动力学中的图象问题.docx

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动力学中的图象问题

动力学中的图象问题、临界问题牛顿运动定律的适用范围·典型例题解析

【例1】如图25－1所示，木块A、B静止叠放在光滑水平面上，A的质量为m，B的质量为2m．现施水平力F拉B，A、B刚好不发生相对滑动，一起沿水平面运动．若改用水平力F′拉A，使A、B也保持相对静止，一起沿水平面运动，则F′不得超过

[]

A．2FB．F/2C．3F　　　D．F/3

解析：

水平力F拉B时，A、B刚好不发生相对滑动，这实际上是将要滑动，但尚未滑动的一种临界状态，从而可知此时的A、B间的摩擦力即为最大静摩擦力．

先用整体法考虑，对A、B整体：

F＝（m＋2m）a：

再将A隔离可得A、B间最大静摩擦力：

fm＝ma＝F/3；

若将F′作用在A上，隔离B可得：

B能与A一起运动，而A、B不发生相对滑动的最大加速度：

a′＝fm/2m；再用整体法考虑，对A、B整体：

F′＝（m＋2m）a′＝F/2因而正确选项为B．

点拨：

“刚好不发生相对滑动”是摩擦力发生突变（由静摩擦力突变为滑动摩擦力）的临界状态．由此求得的最大静摩擦力正是求解此题的突破口．

【例2】在光滑的水平面上，一个质量为0.2kg的物体在1.0N的水平力作用下由静止开始做匀加速直线运动，2.0s后将此力换为方向相反、大小仍为1.0N的力，再过2.0s将力的方向再换过来……，这样，物体受到的力的大小虽然不变，方向却每过2.0s变换一次，求经过半分钟物体的位移及半分钟末的速度分别为多大？

解析：

在最初2s内物体的加速度为a＝F/m＝1/0.2m/s2＝5m/s2，物体做初速度为零的匀加速直线运动，这2s内的位移为s＝at2/2＝1/2×5×22m＝10m

2s末物体的速度为v＝at＝5×2m/s＝10m/s

2s末力的方向改变了，但大小没变，加速度大小仍是5m/s2，但方向也改变了，物体做匀减速直线运动．到4s末，物体的速度为vt＝v0－at＝10m/s－5×2m/s＝0

所以，物体在前4s内的位移为s1＋s2＝20m．

可以看出，第二个4s物体将重复第一个4s内的运动情况：

前2s内做初速度为零的匀加速直线运动，后2s内做匀减运动且后2s末的速度为零．依此类推，物体在半分钟内的v－t图线如图25－2所示，物体在半分钟内的位移为s＝7（s1＋s2）＋s1＝7×20m＋10m＝150m，半分钟末物体的速度为10m/s．

点拨：

物体从静止开始，每经过4s，物体的运动状态重复一次．这一特点经过v－t图线的描述，变得一目了然，充分显示了借助于图象解题的优点．

【问题讨论】本题中，若物体在该水平力作用下由静止开始运动，第一次在1.0s后将力换为相反方向，以后，再每经过2.0s改变一次力的方向，则该题的答案又如何？

【例3】用细绳拴着质量为m的重物，从深为H的井底提起重物并竖直向上作直线运动，重物到井口时速度恰为零，已知细绳的最大承受力为T，则用此细绳子提升重物到井口的最短运动时间为多少？

点拨：

（1）由题意可知，“最大”承受力及“最短”作用时间均为本题的临界条件．提重物的作用时间越短，要求重物被提的加速度越大，而细绳的“最大”承受力这一临界条件又对“最短”时间附加了制约条件．显然这两个临界条件正是解题的突破口．

（2）重物上提时的位移一定，这是本题的隐含条件．

（3）开始阶段细绳以最大承受力T上提重物，使其以最大加速度加速上升；紧接着使重物以最大加速度减速上升（绳子松驰，物体竖直上抛），当重物减速为零时恰好到达井口，重物这样运动所需时间为最短．

答案：

【问题讨论】该题还可以借助速度图线分析何种情况下用时最短．

一般而言，物体可经历加速上升、匀速上升和减速上升三个阶段到达井口，其v－t图线如图25－3中的图线①所示；若要时间最短，则应使加速上升和减速上升的加速度均为最大，其v－t图线如图25－3中②所示．

显然在图线与坐标轴围成面积一定的条件下，图线②所需时间最短．

【例4】一个物体在斜面上以一定的速度沿斜面向上运动，斜面底边水平，斜面倾角θ可在0～90°间变化，设物体达到的最大位移x和倾角θ间关系如图25－4所示，试计算θ为多少时x有最小值，最小值为多少？

点拨：

这是一道由图线给出的信息作为已知条件的习题．由图线可知，θ＝90°时，物体竖直上抛，所能达到的最大高度x1＝10m，以此求得上抛的初速度v0；

θ＝0°时，物体在水平面上作匀减速直线运动，最大位移x2＝

当斜面倾角为任意值θ时，物体上滑加速度的大小为：

a＝gsinθ

＋μgcosθ，代入vt2－v02＝2ax讨论求解即可．

答案：

1．如图25－5所示，在粗糙平面上，物体在水平拉力作用下做匀加速直线运动．现使F不断变小，则在滑动过程中

[]

A．物体的加速度不断变小，速度不断增大

B．物体的加速度不断增大，速度不断变小

C．物体的加速度先变大再变小，速度先变小再变大

D．物体的加速度先变小再变大，速度先变大再变小

2．一个物体在水平面上受到恒定的水平力作用，从静止开始运动，经过时间t后撤去外力，物体继续运动，其v－t图线如图25－6所示，则在此过程中，水平拉力和滑动摩擦力的大小之比为F∶f＝________．

3．如图25－7所示，在光滑水平面上挨放着甲、乙两物块．已知m2＝2m1，乙受到水平拉力F2＝2N，甲受到一个随时间变化的水平推力F1＝（9－2t）N作用．当t＝________秒时，甲、乙两物块间开始无相互挤压作用．

4．甲物体由A地出发，从静止开始作加速度为a1的匀加速运动，后作加速度大小为a2的匀减速运动，到B地时恰好停止运动．乙物体由A地出发始终作加速度为a的匀加速运动，已知两个物体从A到B地所用的时间相同，求证：

1/a＝1/a1＋1/a2

（提示：

本题借助图象法求解较为简捷明了．根据习题所描述的物理过程，作出甲、乙两物体的v－t图线，如图25－8所示，再由题意及图线可知甲加速过程的末速度、减速过程的初速度及乙加速运动至B地的末速度相等，均为最大速度vm．由时间关系可知vm/a＝vm/a1＋vm/a2）

参考答案：

1．D2．3∶13．4s4．略

自由落体运动典型例题

　　[例1]从离地500m的空中自由落下一个小球，取g=10m/s2，求：

（1）经过多少时间落到地面；

（2）从开始落下的时刻起，在第1s内的位移、最后1s内的位移；

　　（3）落下一半时间的位移.

　　[分析]由h=500m和运动时间，根据位移公式可直接算出落地时间、第1s内位移和落下一半时间的位移.最后1s内的位移是下落总位移和前（n—1）s下落位移之差.

（2）第1s内的位移：

　　因为从开始运动起前9s内的位移为：

　　所以最后1s内的位移为：

h10=h-h9=500m-405m=95m

（3）落下一半时间即t'=5s，其位移为

　　[说明]根据初速为零的匀加速运动位移的特点，由第1s内的位移h1=5m，可直接用比例关系求出最后1s内的位移，即

h1∶h10=1∶19

∴h10=19h1=19×5m=95m

　　同理，若把下落全程的时间分成相等的两段，则每一段内通过的位移之比：

ht/2∶ht=12∶22=1∶4

　　[例2]一个物体从H高处自由落下，经过最后196m所用的时间是4s，求物体下落H高所用的总时间T和高度H是多少？

取g=9.8m/s2，空气阻力不计.

　　[分析]根据题意画出小球的运动示意图（图1）其中t=4s，h=196m.

　　[解]方法1根据自由落体公式　

　　式

（1）减去式

（2），得　

　　方法2利用匀变速运动平均速度的性质由题意得最后4s内的平均速度为

　　因为在匀变速运动中，某段时间中的平均速度等于中点时刻的速度，所以下落至最后2s时的瞬时速度为

　　由速度公式得下落至最后2s的时间

　　方法3利用v－t图象

　　画出这个物体自由下落的v-t图，如图2所示.开始下落后经时间（T—t）和T后的速度分别为g（T-t）、gT.图线的AB段与t轴间的面积表示在时间t内下落的高度h.。

由

　[例3]气球下挂一重物，以v0=10m/s匀速上升，当到达离地高h=175m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多少时间落到地面？

落地的速度多大？

空气阻力不计，取g=10m/s2.

　　[分析]这里的研究对象是重物，原来它随气球以速度v0匀速上升.绳子突然断裂后，重物不会立即下降，将保持原来的速度做竖直上抛运动，直至最高点后再自由下落.

　　[解]方法1分成上升阶段和下落阶段两过程考虑

　　绳子断裂后重物可继续上升的时间和上升的高度分别为

　　故重物离地面的最大高度为

H=h+h1=175m＋5m=180m.

　　重物从最高处自由下落，落地时间和落地速度分别为

vt=gt2=10×6m/s=60m/s.

所以从绳子突然断裂到重物落地共需时间

t=t1＋t2=1s＋6s=7s.

　　方法2从统一的匀减速运动考虑

　　从绳子断裂开始计时，经时间t最后物体落至抛出点下方，规定初速方向为正方向，则物体在时间t内的位移h=-175m.由位移公式

或t2-2t-35=0，

　　取合理解，得t=7s.

　　所以重物的落地速度为

vt=v0-gt=10m/s-10×7m/s=-60m/s.

　　其负号表示方向向下，与初速方向相反.

　　[说明]从统一的匀减速运动考虑，比分段计算方便得多，只是在应用时，需注意位移、速度等物理量的方向，这个物体从绳子断裂到落地过程中的v-t图如图所示.

　　[例4]如图所示，A、B两棒长均为L=1m，A的下端和B的上端相距s=20m.若A、B同时运动，A做自由落体、B做竖直上抛，初速度v0=40m/s，求：

（1）A、B两棒何时相遇；

（2）从相遇开始到分离所需的时间.

[分析]这里有两个研究对象：

A棒和B棒，同时分别做不同的运动.相遇时两棒位移大小之和等于s.从相遇到分离两棒位移大小之和等于2L.

　　[解]

（1）设经时间t两棒相遇，由

　　得

（2）从相遇开始到两棒分离的过程中，A棒做初速不等于零的匀加速运动，B棒做匀减速运动.设这个“擦肩而过”的时间为△t，由

　　式中

vA=gt，vB=v0-gt.

　　代入后得

　　[说明]上面是从地面参考系所观察到的两个物体的运动情况列式计算的，比较麻烦.在第

（2）小题中，还常容易误认为从相遇开始A棒仍做自由落体运动而造成错误由于竖直上抛运动可以看成一个向上的匀速运动和一个自由落体的合运动，因此，如果以A棒为参照物，即从A棒上去观察B棒，B棒向上做着速度为v0的匀速运动，于是立即可得

（1）两棒相遇时间

（2）两棒从相遇到分离的时间

　　[例6]A、B两球，A从距地面高度为h处自由下落，同时将B球从地面以初速v0竖直上抛，两球沿同一竖直线运动.试求以下两种情况下，B球初速度v0的取值范围：

　　①B球在上升过程中与A球相遇；

　　②B球在下落过程中与A球相遇.

　　[分析]本题考察两个物体两种运动特点，以及它们之间相互联系.解答时对特殊状态——临界点的分析是关键的.解决本题时，画出运动示意图，找准关系，运用规律求解即得.

　　[解]

　　B球做竖直上抛运动（全过程中）：

　　由于AB相遇时时间相等t1=t2=t，且h1+h2=h

t

　　∴t=h/v0

　设B球上升到最大高度时，与球A相遇，如图1，B球上升到最大

　　高度时间为v0/g.由此可知，要使AB在B球上升过程中与A相遇，只要v0/g≥t即可.

　　B球就会在上升时与A球相遇

，

，如图2

　　是AB还能相遇的最小速度，所以要满足在下落中相遇，需满足

　　[说明]

（1）本题要建立时间和位移关系，同时，根据题设条件.寻找临界点，本题的临界点在B球上，即B球达最大高度和B球落地时，建立速度与时间的关系.

（2）值得说明的是，复杂的运动很难在分析时建立物理图景，办法是对每个物体运动过程仔细分析以后，据各自运动特点建立联系.