椭圆离心率问题.docx

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椭圆离心率问题

一.椭圆离心率的

1、运用几何图形中线段的几何总义.

基础®n：

如图•0为椭圆的中心，F为优点•A为顶点.交OATB.P、Q在櫛圆上・PD丄LTD.

QF1ADFF,设椭圆的离心率为e,则①ehj■斛©€晋押+^歸@。

寺窘

VIAOI=a,IOFI=c,M⑤：

••TAOIIBOI=牛.••有③.

g椭圆*&皿〉b〉0）的两焦点为Fl、F：

.以F用为边作正二角形，若椭圆恰好平分正二角形

的常边•则椭岡的离心率e?

思路：

A点在椭圆外•找"b.C的关系应借助椭圆.所以取AF：

的屮点B.连接BF：

，把己知条件放在椭圆内.构造△F：

BF：

分析三角形的存边长及关系.

解：

VIF1F：

I=2cIBF11=cIBF：

Ipcc*^c=2a/.e=-^-=萌T

V*Y"

变形1：

tfW古P"=2b>0）的两焦点为F「F：

.点Mtfm上，使△OPR为正三角形，求椭财

心率？

解；逢接PF：

，则IOF：

I=IOFJ=IOPLZFxPF：

=90°图形如上图.0=^3-1

变形2:

椭凤忖&gb〉。

）的两焦点为Fl、F：

AB为椭酗顶点，P址椭圆上-点•且PF；丄X轴,

PF：

"AB,求椭圆离心率？

U：

解S7IPF11=—IF：

FJ=2cIOBI=bIOAI=aa

IPF"b„厂LT

PF：

//ABIF旧|—-又TX

.•.a：

=5re妾

点评：

以卜•题目•构造焦点二角形，通过各边的几何总义及关系•推导右关a与C的方程式.推导离心率.二.运用正余弦定理解决图形中的三角形

題目2：

tffi圆匚召vl（a>b>0）.A足左顶点，F圧右似点，B肚短轴的一个顶点.ZABF=90".求e?

解：

IAOI=aIOFI=cIBFI=aIABI寸沁

a'+b'-a*=（a+c）"二¥+2ac+c*a*-c'-ac=0两边同除以a：

e>e-l=0e=^舍却

变形：

椭圆三一WrYl（a〉b>0）,G士爭-，A是左顶点，F卅右焦点，B址短轴的一个顶点，求ZABF?

ab2

的椭圆为优美椭圆.

点评：

此題足上一題的条件与结论的互换-解题中分析各边-山余弦泄理解决角的问题.答案：

90。

引申：

此类尸竽

性质：

1、ZABF=90"2、假设卜•瑞点为B：

，则ABFB：

四点共圆.3、焦点与相应准线Z间的距离等于长半轴长。

总结：

焦点三角形以外的三角形的处理方法根$^几何总义・找并边的表示.结汁解斜二角形公式，列出有关e的方程式・過Z椭圆P&=2b〉0）”过左焦点EU倾斜角为60。

的比线交椭圆与AB曲点，若IF小21

BFiI,求e?

解？

设IBFiI=m则IAF：

I=2a-amIBF；I=2a-m

fa*-c*=B{2a~c）在△AFxF：

及ABFiF：

中・由余弦定理得：

12Ca--c-）=ni（2a*c）

T*V・

题阳：

椭圆古舟E@〉b〉0）的两焦点为（・c,OXF：

（CO）.P足以IF时为rt径的岡与椭圆的1个交点.且

ZPFf：

=5ZPFJ^i，求e?

分析：

此题有角的值・可以考电正弦定理的应用•

H_e

NPFE=75°ZPFiFi=15*

■■

变形1：

椭圆斗WLl（a>b>0）的两焦点为Fl（-G0）、F：

（c,0）・P是椭圆上一点•H.ZF；PF：

=60°•aD

求e的取值范附？

分析：

上题公式11接应用.

解：

设ZF：

F尸a.则ZH：

H1F=12O"-a

esinFiFJ*+sinPFiF；sina*sin（120°-a）

2sin（o+30^）^2*'2*】

为椭圆两焦点•M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合〉

V*V*

变形2：

已知椭圆亍+-jp-=1（t>0）FiF：

分析^运用三角曲数的公式-把正弦化正切•

0PaB

coscosrsin

■■■■

cosncos

Pa3

-^isin—sin-5-

1-tan

g亠B严亍

「tan—tan-

1l-e111

订〈"1^2F勺

以F〔线与椭圆的位豐关系为背眾•用设而不求的方法找e所符合的关系式.

v'V*—*—>f

删U5：

椭圆*^l（a>b>0）.斜率为1,且过tffi阀右建点F的直线交椭圆r-A.BW点.OA+OB丄ja=（3,-1）

法一：

设A（Xbyi）,B（X2,yj

b'x'+a'y'=a'b'

.y=x-c

（a'+bJx*-2a*cx+a*c*-aV=0

OA*OB=（xi+x；,yi+y?

与（3.-1）共线•则

法二设AB的中点*ftij20N=0A-h0B

题目6：

椭圆屯一=l（a>b>0）的两焦点为Fl（・c,0）、F：

（c.O）.满足S：

-iff：

=0的点M总在椭惻内aD

部・则e的取值范圉？

解：

a'=b'+c'>2?

/.0疇

题目7：

tffi圆■屯―Ha>b〉0）的两魚［点为珀（-C,0〉、F：

（c,0）.P为右准线L上一点-F卩的垂血平aD

分线恰过F：

点.求e的取值范闱？

分析：

思路X如图FxP与F31垂九根据向找a.b、c的不等关系•思路2：

根图形中的边长之间的不等关系.求e

—C

解法1JF1（-C.0）F：

（c,0）7（已*）M（

既孕-）则PF】=-（f~+c,y«）5：

=-（严c,牛）PFi-S：

（”"・（A岁）=0a'-Sc'^O

解法2：

IF：

F：

I=IPF：

I=2c

iPFjfc则心Pc3迸

3c'则誓Si总结：

对比两种方法•不难看出法一口冇代农性•可谓通法.而法二足运用了垂］1平分线的几何性质•巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法.所以垂rt平分线这个条件经常在解析几何中出现.对于它的应用方法，值得大家注意・

离心率为高考的一个重点题a,多以选择题或解答題的第一问形式ill现，望大家经过此系列题U能对它有一些认识和索握•

橢H中与焦点三角形有关的问fl

Y*V*

理】：

肠圆0+〒“的焦点为F\F.点P为其上动点.肖Z仟肌为钝角臥点P横坐标的収

伉范W足•

设计《图：

从习《入手，不陌生，并且让学生明白本节课内客有很强的实用价值.

（二）问■的分析与引导同《分解：

问題，椭岡g+才1跚点为F、鬥，点卩为其上-点，当”朋为“时，点讪坐

标址

问題2.而此题为钝角•兗竞钝角和直角冇何联系？

解题的关键在于点动•发现上片戸尸2的大小与点P的位S有关•究竟有何联系•成了大家探索的焦点.

设计意图：

把一个看似未知的问《转化为几个*已经具各的经验”可以解决的问《,是«学常爆解題策略，这个任务不可能一at而就.但可以水滴石穿.

性质一,当点P从右至左运动时-上仟户化由锐角变成fl角，乂变成钝角•过了Y轴之后，对称地由

钝角变成£（角再变成锐角•并且发现当点P与短轴端点重介B・hZfjPF二达到最大.

3•“性质一”是为什么呢？

你能证明吗？

提示：

“这节课我们研究的出焦点三角形，在三角形中，求角的就值往往可转化为求什么的鼓值？

”学生思曹垢回答：

求某个三角函数的鼓值.

同题3$解三角形中我们常用的理论依据足什么？

同《4<究竟转化为求哪种三角因数的最值-经大家演算.试验.悟出“欲求彳戶尸2的協大值-只需求COSZ/\PFy的鼓小（Fl”

\PF+\PF|--IFF卩

2|P仟|・|PFJ

（面对C05Zf；Pf）~门…丄_丄'・l.l'L如何求城小值.有的同学尝试厉发现若用两次均值不等式.则两次不等兮方向相反•达不到冃的・能否少用一次均值不等式求出最值呢?

学生们发现分子变化的部分足IPF^P+IPF^P.分柑变化的部分足2IPFJ•IPFJ.二者的关系足

2/?

楚口标式可分成咖分两聞亠环对的卜欣I利昨不等式陀大珈咏

设计童图，在课堂«学和作业中浚透两个7"3是我们一直致力在研究的课題■本例很好地体现了三角及基本不«式的应用・

2b—

从而求得^\PF,\=\PF,I>tip点P与短轴端点3fi合时.cosZfjP化有最小值为丝r

■"a'

"\PFW蚊大值•此題结果为一

同S5*由上面的分析•你能得出与离心*e的关系吗?

V'V

性质二已知椭岡方程为r+lr=l（a>b>0人两焦点分别为f设焦点二角形卩片化crZr■■

中ZFfF,=0则cos0>l-2"・（当且仅当动点为短轴端点时取等号）

设计意图2进一步的««,可以让问《简单化，应用价值就更高""看似一小步，其实一大步勺

ZFjPF.=120\求棉圆的离也率e的取值范®。

由橢圆焦点三角形性斑知-120°1-24即-尸1-廿

于是得到丘的取値范围是

追冋：

何时取尊号？

变如糊畸+¥十刑焦点1h试问：

椭圆如存在点P,使ZF睞=90。

？

两种解法，答案不一致，《因7

设计童图.两个练习题，层层递进，练习2宜接为“问愿引入2”埋下伏笔，有承上启下的作用.

（三〉月S引入2（-曲普通的ims）

爲浜椭U+才1上的点，..b址椭酗峡若""厂亍”则呼/的积等于

多数同学：

利川椭圆定义和余弦定理列出方程组，消元•求出代入而积公式•

问大家「既然而积可求.那么IpfJJPFJ也一定可求•请大家计篦一下lpf;l、lp&l的值-•同学们利用根与系数的关系构造一个以IPFJ.IPF,I为根的一元二次方程，发规此方程判别式

小丁•0・无实根.究竟怎么创事•同学们陷入恩考中-两种解法.两种结果・谁对准错，难以定夺■同学们n发地探索起分歧的原因-经讨论、交流、思考•发现题0出借•利用刚才一探儀出的規律•当点P与短轴瑞点亟合时.ZFfF）有晟大值，査农求得址57°,因此•给定椭圆上不存在点P.使牛PF\=y

问flU：

已知椭圆C：

2+二=1（a>b>ObH、F庞两个焦点，对于給定的角6Z（0

求在C匕存在点P,使ZFfF厂a的条件•

尽量让学生得到1存在点P的条件可相应得到：

ZF'BF、>a•（B为《IS短轴的一个*点）

设计ft图，要学生养成仔细审题的习惯，就必须从课堂开始训练.问《2：

怎样改动•使上面不是一个错題？

.则△PF"

X"y•穴

改动一：

P足椭圆=+2=1上的点，Fh卩2足椭侧的建点.若牛PF、=-

341-6

的働枳等于

改动二p™-.r=i上的点’..良足椭诙似点’yPFp

的面积等于

问改动的依据是什么？

（许fF）

X*V*

若E、化址柿圆r+Wh=l（a>b>0）的两个焦点，P是椭圆上一点.

■It

/.Sg=-/»nsin^=b'=b-taii-

M21+COS&2

性质三，若片.仁足椭圆二+£r=l（d>b>0）的两个焦点•P足椭圆上一点.JlZFff；=8.0（TZr0

当然，若用公式去解同学们编制的题目，将是爲如反第的.如果把图形待殊化•使Ph丄FiF>，我们可以得到，

性质四！

过椭圆焦点的所有弦屮通径（垂『［于焦点的弦）绘短，通径为砂-a

jH5,己知椭圆C］：

£+L=l（a〉b>0）的右顶点为力（1・0）・过C］的焦点Klin长轴的弦a~D

长为1.求椭阅C］的方程：

这就是09年浙江省高考理科试題.展示评分标准.

设计童图X从高考角度出现，进一步体现实用价值•

同考察两个定点的位■还有農些可能.

定点可以肚K轴顶-feh中心、短轴顶点・北至可能圧坐标轴上任一点或椭圆内的一点.

【课堂测试】

1.已知林、E足椭圆Q;乔+〒亍=l（G>b〉0）的两个焦点，/?

为椭洌C上的一点.aPF］丄啓》

2•已知仟、代肚脚圆的两个範点.満足MFfMF^O的点M总在椭岡内部，则椭岡离心率的収值范

I/T/T

A.（0,1）B.（0,-]C.（0,予）D.[予、1）

3.己知tffi圆r+r=l（o>l）的两个焦点分别为耳，F.P为椭洌上一点.KZf；PF.=60"，则fl"■J

IPAMPFJ的值等于—.

X*v*

4（选做）设椭13—+^=i（a>b>Q）的左.右焦点分别为Fr，A址椭圆1:

的一点.

a'b'■

AFj丄件件，原点O到ft线AF］的距离为亍

MU中魚点三角舷的性盛及应用

定义！

椭圆I：

任意一点与两傀点所构成的二角形称为焦点二角形.与佩点三角形的有关问题冇意地考杳了定义、二角形中的的托（余）弦定理、内角和定理、面积公式等.

一.焦点三角形的形状判定及周长、面枳计算

证明Ct=y/lh:

v-v・

例1椭岡—+丄_=1上一点P到傲点FjF的距离之筮为2.试判断APF］化的形状・

16121・丄・

解：

由椭圆從义：

IPF,+IPE.\=&|PFJ-IPF,\=2./.|PF,1=5JPFJ=3・

又€>|Ffj=4・故满足；|P&f+|片&F=|Pf；&泌PF』\为rt角-角形.

X*V

性质一2已知椭岡方程为—+-^=!

（«>/?

>0）,两焦点分别为f设低点三角形Pf；化中a'b''■

ZF^PF?

=&,貝ijS工严；=/?

*tally.

V"Y~

性JK-f己知椭岡方程为—+^=l（a>b>0）,左右两焦点分别为F』,设備点-角形Pf；f；・

0"/?

若GP&豉大，则点P为椭岡短轴的靖点.

证明：

设P（£,儿），由焦半径公式可知：

|Pf；|=a+%・

眄=d_%

在cos0=

P时+|P时_（『可+『&）'-2|P川『代卜4疋

©-a

4cr-4c'

2PF,PF.

•••X；

4b'

2（a+exJ（a-exJcr-e'x;

性质三：

过椭圆焦点的所有弦中通径（垂直于焦点的弦）最短，通径为2—a

Y*、'■

性质四：

已知椭圆方程为+=1（0>b>0）,两焦点分别为林，耳，设焦点三角形PF\F、中

乙FfF"=0,则COS&n1-20’•

证明：

设Pf；=GP&=3则在Af\PF,中.由余弦定3得:

2仁2/;/;2r心

>2宀2

I号尸

E一？

5-l=i-2e\命题得证。

2（r

V*y・

（2000年高考题）已知鞫圆4+各=l（d>b>0）的两焦点分别为f若橢圆上仔在一点E使

0"P""

得0戶&=120役求椭圆的离心率€的取值范00。

药解由椭圆焦点三角形性斑知C0S120OH-尹亠

于眾得到e的取値范區I是

性《五，已知椭岡方程为一+k=l（a〉b>0）、煤点分别为f设焦点三角形PF/-irZr*•

ZPFf=a,ZPF百=0,则椭阅的离心率0=sm（a+0）

*•sin<7+sin0

ZPF'F厂a上PJF产0、

由正弦疋理得：

sin（l80匚a-0）"sina"siu0

PF』+|MJ

由等比定理得：

sin（a+0）SU1a+sin0

P&+

•c_C_sui（a+0）

•-c——

asina+sin0

己知椭圆的焦点址Fi（-U0）.F2（1.0）.P为椭圆上一点•flIFiF:

I址IFFiI和丨PFzI的等筮中项.

（1）求椭圆的方程：

（2）若点P在第二象HbnZPF］尺=120°•求lanfiRY

解：

（Dill题设2I尺斤I=IP几1+1PEzI

\2a=4■乂2c=2,A6=JJ

X~V"

•I椭圆的方程为H"—=

⑵设ZFiPFi=叭则ZPF;Fi=60・-0

◎椭圆的离心率

整理得J5sin"=JJ（l+cos"）

n锥曲域中（An离心率〉的基本范a问s

\PFY\PF\^\^F\^\PF\-\PQ

IqfI+P鬥一『0|<|0鬥+|!

2尸|=加

己知点P在#IH丄t+冥=l（a>b〉0）上，FJ；是橢B的两个焦点，求点P位于何处时fl"b・•

ZFfF：

嚴大？

（焦点三角形两个基本关系？

）

解：

设牛PF严e,在^FfF、中，cos&=

2\PF,\\Pr.\

\PF,\=\PF.\=a^取得（cos6»在（0山）上是减a数人即点p为楠B短轴上的顶点.

S知«H4+tv=l（“>b>0）±.f；,/\是«H的两个焦点，若在«»上存在点P使

ZFfF,=120°,求橢圖离心率的范围.

解法一：

解业PF一由上題cos<9=

所以220。

=Jn竺1亠乂，e>^.故ew

2"a-2

兀•则|Pf；||P月二/-rvj在

解法二:

设P（Xo，yo）•则|P7\|=fl+e.Vo,|Pf；|=n-e

「y-

己知橢H—+^=l（n>/7>0）的长轴两«点为A.B.如果《圆上存在点使

a~P"

ZA如=120°,求MH离心率的范围

tau^=—>-TJ

X~y"

已知ffi圓一+K=l（n>b>0）上，片是ttH的两个焦点，若在«圓上存在点P使crIr■

求橢B离心*的

解法一5设P（Xo.y。

）-则I〃i|=d+£Xo，I啓|=4一€勺，

^7a33

由PF[=4PF*得兀=—•而x。

=—S£19所以£2=»故fw=」

■>e>e亠

解法二X由2+兵=1及（x+cF+r=i6「（x-cr+r

cr/?

即Z?

\v'+fry"=0

及j^-2cv+v"+c"=0即a\Y"-2cfl"x+cry^+crc~=0

联立解得x=—.余同上.

1■»

6.已知«BS二+其=l（a>b>0）与X轴正向交于点A,若这个《［1|上总存在点P,使

a~b~

■A•伽■■■

4P・OP=0（O为原点），求«心車6^的范围・

设P（-v,y）>由AP・OP=0,得（x,y）Gv-fl,y）=0.即,x--av+r=0.

X'y,cr-Irr八八

又因为—+^=1.所以一x*-ax+b^=Q•a*Ircr

所以+=0分解因式，得

ab'ab'所以x=a或A=——=「r

CT-Itc"

则双曲线的

联立解得

由韦达定理另一根

a'+戻）X"-36r\v+-flV=0此方程一根为a（对应点a的横坐标〉.

.2a—db*一r*11*/-I

为「所以Q莎

Y"y"

己知点F是双曲找一一件=1（0>0上>0）的左鶴点.点f*该双曲践的右頂点■过F且垂直

<7'P"

于*轴的宜《与双曲找交于B两点，若MBE是税角三角形.则该双曲线的离心率F的取值范

围是（

A.（1.+x）B.（t2）；C・（1J+72）D.（2J+VI）

设点p（-v,v）是双曲钱丄T-其=1@＞0上＞0）与H＜+）＜="'+/?

'在第一象限的交点,crIr

＞则双曲钱的*心率为

片，&是双曲贱的左.右焦点，K|P/\|=3|Pf；

Y*V"（1~

10.

嫌曲吟-产S0上＞0）的左焦点F（Yg＞0）,作盯+宀才的切钱,

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