重庆大学材料力学答案.docx
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重庆大学材料力学答案
重庆大学材料力学答案
2.9题图2.9所示中段开槽的杆件,两端受轴向载荷P的作用,试计算截面1-1和2-2上的应力。
已知:
P=140kN,b=200mm,b0=100mm,t=4mm。
题图2.9
解:
(1)计算杆的轴力
(2)计算横截面的面积
(3)计算正应力
(注:
本题的目的是说明在一段轴力相同的杆件内,横截面面积小的截面为该段的危险截面)
2.10横截面面积A=2cm2的杆受轴向拉伸,力P=10kN,求其法线与轴向成30°的及45°斜截面上的应力
及
,并问
发生在哪一个截面?
解:
(1)计算杆的轴力
(2)计算横截面上的正应力
(3)计算斜截面上的应力
(4)
发生的截面
∵
取得极值
∴
因此:
,
故:
发生在其法线与轴向成45°的截面上。
(注:
本题的结果告诉我们,如果拉压杆处横截面的正应力,就可以计算该处任意方向截面的正应力和剪应力。
对于拉压杆而言,最大剪应力发生在其法线与轴向成45°的截面上,最大正应力发生在横截面上,横截面上剪应力为零)
2.17题图2.17所示阶梯直杆AC,P=10kN,l1=l2=400mm,A1=2A2=100mm2,E=200GPa。
试计算杆AC的轴向变形Δl。
题图2.17
解:
(1)计算直杆各段的轴力及画轴力图
(拉)
(压)
(2)计算直杆各段的轴向变形
(伸长)
(缩短)
(3)直杆AC的轴向变形
(缩短)
(注:
本题的结果告诉我们,直杆总的轴向变形等于各段轴向变形的代数和)
2.20题图2.20所示结构,各杆抗拉(压)刚度EA相同,试求节点A的水平和垂直位移。
(a)(b)
题图2.20
(a)解:
(1)计算各杆的轴力
以A点为研究对象,如右图所示,由平衡方程可得
,
(拉)
,
(2)计算各杆的变形
(3)计算A点位移
以切线代弧线,A点的位移为:
(b)解:
(1)计算各杆的轴力
以A点为研究对象,如右图所示,由平衡方程可得
,
(拉)
,
(压)
(2)计算各杆的变形
(伸长)
(缩短)
(3)计算A点位移
以切线代弧线,A点的位移为:
[注:
①本题计算是基于小变形假设(材料力学的理论和方法都是基于这个假设),在此假设下,所有杆件的力和变形都是沿未变形的方向。
②计算位移的关键是以切线代弧线。
)
2.15如题图2.15所示桁架,α=30°,在A点受载荷P=350kN,杆AB由两根槽钢构成,杆AC由一根工字钢构成,设钢的许用拉应力
,许用压应力
。
试为两根杆选择型钢号码。
题图2.15
解:
(1)计算杆的轴力
以A点为研究对象,如上图所示,由平衡方程可得
,
,
∴
(拉)
(压)
(2)计算横截面的面积
根据强度条件:
,有
,
(3)选择型钢
通过查表,杆AB为No.10槽钢,杆BC为No.20a工字钢。
(注:
本题说明,对于某些材料,也许它的拉、压许用应力是不同的,需要根据杆的拉、压状态,使用相应得许用应力)
2.25题图2.25所示结构,AB为刚体,载荷P可在其上任意移动。
试求使CD杆重量最轻时,夹角α应取何值?
题图2.25
解:
(1)计算杆的轴力
载荷P在B点时为最危险工况,如下图所示。
以刚性杆AB为研究对象
,
(2)计算杆CD横截面的面积
设杆CD的许用应力为
,由强度条件,有
(3)计算夹角
设杆CD的密度为
,则它的重量为
从上式可知,当
时,杆CD的重量W最小。
(注:
本题需要注意的是:
①载荷P在AB上可以任意移动,取最危险的工作状况(工况);②杆的重量最轻,即体积最小。
)
2.34题图2.34所示结构,AB为刚性梁,1杆横截面面积A1=1cm2,2杆A2=2cm2,a=1m,两杆的长度相同,E=200GPa,许用应力[σt]=160MPa,[σb]=100MPa,试确定许可载荷[P]。
题图2.34
解:
(1)计算杆的轴力
以刚性杆AB为研究对象,如下图所示。
,
即:
(1)
该问题为一次静不定,需要补充一个方程。
(2)变形协调条件
如上图所示,变形协调关系为
2Δl1=Δl2
(2)
(3)计算杆的变形
由胡克定理,有
;
代入式
(2)得:
即:
(3)
(4)计算载荷与内力之间关系
由式
(1)和(3),解得:
(4)
或
(5)
(5)计算许可载荷
如果由许用压应力[σb]决定许可载荷,有:
如果由许用拉应力[σt]决定许可载荷,有:
比较两个许可载荷,取较小的值,即
(注:
本题需要比较由杆1和杆2决定的许可载荷,取较小的一个值,即整个结构中,最薄弱的部位决定整个结构的许可载荷。
)
2.42题图2.42所示正方形结构,四周边用铝杆(Ea=70GPa,αa=21.6×10-6℃-1);对角线是钢丝(Es=70GPa,αs=21.6×10-6℃-1),铝杆和钢丝的横截面面积之比为2:
1。
若温度升高ΔT=45℃时,试求钢丝内的应力。
题图2.42
解:
(1)利用对称条件对结构进行简化
由于结构具有横向和纵向对称性,取原结构的1/4作为研究的结构如下图所示,
(2)计算各杆的轴力
以A点为研究对象,如右图所示,由平衡方程可得
,
即:
①
(3)变形协调关系
如上图所示,铝杆与钢丝的变形协调关系为:
②
钢丝的伸长量为:
(设钢丝的截面积为A)
③
铝杆的伸长量为:
④
由①②③④式,可解得:
(4)计算钢丝的应力
3.8题图3.8所示夹剪,销钉B的直径d=5mm,销钉与被剪钢丝的材料相同,剪切极限应力
=200Mpa,销钉的安全系数n=4,试求在C处能剪断多大直径的钢丝。
解:
设B,C两点受力分别为
。
剪切许用应力为:
=50Mpa
对B点,有力矩和为零可知:
=0,即:
=4P
由力平衡知:
+P=
=
其中:
=
A=12.5
故:
=10
又由强度要求可知:
即:
d
=
=2.24mm
3.11车床的转动光杆装有安全联轴器,当超过一定载荷时,安全销即被剪断。
已知安全销的平均直径为5mm,其剪切强度极限
=370Mpa,求安全联轴器所能传递的力偶矩m.
解:
设安全销承受的最大力为,则:
F=
那么安全联轴器所能传递的力偶矩为:
m=F
D
其中
=370Mpa,b=5mm,D=20mm,
代入数据得:
力偶矩m=145.2
4.7求题图4.7中各个图形对形心轴z的惯性矩
。
解:
(1)对I部分:
=
=
+
A=
+
20
80
=287.57
对II部分:
=
=
+
A=
+
20
120
=476.11
所以:
=
+
=763.73
(2)
对完整的矩形:
=
=
=8000
对两个圆:
=2
=2
=653.12
所以:
=
=7346.88
4.9题图4.9所示薄圆环的平均半径为r,厚度为t(r
t).试证薄圆环对任意直径的惯性矩为I=
,对圆心的极惯性矩
=2
。
解:
(1)设设圆心在原点,由于是圆环,故惯性矩对任意一直径相等,为:
I=
其中
=
所以:
I=
=
r
t
I=
=
(2)由一知:
极惯性矩
=2I=2
5.7
(1)用截面法分别求题图5.7所示各杆的截面1-1,2-2和3-3上的扭矩,并画出扭矩图的转向;
(2)做图示各杆的扭矩图
解:
(1)
=
=-2
,
=3
(2)
=-20
,
=-10
,
=20
5.11一阶梯形圆轴如题图5.11所示。
已知轮B输入的功率
=45kW,轮A和轮C输出的功率分别为
=30Kw,
=15kW;轴的转速n=240r/min,
=60mm,
=40mm;许用扭转角
=2
,材料的
=50Mpa,G=80Gpa.试校核轴的强度和刚度。
解:
(1)设AB,BC段承受的力矩为
.计算外力偶矩:
=
=1193.6
=
=596.8
那么AB,BC段的扭矩分别为:
=
=—1193.6
.=
=596.8
(2)检查强度要求
圆轴扭转的强度条件为:
可知:
(其中
,
=60mm,
=40mm)
代入
和
得:
=28.2Mpa,
=47.5Mpa
故:
=47.5Mpa
(3)检查强度要求
圆轴扭转的刚度条件式为:
所以:
=
=0.67
m
=
=1.7
m
故:
=1.7
m
5.13题图5.13所示,汽车驾驶盘的直径为520mm,驾驶员作用于盘上的力P=300N,转向轴的材料的许用剪应力
=60Mpa。
试设计实心转向轴的直径。
若改用
=
=0.8的空心轴,则空心轴的内径和外径各位多大?
并比较两者的重量。
解:
(1)当为实心转向轴时
外力偶矩m=
=156
则扭矩T=156
圆轴扭转的强度条件为:
可知:
(其中
)
=23.6
(2)当改为
=0.8的空心轴时
圆轴扭转的强度条件为:
可知:
(其中
)
D
28.2mmd
22.6mm
故:
空心轴D=28.2mm,d=22.6mm
(3)实心轴与空心轴的质量之比就应该是两者的横截面积之比,即:
=0.514
5.16题图5.16所示钻探机钻杆的外径D=60mm,内径d=50mm,钻入的深度l=40m;A端输入的功率
=15Kw,转速n=180r/min,B端钻头所受的扭转力矩
=300
;材料的
=40MPa,G=80GPa,假设土壤对钻杆的阻力沿杆长度均匀分布,试求:
(1)单位长度上土壤对钻杆的阻力距m。
(2)作钻杆的扭矩图,并校核其扭转强度。
(3)A,B两端截面的相对扭转角。
解:
(1)钻探机A端的偶矩为:
=9549
=795.75
那么单位长度的阻力矩为:
m=
=12.4N/m
(2)圆轴扭转的强度条件为:
得:
(其中
)
40MPa
所以满足强度要求
(3)由两截面之间的相对转角为:
其中
=1.59
所以:
=
=0.416rad
A,B两端截面的相对扭转角为0.416rad
6.6求题图6.6中各梁的剪力方程和弯矩方程,作剪力图和弯矩图,并求
|Q|max和|M|max。
b)
解:
支座反力:
XB=0,YB=P=200N,MB=950N,
剪力方程:
Q(x)=-200N.
弯矩方程:
AC段:
M(x)=-PX=-200X1(0
X
2m);
CB段:
M(x)=-PX-M0=-(200X+150)(2m
X2
4m)
因此:
|Q|max=200N;
|M|max=950N·m
(f)