∀a∈（0,1）∪（1,+∞）,函数f（x）=loga（x-1）的图象过点（2,0）,则（ ）
A.p假q真B.p真q假
C.p假q假D.p真q真
4.阅读如图所示的程序框图,则输出结果s的值为（ ）.
A. B.
C. D.
5.（2015浙江杭州7校期末,6）已知数列{an}满足an+2=an+1+an,若a1=1,a5=8,则a3=（ ）
A.1B.2C.3D.
6.若直线y=3x上存在点（x,y）满足约束条件则实数m的取值范围是（ ）
A.（-1,+∞）B.[-1,+∞）
C.（-∞,-1）D.（-∞,-1]
7.（2015云南弥勒一模,7）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率:
先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947
1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661
9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A.0.852B.0.8192
C.0.8D.0.75
8.（2014山西四校第三次联考,4）已知x,y的取值如下表所示,从散点图分析,y与x线性相关,且=0.8x+a,则a=（ ）
x
0
1
3
4
y
0.9
1.9
3.2
4.4
A.0.8B.1C.1.2D.1.5
9.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形,如图所示,则它的体积为（ ）
A.B.
C.D.
10.如图,△OAB为等腰直角三角形,且OA=1,OC为斜边AB的高,P为线段OC上的点,则的最小值为（ ）
A.-1 B.-
C.- D.-
11.（2015四川资阳三模,8）现有12张不同的卡片,其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且蓝色卡片至多1张.则不同的取法共有（ ）
A.135B.172
C.189D.216
12.自平面上一点O引两条射线OA,OB,点P在OA上运动,点Q在OB上运动且保持||为定值a（点P,Q不与点O重合）,已知∠AOB=,a=,则的取值范围为（ ）
A.B.
C.D.
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13.（2015广东广州一模,12）已知e为自然对数的底数,则曲线y=2ex在点（1,2e）处的切线斜率为 .
14.（2015东北三省四市教研联合体高考模拟一,13）设随机变量X服从正态分布N（1,4）,若P（X>a+1）=P（X<2a-5）,则a= .
15.正四面体ABCD的棱长为4,E为棱BC的中点,过点E作其外接球的截面,则截面面积的最小值为 .
16.（2015浙江杭州7校期末,14）在等腰△ABC中,AB=AC,M为BC中点,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=DB,AE=3EC,若∠DME=90°,则cosA= .
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）（2015河南商丘二模,18）已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为Sn,bn=.
（1）求数列{bn}的通项公式;
（2）设数列{bn}前n项和为Tn,求Tn.
18.（本小题满分12分）（2015四川资阳三模,16）某校学生会进行了一次关于“消防安全”的调查活动,组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了50名居民进行问卷调查.活动结束后,团委会对问卷结果进行了统计,并将其中“是否知道灭火器使用方法（知道或不知道）”的调查结果统计如下表:
年龄
（岁）
[10,20）
[20,30）
[30,40）
[40,50）
[50,60）
[60,70]
频数
m
n
15
10
7
3
知道的
人数
4
6
12
6
3
2
表中所调查的居民年龄在[10,20）,[20,30）,[30,40）的人数成等差数列.
（1）求上表中m,n的值,若从年龄在[20,30）的居民中随机选取两人,求这两人至少有一人知道灭火器使用方法的概率;
（2）在被调查的居民中,若从年龄在[10,20）,[20,30）的居民中各随机选取2人参加消防知识讲座,记选中的4人中不知道灭火器使用方法的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）已知三棱柱ABC-A'B'C'中,平面BCC'B'⊥底面ABC,BB'⊥AC,底面ABC是边长为2的等边三角形,AA'=3,E,F分别在棱AA',CC'上,且AE=C'F=2.
（1）求证:
BB'⊥底面ABC;
（2）在棱A'C'上找一点M,使得BM和平面BEF所成角的余弦值为,并说明理由.
20.（本题满分12分）（2015广东广州一模,20）已知椭圆C1的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线C2:
-y2=1的顶点,直线x+y=0与椭圆C1交于A,B两点,且点A的坐标为（-,1）,点P是椭圆C1上异于点A,B的任意一点,点Q满足=0,=0,且A,B,Q三点不共线.
（1）求椭圆C1的方程;
（2）求点Q的轨迹方程;
（3）求△ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标.
21.（本小题满分12分）（2015东北三省四市教研联合体高考模拟一,21）已知函数f（x）=alnx-ax-3（a≠0）.
（1）讨论f（x）的单调性;
（2）若f（x）+（a+1）x+4-e≤0对任意x∈[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围（e为自然常数）;
（3）求证:
ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）<1+2lnn!
（n≥2,n∈N*）.
请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）如图,四边形ABCD内接于☉O,过点A作☉O的切线EP交CB的延长线于P,已知∠EAD=∠PCA.
23.（本小题满分10分）（2015云南弥勒一模,23）已知曲线C的参数方程为（θ为参数）,在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C'.
（1）求曲线C'的普通方程;
（2）若点A在曲线C'上,点B（3,0）,当点A在曲线C'上运动时,求AB中点P的轨迹方程.
24.（本小题满分10分）已知函数f（x）=|2x+1|-|x|-2.
（1）解不等式f（x）≥0;
（2）若存在实数x,使得f（x）≤|x|+a,求实数a的取值范围.
教师用卷参考答案（8-3）
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1.（2015辽宁朝阳三校协作体一模,1）集合P=,Q={x|y=},则P∩Q=（ ）
A.（1,2]B.[1,2]
C.（-∞,-3）∪（1,+∞）D.[1,2）
解析:
因为P=={x|x<-3或x>1},Q={x|y=}={x|-2≤x≤2},
所以P∩Q={x|x<-3或x>1}∩{x|-2≤x≤2}={x|1答案:
A
2.（2015河南商丘二模,2）已知=a+bi（a,b∈R,i为虚数单位）,则a+b=（ ）
A.-7B.7C.-4D.4
解析:
∵=（1-2i）2=-3-4i=a+bi,
∴a=-3,b=-4.∴a+b=-7.故选A.
答案:
A
3.（2015河北唐山一模,4）命题p:
∃x∈N,x3∀a∈（0,1）∪（1,+∞）,函数f（x）=loga（x-1）的图象过点（2,0）,则（ ）
A.p假q真B.p真q假
C.p假q假D.p真q真
解析:
∵x3∴x<0或0∴命题p为假命题.
∵loga1=0对∀a∈（0,1）∪（1,+∞）均成立,
∴f（x）的图象过点（2,0）,∴命题q为真命题.
答案:
A
4.阅读如图所示的程序框图,则输出结果s的值为（ ）.
A. B.
C. D.
解析:
程序在执行过程中,s,n的值依次为:
s=1,n=1;s=1×cos,n=2;s=1×cos×cos,n=3;s=1×cos×cos×cos,n=4;s=1×cos×cos×cos×cos,n=5,
输出s=1×cos×cos×cos×cos.
答案:
D
5.（2015浙江杭州7校期末,6）已知数列{an}满足an+2=an+1+an,若a1=1,a5=8,则a3=（ ）
A.1B.2C.3D.
解析:
因为an+2=an+1+an,所以an+2-an+1=an,
则a3-a2=a1=1,①
a4-a3=a2,②
a5-a4=a3,③
由①②③得a3=3.
答案:
C
6.若直线y=3x上存在点（x,y）满足约束条件则实数m的取值范围是（ ）
A.（-1,+∞）B.[-1,+∞）
C.（-∞,-1）D.（-∞,-1]
解析:
由题意得
解得
所以-1因为x≤m,所以m≥xmin,即m>-1,
所以实数m的取值范围是（-1,+∞）,故选A.
答案:
A
7.（2015云南弥勒一模,7）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率:
先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947
1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661
9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A.0.852B.0.8192
C.0.8D.0.75
解析:
由题意模拟射击4次的结果,经随机模拟产生的20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有:
7527,0293,9857,0347,4373,8636,6947,4698,6233,2616,8045,3661,9597,7424,4281,共15组随机数,故所求的概率P=0.75,故答案为D.
答案:
D
8.（2014山西四校第三次联考,4）已知x,y的取值如下表所示,从散点图分析,y与x线性相关,且=0.8x+a,则a=（ ）
x
0
1
3
4
y
0.9
1.9
3.2
4.4
A.0.8B.1C.1.2D.1.5
解析:
由题意,=2,=2.6,而样本点的中心（）必在回归直线上,代入得2.6=0.8×2+a,从而有a=1.
答案:
B
9.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形,如图所示,则它的体积为（ ）
A.B.
C.D.
解析:
该几何体是正方体削去一个角,体积为1-×1×1×1=1-.故选D.
答案:
D
10.如图,△OAB为等腰直角三角形,且OA=1,OC为斜边AB的高,P为线段OC上的点,则的最小值为（ ）
A.-1 B.-
C.- D.-
解析:
因为△OAB为等腰直角三角形,OA=1,
所以||=||=1,=0.
又因为OC为斜边AB的高,
所以C是AB的中点.
所以.
设=λ,
则.
所以
=
=|2+|2
=≥-.
所以的最小值为-,故选B.
答案:
B
11.（2015四川资阳三模,8）现有12张不同的卡片,其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且蓝色卡片至多1张.则不同的取法共有（ ）
A.135B.172
C.189D.216
解析:
取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,则这3张可以是两种颜色,也可以是三种颜色;蓝色卡片至多1张,则有两种情况:
一是无蓝色,二是有一张是蓝色.若无蓝色,则共有3×3×3+×3×2=81种;若有1张蓝色,则共有3××3×3+3××3=108种.共有189种.
答案:
C
12.自平面上一点O引两条射线OA,OB,点P在OA上运动,点Q在OB上运动且保持||为定值a（点P,Q不与点O重合）,已知∠AOB=,a=,则的取值范围为（ ）
A.B.
C.D.
解析:
设∠OPQ=α,则∠OQP=-α,且α∈,
所以cosα+3cos（3sinα-cosα）=7sin（α-φ）.
当sin（α-φ）=1时,原式有最大值7;当α=0时,原式有最小值-.
答案:
D
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13.（2015广东广州一模,12）已知e为自然对数的底数,则曲线y=2ex在点（1,2e）处的切线斜率为 .
解析:
y'=2ex,所以曲线y=2ex在点（1,2e）处的切线斜率为2e.
答案:
2e
14.（2015东北三省四市教研联合体高考模拟一,13）设随机变量X服从正态分布N（1,4）,若P（X>a+1）=P（X<2a-5）,则a= .
解析:
随机变量X服从正态分布N（1,4）,正态曲线关于直线x=1对称,由P（X>a+1）=P（X<2a-5）,因此=1,解得a=2.
答案:
2
15.正四面体ABCD的棱长为4,E为棱BC的中点,过点E作其外接球的截面,则截面面积的最小值为 .
解析:
依题意,设正四面体ABCD外接球的球心为O,顶点A在底面BCD内的射影为G,则OA=OB=R,BG=×4×,AG=×4=,
∵OB2=OG2+BG2,∴R2=,R=,OE=.当OE垂直于截面时,截面半径r最小,
∴截面面积的最小值为πr2=4π.
答案:
4π
16.（2015浙江杭州7校期末,14）在等腰△ABC中,AB=AC,M为BC中点,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=DB,AE=3EC,若∠DME=90°,则cosA= .
解析:
以BC中点为原点建立如图所示的直角坐标系,
设BC=2a,AO=b,B（-a,0）,C（a,0）,A（0,b）.
因为AD=DB,AE=3EC,∠DME=90°,
故D,E,
=-=0⇒b2=,
所以AB=,
cosA=.
答案:
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）（2015河南商丘二模,18）已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为Sn,bn=.
（1）求数列{bn}的通项公式;
（2）设数列{bn}前n项和为Tn,求Tn.
解:
（1）∵等差数列{an}中a1=1,公差d=1,
∴Sn=na1+d=.
∴bn=.
（2）bn==2,
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn
=2
=2
=2.
18.（本小题满分12分）（2015四川资阳三模,16）某校学生会进行了一次关于“消防安全”的调查活动,组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了50名居民进行问卷调查.活动结束后,团委会对问卷结果进行了统计,并将其中“是否知道灭火器使用方法（知道或不知道）”的调查结果统计如下表:
年龄
（岁）
[10,20）
[20,30）
[30,40）
[40,50）
[50,60）
[60,70]
频数
m
n
15
10
7
3
知道的
人数
4
6
12
6
3
2
表中所调查的居民年龄在[10,20）,[20,30）,[30,40）的人数成等差数列.
（1）求上表中m,n的值,若从年龄在[20,30）的居民中随机选取两人,求这两人至少有一人知道灭火器使用方法的概率;
（2）在被调查的居民中,若从年龄在[10,20）,[20,30）的居民中各随机选取2人参加消防知识讲座,记选中的4人中不知道灭火器使用方法的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.
解:
（1）由题意得解得
记选取的两人至少有一人知道灭火器使用方法为事件A,
则P（A）=1-=1-.
（2）随机变量ξ的所有可能值为0,1,2,3.
则P（ξ=0）=,
P（ξ=1）=,
P（ξ=2）=,
P（ξ=3）=.
所以ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
所以ξ的数学期望
Eξ=0×+1×+2×+3×.
19.（本小题满分12分）已知三棱柱ABC-A'B'C'中,平面BCC'B'⊥底面ABC,BB'⊥AC,底面ABC是边长为2的等边三角形,AA'=3,E,F分别在棱AA',CC'上,且AE=C'F=2.
（1）求证:
BB'⊥底面ABC;
（2）在棱A'C'上找一点M,使得BM和平面BEF所成角的余弦值为,并说明理由.
（1）证明:
取BC的中点O,连接AO,因为底面ABC是等边三角形,
所以AO⊥BC.
又因为平面BCC'B'⊥底面ABC,AO⊂平面ABC,平面BCC'B'∩平面ABC=BC,
所以AO⊥平面BCC'B'.
又BB'⊂平面BCC'B',所以AO⊥BB'.
又BB'⊥AC,AO∩AC=A,AO⊂平面ABC,AC⊂平面ABC,
所以BB'⊥底面ABC.
（2）解:
取B'C'的中点O',所以OO'⊥底面ABC.分别以OC,OA,OO'所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示.
所以B（-1,0,0）,E（0,,2）,F（1,0,1）,在A'C'上找一点M（a,（1-a）,3）,
所以=（a+1,（1-a）,3）,=（1,,2）,=（2,0,1）.
设平面BEF的法向量n=（x,y,z）,
则不妨令x=1,则n=（1,,-2）.
因为BM和平面BEF所成角的余弦值为,
所以|cos|=,
即,
解得a=或a=-（舍去）.
所以A'C'的中点符合题意.
20.（本题满分12分）（2015广东广州一模,20）已知椭圆C1的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线C2:
-y2=1的顶点,直线x+y=0与椭圆C1交于A,B两点,且点A的坐标为（-,1）,点P是椭圆C1上异于点A,B的任意一点,点Q满足=0,=0,且A,B,Q三点不共线.
（1）求椭圆C1的方程;
（2）求点Q的轨迹方程;
（3）求△ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标.
解:
（1）方法一:
∵双曲线C2:
-y2=1的顶点为F1（-,0）,F2（,0）,
∴椭圆C1的两焦点分别为F1（-,0）,F2（,0）.
设椭圆C1方程为=1（a>b>0）,
∵椭圆C1过点A（-,1）,
∴2a=|AF1|+|AF2|=4,得a=2.
∴b2=a2-（）2=2.
∴椭圆C1的方程为=1.
方法二:
∵双曲线C2:
-y2=1的顶点为
F1（-,0）,F2（,0）,
∴椭圆C1两焦点分别为F1（-,0）,F2（,0）.
设椭圆C1方程为=1（a>b>0）,
∵椭圆C1过点A（-,1）,
∴=1.①
∵a2=b2+2,②
由①②解得a2=4,b2=2.
∴椭圆C1的方程为=1.
（2）方法一:
设点Q（x,y）,点P（x1,y1）,
由A（-,1）及椭圆C1关于原点对称可得B（,-1）,
∴=（x+,y-1）,=（x1+,y1-1）,=（x-,y+1）,=（x1-,y1+1）.
由=0,得（x+）（x1+）+（y-1）（y1-1）=0,
即（x+）（x1+）=-（y-1）（y1-1）.①
同理,由=0,得（x-）（x1-）=-（y+1）（y1+1）.②
①×②得（x2-2）（-2）=（y2-1）（-1）.③
由于点P在椭圆C1上,则=1,得=4-2,
代入③式得-2（-1）（x2-2）=（y2-1）（-1）.
当-1≠0时,有2x2+y2=5,
当-1=0时,点P（-,-1）或P（,1）,此时点Q对应的坐标分别为（,1）或（-,-1）,其坐标也满足方程2x2+y2=5.
当点P与点A重合时,即点P（-,1）,由②得y=x-3,
解方程组
得点Q的坐标为（,-1）或.
同理,当点P与点B重合时,可得点Q的坐标为（-,1）或.
∴点Q的轨迹方程为2x2+y2=5,除去四个点（,-1）,,（-,1）,.
方法二:
设点Q（x,y）,点P（x1,y1）,
由A（-,1）及椭圆C1关于原点对称可得B（,-1）,
∵=0,=0,
∴AP⊥AQ,BP⊥BQ.
∴=-1（x1≠-）,①
=-1（x1≠）.②
①×②得=1.（*）
∵点P在椭圆C1上,∴=1,得=2-,
代入（*）式得=1,
即=1,
化简得2x2+y2=5.
若点P（-,-1）或P（,1）,此时点Q对应的坐标分别为（,1）或（-,-1）,其坐标也满足方程2x2+y2=5.
当点P与点A重合时,即点P（-,1）,由②得y=x-3,
解方程组得点Q的坐标为（,-1）或.
同理,当点P与点B重合时,可得点Q的坐标为（-,1）或.
∴点Q的轨迹方程为2x2+y2=5,除去四个点（,-1）,,（-,1）,.
（3）方法一:
点Q（x,y）到直线AB:
x+y=0的距离为.
△ABQ的面积为S==|x+y|=.
而2xy=2×2x×≤4x2+
.
∴S=.
当且仅当2x=时,等号成立.
由解得
∴△ABQ的面积最大值为,此时,点Q的坐标为.
方法二:
由于|AB|==2,
故当点Q到直线AB的距离最大时,△ABQ的面积最大.
设与直线AB平行的直线为x+y+m=0,
由
消去x,得5y2+4my+2m2-5=0,
由Δ=32m2-20（2m2-5）=0,解得m=±.
若m=,则y=-2,x=-;
若m=-,则y=2,x=.
故当点Q的坐标为时,△ABQ的面积最大,其值为S=|AB|×.
21.（本小题满分12分）（2015东北三省四市教研联合体高考模拟一,21）已知函数f（x）=alnx-ax-3（a≠0）.
（1）讨论f（x）的单调性;
（2）若f（x）+（a+1）x+4-e≤0对任意x∈[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围（e为自然常数）;
（3）求证:
ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）<1+2lnn!
（n≥2,n∈N*）.
（1）解:
f'（x）=（x>0）,
当a>0时,f（x）的单调增区间为（0,1],
升级会员 