全等三角形提高题.docx
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全等三角形提高题
全等三角形提高题
1、CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E、F在射线CD上,①如图1,若∠BCA=90º,∠α=90º,则BE________CF;②如图2,若0º<∠BCA<180º,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件________,使①中的结论仍然成立,并说明理由.
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF、BE、AF三条线段数量关系的合理猜想:
________________.
2、如图,已知△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,点D为AB的中点。
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向点C运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动。
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
3、(2009定西)如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=()
A.2B.3C.2
D.2
4、【类似题】如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=3,BC=5,将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE,连结AE,则△ADE的面积是()
A.1B.2C.3D.4
5、【经典】如图,以△ABC的边AB、AC为边向形外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE,O为DE的中点,OA的延长线交BC于点H。
求证:
OA⊥BC。
◆需要用到平行四边形
6、★★如图,已知:
△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,AE=BD,连结EC、ED,试说明CE=DE。
7、★★★如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.
(1)试说明:
△COD是等边三角形;
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:
当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?
8、【典型例题】如图,△ABD、△AEC都是等边三角形,求证:
BE=DC。
拓展探究
结论1:
∠DOB=60°。
结论2:
当AB、AC的夹角∠BAC不断变化时,EB、CD的夹角∠BOC保持不变,即∠BOC=120°不变。
结论3:
若CD边上的高为AF,BE边上的高为AH,则AF=AH。
结论4:
若CD边上的中线为AF,BE边上的中线为AH,AF=AH。
结论5:
OA是∠DOE的平分线。
结论6:
若∠BAC=60°,则①△AMN为等边三角形;②MN∥DE。
9、【类似题】(2008荷泽)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ。
以下五个结论:
①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_________________(把你认为正确的序号都填上)。
1
0、【类似题】(2008沈阳)已知:
如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE、CD,M、N分别为BE、CD的中点.
(1)求证:
①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;
(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出
(1)中的两个结论是否仍然成立。
(3)在
(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:
△PBD∽△AMN。
11、【类似题】四边形ABCD中,AC⊥BD于点O,AC=BD,BE⊥CD于点E,交AC于点F,BF=CD,连接DF。
(1)AD与DF是什么关系?
(2)上述述问题中若AC、BD保持相等、垂直关系不变,但不相交,上述结论还成立吗?
为什么?
12、如图,D是等边△ABC内一点,且BD=AD,BP=AB,∠DBP=∠DBC,问∠BPD的度数是否一定的,若是,求出它的度数,若不是,说明理由。
13、(2008无锡)已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm,一个内角为40°.
(1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形;
(2)你是否还能画出既满足题设条件,又与
(1)中所画的三角形不全等的三角形?
若能,请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形;若不能,请说明理由.
(3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm,一个内角为40°”,那么满足这一条件,且彼此不全等的三角形共有个.
友情提醒:
请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度,“尺规作图”不要求写作法,但要保留作图痕迹.
14、(2010西宁)八
(1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图)。
设计了如下方案:
(Ⅰ)∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线。
(Ⅱ)∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线。
(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行?
若可行,请证明;若不可行,请说明理由。
(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?
请说明理由。
15、★★★下列四个判断:
(1)有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;
(2)有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等;(3)三角形6个边、角元素中,有5个元素分别相等的两个三角形全等;(4)一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等。
上述判断是否正确?
若正确,说明理由;若不正确,请举出反例。
16、★★★在等边△ABC中,∠EBC=∠DCB=30°。
(1)求证:
DB=EC;
(2)将点A移到点F处,使∠F=∠A,连结BF交CD于点G,连结CF交BE延长线于H,求证:
BG=CH;
(3)若∠F不为60°,且∠OBC=∠OCB=
∠F时,BG=CH成立吗?
为什么?
17、★★★如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=45°,AD、CF分别是BC、AB边上的高,且相交于点P,∠ABC的角平分线BE分别交AD、CF于M、N,试找出图中所有的等腰三角形,并简述理由。
18、(2008建设兵团)如图,在△ABC中,∠C=2∠B,AD是△ABC的角平分线,∠1=∠B.求证:
AB=AC+CD.
19、如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD是∠BAC的平分线,那么AC与AB+BD相等吗?
为什么?
20、【经典】如图,△ABC中,∠BAC>90º,AD是高,点P、Q、R分别在AB、BC、AC上,求证:
△PQR的周长>2AD。
(提示:
可将△ABC绕点A旋转180º到△AB′C′)。