特异奇数ａ和ｂ以及c为三生素数,那么不定方程

（1）,

（2）,（3）,（4）,（5）均无正整数解。

证明:

（Ⅰ）假定不定方程

（1）有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,则有6pq-p-q=k，变换可得36pq-6p-6q+1=6k+1，根据定理3,则特异奇数ｂ为特异奇合数，这与题设产生矛盾。

（Ⅱ）假定不定方程

（2）有正整数解，我们又不妨设x=p，y=q，p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,则有6pq+p+q=k，变换可得36pq+6p+6q+1=6k+1，根据定理3,则特异奇数ｂ为特异奇合数，这与题设产生矛盾。

（Ⅲ）假定不定方程（3）有正整数解，我们又不妨设x=p，y=q，p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,则有6pq+p-q=k，变换可得36pq+6p-6q-1=6k-1，根据定理3,则特异奇数ａ为特异奇合数，这与题设产生矛盾。

故定理11成立。

（Ⅳ）假定不定方程（4）有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,则有6pq-p-q=k-1，变换可得36pq-6p-6q+1=6（k-1）+1，根据定理3,则特异奇数c为特异奇合数，这与题设产生矛盾。

（Ⅴ）假定不定方程（5）有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,则有6pq+p+q=k-1，变换可得36pq+6p+6q+1=6（k-1）+1，根据定理3,则特异奇数c为特异奇合数，这与题设产生矛盾。

故定理15成立。

定理16:

对于特异奇数ａ和ｂ以及c,ａ=6k－1,ｂ=6k+1,c=6（k+1）-1,k∈N,k＞0,关于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

6xy+x-y-1=k（4）

若不定方程

（1）,

（2）,（3），（4）中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数ａ和ｂ以及c中至少有一个为特异奇合数。

证明:

对于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

6xy+x-y-1=k（4）

我们不妨设不定方程（3）有正整数解,令x=p,y=q,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0。

则有6pq+p-q=k,即36pq+6p-6q-1=6k-1,由定理3知,6k-1为特异奇合数。

同理可证其它情形。

故定理16成立。

定理17:

对于特异奇数ａ和ｂ以及c,ａ=6k－1,ｂ=6k+1,c=6（k+1）-1,k∈N,k＞0,关于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

6xy+x-y-1=k（4）

若特异奇数ａ和ｂ以及c中至少有一个特异奇数为特异奇合数,那么不定方程

（1）,

（2）,（3），（4）中至少有一个不定方程有正整数解。

证明:

对于特异奇数ａ和ｂ以及c,我们不妨设特异奇数ｂ为特异奇合数,根据定理3,我们令ｂ=36pq-6p-6q+1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程

（1）有正整数解。

同理可证其它情形。

故定理17成立。

定理18:

对于特异奇数ａ和ｂ以及c,ａ=6k－1,ｂ=6k+1,c=6（k+1）-1,k∈N,k＞0,关于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

6xy+x-y-1=k（4）

若不定方程

（1）,

（2）,（3），（4）均无正整数解,那么特异奇数ａ和ｂ以及c为三生素数。

证明:

假定特异奇数ａ和ｂ以及c不为三生素数，因为ａ=6k－1,ｂ=6k+1,c=6（k+1）-1,k∈N,k＞0,那么特异奇数ａ和ｂ以及c中至少有一个为特异奇合数：

（Ⅰ）我们不妨设特异奇数ｂ为特异奇合数,根据定理3,我们令ｂ=36pq-6p-6q+1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程

（1）有正整数解，这与题设产生矛盾。

（Ⅱ）我们还是不妨设特异奇数ｂ为特异奇合数,根据定理3,我们令ｂ=36pq+6p+6q+1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程

（2）有正整数解，这与题设产生矛盾。

（Ⅲ）我们不妨设特异奇数ａ为特异奇合数,根据定理3,我们令ａ=36pq+6p-6q+1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程（3）有正整数解，这与题设产生矛盾。

（Ⅳ）我们不妨设特异奇数c为特异奇合数,根据定理3,我们令c=36pq+6p-6q-1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程（4）有正整数解，这与题设产生矛盾。

故定理18成立。

定理19:

对于特异奇数ａ和ｂ以及c,ａ=6k-1,ｂ=6k+1,c=6（k+1）-1,k∈N,k＞0,关于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

6xy+x-y-1=k（4）

若特异奇数ａ和ｂ以及c为三生素数,那么不定方程

（1）,

（2）,（3），（4）均无正整数解。

证明:

（Ⅰ）假定不定方程

（1）有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,则有6pq-p-q=k，变换可得36pq-6p-6q+1=6k+1，根据定理3,则特异奇数ｂ为特异奇合数，这与题设产生矛盾。

（Ⅱ）假定不定方程

（2）有正整数解，我们又不妨设x=p，y=q，p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,则有6pq+p+q=k，变换可得36pq+6p+6q+1=6k+1，根据定理3,则特异奇数ｂ为特异奇合数，这与题设产生矛盾。

（Ⅲ）假定不定方程（3）有正整数解，我们又不妨设x=p，y=q，p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,则有6pq+p-q=k，变换可得36pq+6p-6q-1=6k-1，根据定理3,则特异奇数ａ为特异奇合数，这与题设产生矛盾。

故定理11成立。

（Ⅳ）假定不定方程（4）有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,则有6pq+p-q=k+1，变换可得36pq+6p-6q+1=6（k+1）-1，根据定理3,则特异奇数c为特异奇合数，这与题设产生矛盾。

故定理19成立。

定理20:

对于特异奇数ａ和ｂ以及c和d,ａ=6k－1,ｂ=6k+1,c=6（k+1）-1,d=6（k+1）+1,k∈N,k＞0,关于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

6xy-x-y-1=k（4）

6xy+x+y-1=k（5）

6xy+x-y-1=k（6）

若不定方程

（1）,

（2）,（3），（4）,（5），（6）中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数ａ和ｂ以及c和d中至少有一个为特异奇合数。

证明:

对于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

6xy-x-y-1=k（4）

6xy+x+y-1=k（5）

6xy+x-y-1=k（6）

我们不妨设不定方程（3）有正整数解,令x=p,y=q,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0。

则有6pq+p-q=k,即36pq+6p-6q-1=6k-1,由定理3知,6k-1为特异奇合数。

同理可证其它情形。

故定理20成立。

定理21:

对于特异奇数ａ和ｂ以及c和d,ａ=6k－1,ｂ=6k+1,c=6（k+1）-1,d=6（k+1）+1,k∈N,k＞0,关于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

6xy-x-y-1=k（4）

6xy+x+y-1=k（5）

6xy+x-y-1=k（6）

若特异奇数ａ和ｂ以及c和d中至少有一个特异奇数为特异奇合数,那么不定方程

（1）,

（2）,（3），（4）,（5），（6）中至少有一个不定方程有正整数解。

证明:

对于特异奇数ａ和ｂ以及c和d,我们不妨设特异奇数ｂ为特异奇合数,根据定理3,我们令ｂ=36pq-6p-6q+1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程

（1）有正整数解。

同理可证其它情形。

故定理21成立。

定理22:

对于特异奇数ａ和ｂ以及c和d,ａ=6k－1,ｂ=6k+1,c=6（k+1）-1,d=6（k+1）+1,k∈N,k＞0,关于下列不定方程:

6xy-x-y=k

（1）

6xy+x+y=k

（2）

6xy+x-y=k（3）

6xy-x-y-1=k（4）

6xy+x+y-1=k（5）

6xy+x-y-1=k（6）

若不定方程

（1）,

（2）,（3），（4）,（5），（6）均无正整数解,那么特异奇数ａ和ｂ以及c和d为四生素数。

证明:

假定特异奇数ａ和ｂ以及c和d不为四生素数，因为ａ=6k－1,ｂ=6k+1,c=6（k+1）-1,d=6（k+1）+1,k∈N,k＞0,那么特异奇数ａ和ｂ以及c和d中至少有一个为特异