公开阅读数学考试大纲解读及高考备考建议.docx

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公开阅读数学考试大纲解读及高考备考建议

2012年全国高考模拟参考部分

2007年数学《考试大纲》解读及高考备考建议

成都玉林中学张平福

成都八中刘启平

第一讲2007年数学《考试大纲》三大关注点

一、试卷结构：

今年数学《考试大纲》总体保持平稳，并在平稳过渡中求试题创新.

1、在2007年《考试大纲的说明》中重新界定了选择题、填空题、解答题的比例：

40%、10%和50%.

2、试题难度更加适合中学教学实际和现代中学生的实际水平.2007年数学《考试大纲》对易、中、难题比例有了更明确的规定，以容易题、中档题为试题主体，较难题只占30%，中低档题不低于70%.在《考试大纲的说明》中指出：

“试卷中易、中、难题的比例为3∶5∶2比较合适，各种题型中易、中、难题的比例分别为为选择题3∶2∶1，填空题2∶1∶1，解答题中档题和难题的比例为1∶1”.

3、2007年数学《考试大纲》将适当加大文理卷的差异度，力求文理科学生成绩平衡.2007年《考试大纲的说明》指出：

“在设计文科试卷的难度时，首先考虑的时中学教学的基本要求，同时适当考虑使用试卷的省份的考生水平.……一方面要使按文科要求学习的考生能够动手做题，同时又应使高水平的考生充分发挥其聪明才智的空间.因此应适当拉大试题难度的分布区间，试题难度的起点应降低，而试题难度终点应与理科相同”.

二、2007年数学《考试大纲》有几个知识点的要求有所降低.

1、在三角函数部分，将考试要求中的“

（1）理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算”改为“

（1）了解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算”.

2、在三角函数部分，将考试要求中的“

（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义”改为“

（2）理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义”.

3、在9（A）和9（B）直线、平面、简单几何体部分：

将考试要求中的“

（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图.能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想象它们的位置关系”改为“

（1）理解平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图.能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想象它们的位置关系”.

相关专家认为，三角函数本来的要求就是强调其工具性，因此没有必要搞得很深；而对于立体几何近两年出现趋难形势，也是没有必要的，降低知识点的要求也是顺理成章的.

三、2007年数学《考试大纲》进一步向新课标考试大纲靠拢.

1、新大纲在考试要求方面要求对“将知识、能力与素质的考查融为一体”更明确地表达出来.2007年数学《考试大纲》：

数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意的指导思想，将知识、能力与素质的考查融为一体，全面检测学生的数学素养.

2007年数学《考试大纲的说明》：

…数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，测试中学数学基础知识、基本技能、基本思想和方法，考察思维能力、运算能力、空间想象能力以及运用所学数学知识和方法分析、解决实际问题的能力.……在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考场，在强调综合型的同时，重视试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次考查.

2、新大纲在知识要求方面不仅仅要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，还要求对所列知识的相关背景有初步的、感性的认识，对学生数学素养考查有所提高；

3、新大纲在“开放探索，考查探究精神，开拓展现创新意识的空间”.

（1）高考命题创新：

“高考试题的创新，既要体现在情景上，更要体现在思维价值水平上”.“命题要求立意新、情景新、思维价值高”.

（2）“在考查创新能力的过程中，一方面要积极探索，大胆实践，同时应进一步研究试题的稳定性与创新性的关系，处理好试题创新与试题难度的关系，体现出新题不难、难题不怪的特点”.

第二讲解读2007年数学《考试大纲》

一、关于命题原则的说明

普通高等学校招生数学科的考试，按照“考查基础知的同时，注重考查能力”的原则，，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，重视试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，形成了“立意鲜明，背景新颖，设问灵活，层次清晰”的新特色，有利于大学创新人才的选拔和中学素质教育的实施.

1．强化主干知识，从学科整体意义上设计试题

重点知识是支撑学科知识体系的主要内容，考查时要保持较高的比例，并达到必要的深度，构成数学试题的主体，重点知识重点考查，如函数等重点内容在选择题、解答题中都予以重点考查，显示出重点知识在试卷中的突出位置.

知识的整体性是切实掌握数学知识的重要标志，高考命题总是从学科整体意义的高度去考虑问题，以检验考生能否形成一个有序的网络化的知识体系，并从中提取相关的信息，有效、灵活地解决问题，知识的综合性则是从学科的整体高度考虑问题，在知识网络的交汇点设计试题.学科的内在联系，包括各部分知识在各自发展过程中的纵向联系以及各部分知识之间的横向联系，对数学知识的考查要求全面，但不刻意追求知识点的百分比、知识内容的覆盖面，而是强调试题的综合性，注重学科的内在联系和知识的综合.

成都市2007年二诊理12：

已知点F1、F2为双曲线

的左右焦点，P为右支上的一点，点P到右准线的距离为d，若

、

、d依次成等差数列，则此双曲线的离心率的取值范围是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

解析：

作为成都市二诊选择题的压轴题，应该说本题难度较大，对考生思维能力及对知识的整体性和综合性把握要求比较高.本题要求灵活运用双曲线的第一定义和第二定义、数形结合的思想以及函数与方程的思想.

由已知：

两边同除以

，由双曲线第二定义有：

①，

可知

是关于

的减函数.

注意到

，排除C、D；

当

时

最大，代入①并化简得：

，计算知选A.

2．淡化特殊技巧，强调数学思想和方法

数学思想方法属方法范畴，但更多地带有思想、观点的属性，属于较高层次的提炼与概括，在中学教学与高考考查中，共识的数学思想有：

函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想，数学基本方法有：

待定系数法，换元法，配方法，割补法，反证法等，它们是数学通法的主体，数学逻辑方法或思维方法有：

分析与综合，归纳与演绎，比较与类比，具体与抽象等，它们是数学考查中理解、思考、分析与解决问题的普通方法.

3.深化以能力立意，空出考查能力与素质的导向

数学科命题突出以能力立意，考查思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识，是由数学科本身特点决定的，在考查中以思维能力为考查重点.

成都市2007年二诊理8：

若函数

的导函数为

，则函数

的单调递减区间是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

解析：

这是错误率较高的一个题.不少学生对试题提供的信息进行分捡、组合、加工的能力比较差，不能合理利用条件“函数

的导函数为

”，错把关注点放在

的解析式上，从思路上走进死胡同.事实上，从结论来看，要求函数

的单调递减区间，只需求出

的增区间即可，由条件“函数

的导函数为

”知

的增区间为

，由

得

知选C.

高考在设计试题时，注意研究试题的能力层次要求，设计出不同解题思想层次的试题，使善于知识迁移和运用思维块简缩思维的考生能用敏捷的思维赢得时间，体现其创造能力，有明显的思维层次要求.

4．坚持数学应用，考查应用意识

从1993年开始，数学科逐步加强了数学应用的考查，应用题的主要特点是，密切结合教材，考查数学的重点知识；贴近生活，密切联系生活的实际.新课程的试卷，突出新增加的向量、概率、导数和微积分等知识的应用性，反映出中学课程新增加的数学内容在解决实际问题中的重要作用.命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则.

5．开放探索，考查探究精神，开拓展现创新意识的空间

高考试题的创新，既要体现在情境上，更要体现在思维价值水平上，力图考出学生的能力和创新意识，这样的试题是给学生提供了充分展示能力的空间，而不是限制在狭小的范围内考查学生的能力，“展示”与“考查”是完全不同的评价理念，强调“考查”，学生往往被限制在一种能力的某一特定的范围内，被动地进行.

6.体现要求层次，控制试卷难度

（1）整卷难度控制在0.55左右.

（2）恰当控制试题试卷中各个试题的难度，一般在0.2~0.8之间.

（3）在每种题型中都编拟一些较易试题，使大部分考生都能得到一定的基本分，并在每种题型中编拟一些有一定难度的试题，从而实现选拔的目的.

二、关于考查要求的说明

1.数学基础知识

（1）函数和导数

函数和导数的内容在高考试卷中所占的比例较大，是高考考查的重点，每年都有题目考查，具有较强的可操作性，难度适中.在高中阶段对函数教学内容的学习划分为三个阶段，并不断深化，第一阶段，主要学习函数的概念、函数的图像与性质，以指数函数和对数函数为例，重点学习反函数的和函数的关系、函数的单调性；第二阶段，是以三类三角函数为例，学习函数的奇偶性和周期性；第三阶段，则是在学习函数极限、函数连续性的基础上，重点学习函数的导数，最终落实在导数的应用，由此给出了研究函数性质的一种新方法，即使用导数的方法研究函数的单调性、极大（小）值和最大（小）值.高考对函数内容的考查是考查能力的重要素材，一般考查能力的试题都是以函数为基础编制的，与导数相结合，发挥导数据的工具作用，应用导数研究函数的性质，应用函数的单调性证明不等式，体现出新的综合热点.

函数与导数的解答题在文、理两卷中往往分别命制.文科卷中函数与导数的解答题，其解析式只能选用多项式函数；而理科卷则可在指数函数、对数函数以及三角函数中选取.在选择题和填空题中更多地涉及函数图像、反函数、函数的奇偶性、函数的极限、函数的连续性和导数的几何意义等重点内容.在考查时往往不是简单地考查公式的应用，而是与数学思想方法相结合，突出考查函数与方程的思想、有限与无限的思想，体现以能力立意的命题原则.

（2）数列

虽然在《教学大纲》中只有12课时，但高考历来把数列当作重要的内容来考查，对这部分的要求达到相应的深度，题目有适当的难度和一定的综合程度.高考试卷的数列试题中，有的是从等差数列或等比数列入手构造新的数列，有的是从比较抽象的数列入手，给定数列的一些性质，要求考生进行严格的逻辑推证，找到数列的通项公式，或证明数列的其他一些性质.在这里也有一些等差数列或等比数列的公式可以应用，但更多的是应用数列的一般的性质，如

等.

高考在考查数列内容时考虑到文、理科考生在能力上有差异，一般命制不同的试题进行考查.理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主；而文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以等关数列、等比数列为主，以具体思维、演绎思维为主.

（3）不等式

在高考试题中，对不等式内容的考查包括不等式的性质、解简单的不等式以及平均值定理的应用等.以选择题、填空题形式考查解不等式，不仅仅考查解不等式时经常使用的同解变形的代数方法，更突出了体现数形结合的思想以及特殊化的思想.对使用平均值定理求最值的考查要求有所降低，突出常规方法，淡化了特殊技巧.以解答题的形式对不等式内容的考查，往往不是单一考查，而是与其他知识内容相综合，有较多的方法和较高的能力要求，尤其是理科试卷，不等式的往往与函数、导数、数列的内容综合，属于在知识网络的交汇处设计的试题，有一定的综合性和难度，突出体现对理性思维的考查.解不等式的应用往往以求取值范围的设问方式呈现，通过相关知识，转化为解不等式或不等式组的问题，并且往往含有参数，也有一定的综合性和难度.

（4）三角函数

在高考中把三角函数作为函数的一种，突出考查它的图像与性质，尤其是形如

的函数图像与性质，对三角公式和三角变形的考查或与三角函数的图像与性质相结合，或直接化简求值，更重要的是以三角变形公式为素材，重点考查相关的数学思想和方法，主要是议程的思想和换元法.特别值得注意的是，新增内容和平面向量、极限与导数，它们在新教材中的工具性作用替代了三角函数在原教材中的工具性作用，三角函数的工具性作用有所减弱.

（5）立体几何

在立体几何中引入空间向量以后，很多问题都可以用向量的方法解决，由于应用空间向量的方法，可以通过建立空间坐标系，将几何元素之间的关系数量化，进而通过计算解决求解、证明的问题，空间向量更显现出解题的优势.

多面体的内容在小学和初中都学习过，也学过相关几何体体积的计算，因此，在高考试题中出现多面体体积的计算应属于正常范围.

（6）解析几何

解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点和性质，因此，在解题的过程中计算占了很大的比例，对运算能力有较高的要求，解析几何试题除考查概念与定义、基本元素与基本关系外，还突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想、特殊与一般的思想等思想方法.由于新教材中增加了平面向量的内容，以坐标为桥梁，使向量的有关运算与解析几何的坐标运算产生关系，便可以以向量及其有关运算为工具，来研究解决解析几何中的有关问题，主要是直线平行、垂直、点的共线、定比分点以及平移等，为实现在知识网络的交汇处设计试题提供了良好的素材.

（7）概率与统计

根据中学数学《教学大纲》的要求，有关概率与统计的内容在新课程中分为必修和选修两部分，其中必修部分包括：

随机事件的概率，等可能事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件的概率，独立重复试验等，在选修部分分为文科、理科两种要求，选修Ⅰ为文科的要求，选修Ⅱ为理科的要求.

在高考试卷中，概率和统计的内容每年都有所涉及，以必修概率内容为主，不过随着对内容的深入考查，理科的解答题也会设计包括离散型随机变量的分布列与期望为主的概率与统计综合试题，概率与统计的引入拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算等内容都是考查实践能力的良好素材.

由于中学数学中所学习的概率与统计内容是这一数学分支中最基础的内容，考虑到教学实际和学生的生活实际，高考对这部分内容的考查贴近学生生活，注重考查基础和基本方法.

2．数学思想方法

（1）函数与方程的思想

函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题、研究问题和解决问题.函数思想贯穿于高中代数的全部内容，它是在学习指数函数、对数函数以及三角函数的过程中逐渐形成，并为研究这些函数服务的，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，函数思想也起着十分重要的作用.

所谓方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础.

函数与方程、不等式是通过函数值等于零、大于零或小于零而相互关联的，它们之间既有区别又有联系.函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想.

（2）数形结合的思想

在一维空间，实数与数轴上的点建立了一一对立的关系，在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立了一一对应的关系，进而可以使函数解析式与函数图像、方程与曲线建立起一一对应的关系，使数量关系的研究可以转化为图形性质的研究，反之也可以使图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决数学问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，即是数形结合的思想.

在使用过程中，由“形”与“数”的转化，往往比较明显，而由“数”与“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”与“形”的转化.

在高考中，充分利用选择题和填空题型特点（由于这两类题型只需写出结果而无需写出解答过程），为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不是提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由“形”与“数”的转化为主.

（3）分类与整合的思想

高考将对分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，并以解答为主进行考查，考查时要求考生理解什么样的问题需要分类研究，为什么要分类，如何分类，以及分类后如何研究，最后如何整合，考查中经常对含有字母参数的数学问题进行分类与整合的研究，由此重点考查考生思维的严谨性与周密性.

（4）化归与转化的思想

所谓化归与转化的思想是指在研究数学解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，一般情况下，总是将复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题转化为较容易求解的的问题，将未解决的问题化为已解决的问题，等等，

高考十分重视对化归和转化思想的考查，要求考生熟悉数学变换的思想，有意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题，高考中重点考查一些常用的变换方法，如一般与特殊的转化，繁与简的转化，构造转化，命题的等价转化，等等.

（5）特殊与一般的思想

由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程，就是数学研究中的特殊与一般的思想.在数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想方法的集中体现，既然它是教学中经常使用的数学思想方法，那么也必然成为高考考查的重点.在高考中，会有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的试题，如归纳、猜想、类比、特例等.随着新教材的全面实施，高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般的思想必然成为今后命题改革的方向.

（6）有限与无限的思想

无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想.

高考中对有限与无限思想的考查才刚刚起步，并且往往是在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限的思想，例如，在使用由特殊到一般的归纳思想时，含有有限与无限的思想；在使用数学归纳法证明时，解决的是无限的问题，体现的是有限与无限的思想，等等，随着高中课程的改革，对新增内容的考查在逐步深入，必将加强对有限与无限思想的考查，设计出重点体现有限与无限思想的新颖试题.

（7）或然与必然的思想

概率研究的是随机现象，研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这其中所体现的数学思想就是或然与必然的思想.

随着新教材的实施，高考中对概率内容的考查已放在了重要的位置，通过对教学中所学习的等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验恰有k次发生的概率、随机事件的分布列与数学期望等重点内容的考查，在考查考生基本概念与基本方法的同时，考查在解决实际应用问题中或然与必然的辩证关系，体现或然与必然的数学思想.

3、数学能力

试题包括立意、情境和设问三个方面.数学科根据以能力立意命题的指导思想，把具有发展能力价值、富有发展潜力、再生性强的能力、方法和知识作为切入点，从测量学生的发展性学力和创造性学力着手，突出能力考查.

（1）思维能力

思维能力表现为：

会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用类比、归纳和演绎进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述.

数学是思维的体操，思维能力是数学学科能力的核心，数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体.

①演绎推理.演绎推理能力是从定义、定理出发进行分析、推理、论证的能力，其重点是三段论推理，高考对逻辑思维能力的考查主要体现在对演绎推理的考查上，试卷中考查演绎推理的试题比较大，既使用选择题、填空题的形式进行考查，更考虑如何使用解答题型，以证明题的形式重点进行考查.

②归纳推理.归纳的方法是获得数学结论的一条重要的途径，运用不完全归纳法通过观察、实验，从特例中归纳出一般结论，形成猜想，然后加以证明，这是数学研究的基本方法之一，是学生应当学习、理解的.归纳推理可分为完全归纳和不完全归纳两种，包括了所有可能情况的归纳称为完全归纳，数学归纳法也是一种完全归纳法，高考对归纳推理的考查是从这两个方面进行的.

③直觉思维与合情推理.直觉思维是指不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质的一种思维方式，在直觉思维过程中，人们以已有的知识为根据，对研究的问题提出合理的猜测和假设.逻辑思维与直觉思维是两种基本的思维形式，逻辑思维在数学中始终占据着主导的地位，而直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具有创造性的成分.在高考命题中，选择题、填空题的题型对考查考生的直觉思维有特别的作用，在设计试题时，往往从多种方法、多个角度来考虑，尽量使试题解答应用多种思考方法，给考生提供较为广阔的思维空间，由于考生在解答时思考的思维方式不同，那么他们解题所花费的时间也必定不同，高考便以解答时间的长短来衡量考生的思维水平，解答正确而所用时间较少的考生，其思维水平较高，在其思维过程中，必定含有直觉思维的因素.

④数学语言.语言是思维的载体，数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言，在数学高考试题中，要求考生能够根据实际情况进行三种形式的语言间的转换，对语言的考查包括两方面的要求：

一是要求考生读懂题目的叙述，把所给的文字和数学符号翻译成数学关系输入大脑，以便于大脑加工.二是要求考生有一定的语言表达能力，能清楚、准确、流畅地表达自己的解题过程，并要求表达合乎条理、层次清楚，合乎逻辑，准确规范地使用名词、术语和数学符号，书写工整、清晰.

（2）运算能力

运算能力表现为：

会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.

运算能力是思维能力和运算技能的结合，运算包括对数值的计算估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等，运算能力包括分析运算条件、控究运算方向，选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.

对运算能力的考查不仅包括对数的运算，还包括对式的运算，兼顾对算理和逻辑推理的考查，对考生运算能力的考查主要是以含字母的式的运算为主，包括数值的计算、代数式和某些超越式的恒等变形、集合的运算、解方程与不等式、三角恒等变形、数列极限的计算、求导运算、概率计算、向量运算和几何图形中的计算等，运算结果具有存在性、确定性和最简性.

①运算的合理性.

②运算的准确性.

③运算的熟练性.

④运算的简捷性，

（3）空间想象能力

空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，数学科高考对空间想象能力提出了三方面的要求：

能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.

空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力，识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志.

自从中学数学引入向量内容以后