高中数学三视图技巧.docx

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高中数学三视图技巧

篇一:

三视图还原技巧

核心内容:

三视图的长度特征——“长对齐，宽相等，高平齐”，即正视图和左视图一样高，正视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽。

还原三步骤:

（1）先画正方体或长方体，在正方体或长方体地面上截取出俯视图形状;

（2）依据正视图和左视图有无垂直关系和节点，确定并画出刚刚截取出的俯视图中各节点处垂直拉升的线条（剔除其中无需垂直拉升的节点，不能确定的先垂直拉升），由高平齐确定其长短;

（3）将垂直拉升线段的端点和正视图、左视图的节点及俯视图各个节点连线，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体。

方法展示

（1）将如图所示的三视图还原成几何体。

还原步骤:

依据俯视图，在长方体地面初绘ABCDE如图;

依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C、D处不可能有垂直拉升的线条，而在E处必有垂直拉升的线条ES，由正视图和侧视图中高度，确定点S的位置;如图

将点S与点ABCD分别连接，隐去所有的辅助线条，便可得到还原的几何体S-ABCD如图所示:

经典题型:

例题1:

若某几何体的三视图，如图所示，则此几何体的体积等于（）cm3。

解答:

（24）

例题2:

一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）

答案:

21+

计算过程:

步骤如下:

第一步:

在正方体底面初绘制ABCDEFMN如图;

第二步:

依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出节点E、F、M、N处不可能有垂直拉升的线条，而在点A、B、C、D处皆有垂直拉升的线条，由正视图和左视图中高度及节点确定点G,G',B',D',E',F'地位置如图;

第三步:

由三视图中线条的虚实，将点G与点E、F分别连接，将G'与点E'、F'分别连接，隐去所有的辅助线便可得到还原的几何体，如图所示。

例题3:

如图所示，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（）

答案:

（6）

还原图形方法一:

若由主视图引发，具体步骤如下:

（1）依据主视图，在长方体后侧面初绘ABCM如图:

（2）依据俯视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C出不可能有垂直向前拉升的线条，而在M出必有垂直向前拉升的线条MD，由俯视图和侧视图中长度，确定点D的位置如图:

（3）将点D与A、B、C分别连接，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体D—ABC如图所示:

解:

置于棱长为4个单位的正方体中研究，该几何体为四面体D—ABC，且AB=BC=4，AC=42,DB=DC=2,可得DA=6.故最长的棱长为6.

方法2

若由左视图引发，具体步骤如下:

（1）依据左视图，在长方体右侧面初绘BCD如图:

（2）依据正视图和俯视图中显示的垂直关系，判断出在节点C、D处不可能有垂直向前拉升的线条，而在B处，必有垂直向左拉升的线条BA，由俯视图和左视图的长度，确定点A的位置，如图:

（3）将点A与点B、C、D分别连接，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体D—ABC如图:

方法3:

由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为4，所以我们可以用一个正方体做载体还原:

（1）根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段，用红线表示。

如图，也就是说正视图的四个顶点必定是由原图中红线上的点投影而成;

（2）左视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用蓝线表示，如图;

篇二:

最新高考数学解题技巧大揭秘专题12三视图及空间几何体的计算问题

专题十二三视图及空间几何体的计算问题

1（一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）（A（球

B（三棱锥D（圆柱

C（正方体

答案:

D[球的三视图都是圆;三棱锥的三视图可以都是

全等的三角形;正方体的三视图都是正方形;圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故应选D.]

2（某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）（

A（28，5

B（30，65D（60，125

C（56，5

答案:

B[该三棱锥的直观图，如图所示，

其中侧面PAC?

底面ABC，PD?

AC，AC?

BC，可得BC?

平面PAC，从而BC?

PC.

111

故S?

PAC5×4,10;S?

ABC,×5×4,10;PC,5，所以S?

PBC,×4×5,10;由于PB

222,PD，BD,16，2541，而AB5，441，故?

BAP为等腰三角形，取底边1

AP的中点E，连接BE，则BE?

PA，又AEA,5，所以BE,41,5,6，所以S?

PAB

25×6,5.所以所求三棱锥的表面积为10，10，10，65,30，5.]2

3（已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，?

ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC,2，

则此棱锥的体积为（）（

362

答案:

A[在直角三角形ASC中，AC,1，?

SAC,90?

，SC,2，?

SA4,13;

同理SB,3.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因?

SAC?

SBC，故BD?

SC，13

故SC?

平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因?

SC,30?

，故AD，则?

ABD

221

1×

22122

AD2,?

×2

4346

4（一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________（

解析利用三视图得几何体，再求表面积（由三视图可知，该几何体是一个长方体中间挖去一个圆柱，其中长方体的长、宽、高分别是4、3、1，中间被挖去的是底面半径为1，母线长为1的圆柱，所以几何体的表面积等于长方体的表面

积减去圆柱两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，即为2（4×3，4×1，3×

1）,2π，2π,38.

答案38

在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，

考查空间几何体三视图的识别判断，考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题（试题的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，

尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题（

该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体的三视图和直观图，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法.

必备知识

正棱锥的性质

侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等;棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角

形;侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形（

三视图

（1）三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察

几何体画出的轮廓线（画三视图的基本要求:

正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高（

（2）三视图排列规则:

俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样（

几何体的切接问题

（1）球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长（

（2）柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何问题（

必备方法

1（几何体中计算问题的方法与技巧:

在正棱锥中，正棱锥的高、侧面等腰三角形的斜高与侧棱构成两个直角三角形，有关计算往往与两者相关;?

正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、下底及梯形高的计算，另外，要能将正三棱台、正四棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面图形中联系起来;?

研究圆柱、圆锥、圆台等问题，主要方法是研究其轴截面，各元素之间的关系，数量都可以

在轴截面中得到;?

多面体及旋转体的侧面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段（

2（求体积常见技巧

当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供便利（

（1）几何体的“分割”:

几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之（

（2）几何体的“补形”:

与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等（另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法（

（3）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素

三视图的识图与计算

常考查:

三视图的识别与还原问题;?

以三视图为载体考查空间几何体的表面积、体

积等问题（主要考查学生的空间想象能力及运算能力，是近几年高考的热点（

【例1】?

已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出

的尺寸（单位:

cm），可得这个几何体的体积是（）（

4000cm3

38000cm3

3C（2000cm3D（4000cm3[审题视点][听课记录]

[审题视点]画出直观图后求解（

B[此几何体的图为SABCD，且平面SCD?

平面ABCD，ABCD为正方形，边长为20cm，18000S在底面的射影为CD的中点E，SE,20cm，VSABCD,?

ABCD?

SEcm3.故选

B.]

解答此类题目时:

（1）可以从熟知的某一视图出发，想象出直观图，再验证其他视图是否正确;

（2）视图中标注的长度在直观图中代表什么，要分辨清楚;（3）视图之间的数量关系:

正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等（【突破训练1】

如图是一个几何体的三视图（若它的体积是3，则a,________.

解析由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a，1?

V,3×?

22×a?

33?

a3.

答案

几何体的表面积与体积

此类问题常以三视图、空间几何体、组合体为载体，来求解几何体的表面积或体积，试题以客观题为主，多为容易题（

【例2】?

如图所示，

四棱锥PABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，?

ABD,60?

，?

BDC,45?

，?

ADP?

BAD.

（1）求线段PD的长;

（2）若PC,11R，求三棱锥P-ABC的体积（[审题视点][听课记录]

[审题视点]

（1）利用BD是圆的直径可知?

BAD,90?

，再利用?

ADP?

BAD求解（1

（2）先通过计算证明PD2，CD2,PC2，则可知PD?

面ABCD，再由S?

ABC?

BCsin?

2ABC.可求解（

解

（1）?

BD是圆的直径，?

BAD,90?

，ADDP又?

ADP?

BAD，?

，

BAAD34R2×

4AD?

BDsin60?

DP,,3R.

BABDsin30?

2R×

DP的长为3R.

（2）在Rt?

BCD中，CD,BDcos45?

2R，?

PD2，CD2,9R2，2R2,11R2,PC2，?

PD?

CD，又?

PDA,90?

，AD?

CD,D，?

PD?

底面ABCD，

篇三:

三视图高考题解题技巧及教学建议

【摘要】对近三年来全国各省市高考题中的三视图问题进行分类整理，探讨三视图高考题的解题技巧及教学建议。

【关键词】三视图高考题解题技巧教学建议

《高中数学课程标准》明确指出:

培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。

为了保证学生的空间想象能力得到有效的培养，新教材关于立体几何部分新增了平行投影、中心投影、三视图等内容。

自此，三视图问题在各省市近年的数学高考题中频频出现。

经过对各省市三年来的三视图高考题的比较研究，笔者发现三视图高考题大致可分为三种题型，并从中精选了一些三视图高考题。

基于此，本文从三种题型出发，探讨三视图高考题的解题技巧及教学建议。

一、虚线在三视图中的重要作用

（2012?

湖南卷理科第3题）某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（）

简要解答:

本小题选D，主要考察虚线在三视图中的应用。

因为D答案中的几何体上方的三棱柱的正视图与侧视图并不相同，其正视图应如图2。

教学建议:

尽管学生在初中时期就已经接触到了关于三视图的一些知识，如正视图、侧视图、俯视图的相对位置等，但是，初中阶段的数学课程标准只要求学生能画出或判断出几何体三视图的形状即可，对