XX年中考数学圆的基本性质专题复习导学案.docx
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XX年中考数学圆的基本性质专题复习导学案
XX年中考数学圆的基本性质专题复习导学案
XX年中考数学专题练习24《圆的基本性质》
【知识归纳】
圆上各点到圆心的距离都等于.
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心.
垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦的垂直于弦，并且平分.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别.
同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的.
半圆所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是.
圆内接四边形的对角．
【基础检测】
如图，BD是⊙o的直径，点A、c在⊙o上，=，∠AoB=60°，则∠BDc的度数是
A．60°B．45°c．35°D．30°
．如图，点A，B，c，P在⊙o上，cD⊥oA，cE⊥oB，垂足分别为D，E，∠DcE=40°，则∠P的度数为
A．140°B．70°c．60°D．40°
如图，AB是⊙o的直径，弦cD⊥AB于点E，若AB=8，cD=6，则BE= 4﹣ ．4．如图，在△ABc中，已知∠AcB=130°，∠BAc=20°，Bc=2，以点c为圆心，cB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为
．
．如图，AB是⊙o的直径，Ac、Bc是⊙o的弦，直径DE⊥Ac于点P．若点D在优弧上，AB=8，Bc=3，则DP= ．
正方形ABcD内接于⊙o，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙o于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：
四边形EBFD是矩形；
DG=BE．【达标检测】
一、选择题
如图所示，点A，B，c在圆o上，∠A=64°，则∠Boc的度数是
A.26°B.116°c.128°D.154°
．如图，在⊙o中，AB是直径，Bc是弦，点P是上任意一点．若AB=5，Bc=3，则AP的长不可能为
A.3B.4c.4.5D.5
．下列命题中，真命题的个数是
①同位角相等
②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行
③长度相等的弧是等弧
④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．
A．1个B．2个c．3个D．4个
．如图，点A，B，c在⊙o上，∠A=36°，∠c=28°，则∠B=
A．100°B．72°c．64°D．36°
如图，A、D是⊙o上的两个点，Bc是直径．若∠D=32°，则∠oAc=
A．64°B．58°c．72°D．55°
如图，⊙o的半径为4，△ABc是⊙o的内接三角形，连接oB、oc．若∠BAc与∠Boc互补，则弦Bc的长为
A．3B．4c．5D．6
二、填空题
．如图，∠A是⊙o的圆周角，∠oBc=55°，则∠A=
．
．如图，AB是⊙o的直径，c，D是⊙o上的两点，若∠BcD=28°，则∠ABD=
°．
如图，AB为⊙o的直径，cD⊥AB，若AB=10，cD=8，则圆心o到弦cD的距离为
．
0.如图，oA，oB是⊙o的半径，点c在⊙o上，连接Ac，Bc，若∠AoB=120°，则∠AcB=
度．
1.如图，⊙o的直径AB过弦cD的中点E，若∠c=25°，则∠D=
．
⊙o的半径为1，弦AB=，弦Ac=，则∠BAc度数为
．
3.如图，N是⊙o的直径，N=4，∠AN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径N上的一个动点，则PA+PB的最小值为 ．
三、解答题
如图，⊙o的直径为10c，弦AB=8c，P是弦AB上的一个动点，求oP的长度范围．
如图，在△ABc中，∠BAc的角平分线AD交Bc于E，交△ABc的外接圆⊙o于D．
求证：
△ABE∽△ADc；
请连接BD，oB，oc，oD，且oD交Bc于点F，若点F恰好是oD的中点．求证：
四边形oBDc是菱形．
．如图，AB是⊙o的直径，弦cD⊥AB与点E，点P在⊙o上，∠1=∠c，
求证：
cB∥PD；
若Bc=3，sin∠P=，求⊙o的直径．【知识归纳答案】
圆上各点到圆心的距离都等于半径.
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半.
半圆所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
圆内接四边形的对角互补．
【基础检测答案】
如图，BD是⊙o的直径，点A、c在⊙o上，=，∠AoB=60°，则∠BDc的度数是
A．60°B．45°c．35°D．30°
【考点】圆周角定理．
【分析】直接根据圆周角定理求解．
【解答】解：
连结oc，如图，
∵=，
∴∠BDc=∠AoB=×60°=30°．
故选D．
．如图，点A，B，c，P在⊙o上，cD⊥oA，cE⊥oB，垂足分别为D，E，∠DcE=40°，则∠P的度数为
A．140°B．70°c．60°D．40°
【考点】圆周角定理．
【分析】先根据四边形内角和定理求出∠DoE的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：
∵cD⊥oA，cE⊥oB，垂足分别为D，E，∠DcE=40°，
∴∠DoE=180°﹣40°=140°，
∴∠P=∠DoE=70°．
故选B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
如图，AB是⊙o的直径，弦cD⊥AB于点E，若AB=8，cD=6，则BE= 4﹣ ．
【分析】连接oc，根据垂径定理得出cE=ED=cD=3，然后在Rt△oEc中由勾股定理求出oE的长度，最后由BE=oB﹣oE，即可求出BE的长度．
【解答】解：
如图，连接oc．
∵弦cD⊥AB于点E，cD=6，
∴cE=ED=cD=3．
∵在Rt△oEc中，∠oEc=90°，cE=3，oc=4，
∴oE==
∴BE=oB﹣oE=4﹣．
故答案为4﹣．
．如图，在△ABc中，已知∠AcB=130°，∠BAc=20°，Bc=2，以点c为圆心，cB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 2 ．
【分析】如图，作cE⊥AB于E，在RT△BcE中利用30度性质即可求出BE，再根据垂径定理可以求出BD．
【解答】解：
如图，作cE⊥AB于E．
∵∠B=180°﹣∠A﹣∠AcB=180°﹣20°﹣130°=30°，
在RT△BcE中，∵∠cEB=90°，∠B=30°，Bc=2，
∴cE=Bc=1，BE=cE=，
∵cE⊥BD，
∴DE=EB，
∴BD=2EB=2．
故答案为2．
【点评】本题考查垂径定理、三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据垂径定理添加辅助线，记住直角三角形30度角性质，属于基础题，中考常考题型．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出cE、ED的长度．
．如图，AB是⊙o的直径，Ac、Bc是⊙o的弦，直径DE⊥Ac于点P．若点D在优弧上，AB=8，Bc=3，则DP= 5.5 ．
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】解：
由AB和DE是⊙o的直径，可推出oA=oB=oD=4，∠c=90°，又有DE⊥Ac，得到oP∥Bc，于是有△AoP∽△ABc，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：
∵AB和DE是⊙o的直径，
∴oA=oB=oD=4，∠c=90°，
又∵DE⊥Ac，
∴oP∥Bc，
∴△AoP∽△ABc，
∴，
即，
∴oP=1.5．
∴DP=oP+oP=5.5，
故答案为：
5.5．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
正方形ABcD内接于⊙o，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙o于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：
四边形EBFD是矩形；
DG=BE．
【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理．
【分析】直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BcD=90°，∠EDF=90°，进而得出答案；
直接利用正方形的性质的度数是90°，进而得出BE=DF，则BE=DG．
【解答】证明：
∵正方形ABcD内接于⊙o，
∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BcD=90°，
又∵DF∥BE，
∴∠EDF+∠BED=180°，
∴∠EDF=90°，
∴四边形EBFD是矩形；
）∵正方形ABcD内接于⊙o，
∴的度数是90°，
∴∠AFD=45°，
又∵∠GDF=90°，
∴∠DGF=∠DFc=45°，
∴DG=DF，
又∵在矩形EBFD中，BE=DF，
∴BE=DG．
【达标检测答案】
一、选择题
如图所示，点A，B，c在圆o上，∠A=64°，则∠Boc的度数是
A.26°B.116°c.128°D.154°
【解析】圆周角定理．根据圆周角定理直接解答即可．
【解答】解：
∵∠A=64°，
∴∠Boc=2∠A=2×64°=128°．
故选c．
【点评】本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周是圆心角的一半是解题的关键．
．如图，在⊙o中，AB是直径，Bc是弦，点P是上任意一点．若AB=5，Bc=3，则AP的长不可能为
A.3B.4c.4.5D.5
【解析】圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．首先连接Ac，由圆周角定理可得，可得∠c=90°，继而求得Ac的长，然后可求得AP的长的取值范围，继而求得答案．
【解答】解：
连接Ac，
∵在⊙o中，AB是直径，
∴∠c=90°，
∵AB=5，Bc=3，
∴Ac=4，
∵点P是上任意一点．
∴4≤AP≤5．
故选A．
【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
．下列命题中，真命题的个数是
①同位角相等
②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行
③长度相等的弧是等弧
④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．
A．1个B．2个c．3个D．4个
【分析】命题与定理．根据平行线的性质对①进行判断；根据平行公理对②进行判断；根据等弧的定义对③进行判断；根据中点四边的判定方法可判断顺次连接菱形各边中点得到的四边形为平行四边形，加上菱形的对角线垂直可判断中点四边形为矩形．
【解答】解：
两直线平行，同位角相等，所以①错误；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以②错误；
在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以③选项错误；
顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，所以④正确．
故选A．
．如图，点A，B，c在⊙o上，∠A=36°，∠c=28°，则∠B=
A．100°B．72°c．64°D．36°
【考点】圆周角定理．
【分析】连接oA，根据等腰三角形的性质得到∠oAc=∠c=28°，根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：
连接oA，
∵oA=oc，
∴∠oAc=∠c=28°，
∴∠oAB=64°，
∵oA=oB，
∴∠B=∠oAB=64°，
故选：
c．
如图，A、D是⊙o上的两个点，Bc是直径．若∠D=32°，则∠oAc=
A．64°B．58°c．72°D．55°
【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAc的度数，再由等腰三角形的性质求出∠oAB的度数，进而可得出结论．
【解答】解：
∵Bc是直径，∠D=32°，
∴∠B=∠D=32°，∠BAc=90°．
∵oA=oB，
∴∠BAo=∠B=32°，
∴∠oAc=∠BAc﹣∠BAo=90°﹣32°=58°．
故选B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
如图，⊙o的半径为4，△ABc是⊙o的内接三角形，连接oB、oc．若∠BAc与∠Boc互补，则弦Bc的长为
A．3B．4c．5D．6
【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．
【分析】首先过点o作oD⊥Bc于D，由垂径定理可得Bc=2BD，又由圆周角定理，可求得∠Boc的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠oBc的度数，利用余弦函数，即可求得答案．
【解答】解：
过点o作oD⊥Bc于D，
则Bc=2BD，
∵△ABc内接于⊙o，∠BAc与∠Boc互补，
∴∠Boc=2∠A，∠Boc+∠A=180°，
∴∠Boc=120°，
∵oB=oc，
∴∠oBc=∠ocB==30°，
∵⊙o的半径为4，
∴BD=oB•cos∠oBc=4×=2，
∴Bc=4．
故选：
B．
二、填空题
．如图，∠A是⊙o的圆周角，∠oBc=55°，则∠A= 35° ．
【考点】圆周角定理．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠Boc的度数，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：
∵oB=oc，∠oBc=55°，
∴∠ocB=55°，
∴∠Boc=180°﹣55°﹣55°=70°，
由圆周角定理得，∠A=∠Boc=35°，
故答案为：
35°．
．如图，AB是⊙o的直径，c，D是⊙o上的两点，若∠BcD=28°，则∠ABD= 62 °．
【分析】圆周角定理．根据直径所对的圆周角是直角得到∠AcB=90°，求出∠BcD，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：
∵AB是⊙o的直径，
∴∠AcB=90°，
∵∠BcD=28°，
∴∠AcD=62°，
由圆周角定理得，∠ABD=∠AcD=62°，
故答案为：
62．
如图，AB为⊙o的直径，cD⊥AB，若AB=10，cD=8，则圆心o到弦cD的距离为 3 ．
【解析】垂径定理；勾股定理．连接oc，由AB=10得出oc的长，再根据垂径定理求出cE的长，根据勾股定理求出oE即可．
【解答】解：
连接oc，
∵AB为⊙o的直径，AB=10，
∴oc=5，
∵cD⊥AB，cD=8，
∴cE=4，
∴oE=3．
故答案为：
3．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
0.如图，oA，oB是⊙o的半径，点c在⊙o上，连接Ac，Bc，若∠AoB=120°，则∠AcB= 60 度．
【分析】根据圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．
【解答】解：
∵oA⊥oB，
∴∠AoB=120°，
∴∠AcB=120°×=60°，
故答案为：
60．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
1.如图，⊙o的直径AB过弦cD的中点E，若∠c=25°，则∠D= 65° ．
【考点】圆周角定理．
【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由垂径定理求出∠AED的度数，进而可得出结论．
【解答】解：
∵∠c=25°，
∴∠A=∠c=25°．
∵⊙o的直径AB过弦cD的中点E，
∴AB⊥cD，
∴∠AED=90°，
∴∠D=90°﹣25°=65°．
故答案为：
65°．
⊙o的半径为1，弦AB=，弦Ac=，则∠BAc度数为 75°或15° ．
【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．
【分析】连接oA，过o作oE⊥AB于E，oF⊥Ac于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠oAB和∠oAc，然后分两种情况求出∠BAc即可．
【解答】解：
有两种情况：
①如图1所示：
连接oA，过o作oE⊥AB于E，oF⊥Ac于F，
∴∠oEA=∠oFA=90°，
由垂径定理得：
AE=BE=，AF=cF=，
cos∠oAE==，cos∠oAF==，
∴∠oAE=30°，∠oAF=45°，∴∠BAc=30°+45°=75°；
②如图2所示：
连接oA，过o作oE⊥AB于E，oF⊥Ac于F，
∴∠oEA=∠oFA=90°，
由垂径定理得：
AE=BE=，AF=cF=，
cos∠oAE═=，cos∠oAF==，
∴∠oAE=30°，∠oAF=45°，
∴∠BAc=45°﹣30°=15°；
故答案为：
75°或15°．
3.如图，N是⊙o的直径，N=4，∠AN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径N上的一个动点，则PA+PB的最小值为 2 ．
【考点】轴对称-最短路线问题；圆周角定理．
【分析】过A作关于直线N的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出∠A′oN的度数，再由勾股定理即可求解．
【解答】解：
过A作关于直线N的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
连接oB，oA′，AA′，
∵AA′关于直线N对称，
∴=，
∵∠AN=40°，
∴∠A′oN=80°，∠BoN=40°，
∴∠A′oB=120°，
过o作oQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′oQ中，oA′=2，
∴A′B=2A′Q=2，
即PA+PB的最小值2．
故答案为：
2．
三、解答题
如图，⊙o的直径为10c，弦AB=8c，P是弦AB上的一个动点，求oP的长度范围．
【解析】垂径定理；勾股定理．过点o作oE⊥AB于点E，连接oB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出oE的长，由此可得出结论．
【解答】解：
过点o作oE⊥AB于点E，连接oB，
∵AB=8c，
∴AE=BE=AB=×8=4c，
∵⊙o的直径为10c，
∴oB=×10=5c，
∴oE=3c，
∴3c≤oP≤5c．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
如图，在△ABc中，∠BAc的角平分线AD交Bc于E，交△ABc的外接圆⊙o于D．
求证：
△ABE∽△ADc；
请连接BD，oB，oc，oD，且oD交Bc于点F，若点F恰好是oD的中点．求证：
四边形oBDc是菱形．
【解析】相似三角形的判定与性质；菱形的判定；圆周角定理．根据圆周角定理求出∠B=∠D，根据相似三角形的判定推出即可；
根据垂径定理求出oD⊥Bc，根据线段垂直平分线性质得出oB=BD，oc=cD，根据菱形的判定推出即可．
【解答】证明：
∵∠BAc的角平分线AD，
∴∠BAE=∠cAD，
∵∠B=∠D，
∴△ABE∽△ADc；
∵∠BAD=∠cAD，
∴弧BD=弧cD，
∵oD为半径，
∴Do⊥Bc，
∵F为oD的中点，
∴oB=BD，oc=cD，
∵oB=oc，
∴oB=BD=cD=oc，
∴四边形oBDc是菱形．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理，垂径定理，菱形的判定，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
．如图，AB是⊙o的直径，弦cD⊥AB与点E，点P在⊙o上，∠1=∠c，
求证：
cB∥PD；
若Bc=3，sin∠P=，求⊙o的直径．
【解析】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义．几何综合题．要证明cB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据=可以确定∠c=∠P，又知∠1=∠c，即可得∠1=∠P；根据题意可知∠P=∠cAB，则sin∠cAB=，即=，所以可以求得圆的直径．
【解答】证明：
∵∠c=∠P
又∵∠1=∠c
∴∠1=∠P
∴cB∥PD；
解：
连接Ac
∵AB为⊙o的直径，
∴∠AcB=90°
又∵cD⊥AB，
∴=，
∴∠P=∠cAB，
∴sin∠cAB=，
即=，
又知，Bc=3，
∴AB=5，
∴直径为5．
【点评】本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键．
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