随机信号分析实验.docx
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随机信号分析实验
实验一随机序列的产生及数字特征估计
一、实验目的
1、学习和掌握随机数的产生方法；
2、实现随机序列的数字特征估计。
二、实验原理
1.随机数的产生
随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。
进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
（0，1）均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
（0，1）均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即U（0，1）。
实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生（0，1）均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：
（1.1）
序列
为产生的（0，1）均匀分布随机数。
下面给出了上式的3组常用参数：
（1）
；
（2）（IBM随机数发生器）
；
（3）（ran0）
；
由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。
定理1.1若随机变量X具有连续分布函数FX（x），而R为（0，1）均匀分布随机变量，则有
（1.2）
由这一定理可知，分布函数为FX（x）的随机数可以由（0，1）均匀分布随机数按上式进行变换得到。
2.MATLAB中产生随机序列的函数
（1）（0，1）均匀分布的随机序列
函数：
rand
用法：
x=rand（m,n）
功能：
产生m×n的均匀分布随机数矩阵。
（2）正态分布的随机序列
函数：
randn
用法：
x=randn（m,n）
功能：
产生m×n的标准正态分布随机数矩阵。
如果要产生服从
分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。
（3）其他分布的随机序列
MATLAB上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数，下表列出了部分函数。
MATLAB中产生随机数的一些函数
表1.1MATLAB中产生随机数的一些函数
3、随机序列的数字特征估计
对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。
这里我们假定随机序列X（n）为遍历过程，样本函数为x（n），其中n=0,1,2，…，N-1。
那么，X（n）的均值、方差和自相关函数的估计为
利用MATLAB的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。
（1）均值函数
函数：
mean
用法：
m=mean（x）
功能：
返回按上面第一式估计X（n）的均值，其中x为样本序列x（n）。
（2）方差函数
函数：
var
用法：
sigma2=var（x）
功能：
返回按上面第二式估计X（n）的方差，其中x为样本序列x（n），这一估计为无偏估计。
（3）互相关函数
函数：
xcorr
用法：
c=xcorr（x,y）
c=xcorr（x）
c=xcorr（x,y,'opition'）
c=xcorr（x,'opition'）
功能：
xcorr（x,y）计算X（n）与Y（n）的互相关，xcorr（x）计算X（n）的自相关。
option选项可以设定为：
'biased'有偏估计，即
（1.6）
'unbiased'无偏估计，即按（1.5）式估计。
'coeff'm=0时的相关函数值归一化为1。
'none'不做归一化处理。
3、实验内容
1.采用线性同余法产生均匀分布随机数1000个，计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。
改变样本个数重新计算。
实验代码：
num=input（'Num='）;
N=2^31;
k=2^16+3;
Y=zeros（1,num）;
X=zeros（1,num）;
Y
（1）=1;
fori=2:
num
Y（i）=mod（k*Y（i-1）,N）;
end
X=Y/N;
a=0;
b=1;
m0=（a+b）/2;
sigma0=（b-a）^2/12;
m=mean（X）;
sigma=var（X）;
delta_m=abs（m-m0）;
delta_sigma=abs（sigma-sigma0）;
plot（X,'k'）;
xlabel（'n'）;
ylabel（'X（n）'）;
实验结果：
（1）Num=1000时：
delta_m=0.0110，delta_sigma=0.0011
（2）Num=5000时：
delta_m=2.6620e-04，delta_sigma=0.0020
实验结果分析：
样本越大，误差越小，实际值越接近理论值。
2.参数为的指数分布的分布函数为
利用反函数法产生参数为0.5的指数分布随机数1000个，测试其方差和相关函数。
实验代码：
R=rand（1,1000）;
lambda=0.5;
X=-log（1-R）/lambda;
DX=var（X）;
[Rm,m]=xcorr（X）;
subplot（211）;
plot（X,'k'）;xlabel（'n'）;ylabel（'X（n）'）;
subplot（212）;
plot（m,Rm,'k'）;xlabel（'m'）;ylabel（'R（m）'）;
实验结果：
实验结果分析：
方差的实际值为4.1201，理论值为1/（0.5^2）=4，基本一致。
3.产生一组N（1，4）分布的高斯随机数（1000个样本），估计该序列的均值、方差和相关函数。
实验代码：
X=normrnd（1,2,[1,1000]）;
Mx=mean（X）;Dx=var（X）;
[Rm,m]=xcorr（X）;
subplot（211）;
plot（X,'k'）;xlabel（'n'）;ylabel（'X（n）'）;
subplot（212）;
plot（m,Rm,'k'）;xlabel（'m'）;ylabel（'R（m）'）;
实验结果：
实验结果分析：
实验中的均值为0.9937，方差为3.8938。
理论上均值为1，基本一致。
四、实验心得体会
通过这次实验，我学习和掌握了随机数的产生方法、实现随机序列的数字特征估计，并用MATLAB产生相应的图形，更直观的了解了相关的知识。
本次实验的难点在于用线性同余法产生随机序列，多次试验后终于攻克了难关。
实验二随机过程的模拟与数字特征
一、实验目的
1、学习利用MATLAB模拟产生随机过程的方法；
2、熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB实现。
二、实验原理
1.正态分布白噪声序列的产生
MATLAB提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn。
函数：
randn
用法：
x=randn（m,n）
功能：
产生m×n的标准正态分布随机数矩阵。
如果要产生服从
分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。
如果X~N（0,1），则
。
2.相关函数估计
MATLAB提供了函数xcorr用于自相关函数的估计。
函数：
xcorr
用法：
c=xcorr（x,y）
c=xcorr（x）
c=xcorr（x,y,'opition'）
c=xcorr（x,'opition'）
功能：
xcorr（x,y）计算X（n）与Y（n）的互相关，xcorr（x）计算X（n）的自相关。
option选项可以设定为：
'biased'有偏估计。
'unbiased'无偏估计。
'coeff'm=0时的相关函数值归一化为1。
'none'不做归一化处理。
3.功率谱估计
对于平稳随机序列X（n），如果它的相关函数满足
（2.1）
那么它的功率谱定义为自相关函数Rx（m）的傅里叶变换：
（2.2）
功率谱表示随机信号频域的统计特性，有着重要的物理意义。
我们实际所能得到的随机信号总是有限的，用有限长度的信号所得的功率谱只是真实功率谱的估计，称为谱估计或谱分析。
（1）自相关法
先求自相关函数的估计，然后对自相关函数做傅里叶变换
（2.3）
其中N表示用于估计样本序列的样本个数。
（2）周期图法
先对样本序列x（n）做傅里叶变换
（2.4）
其中
，则功率谱估计为
（2.5）
MATLAB函数periodogram实现了周期图法的功率谱估计。
函数：
periodogram
用法：
[Pxx,w]=periodogram（x）
[Pxx,w]=periodogram（x,window）
[Pxx,w]=periodogram（x,window,nfft）
[Pxx,f]=periodogram（x,window,nfft,fs）
periodogram（...）
功能：
实现周期图法的功率谱估计。
其中：
Pxx为输出的功率谱估计值；
f为频率向量；
w为归一化的频率向量；
window代表窗函数，这种用法对数据进行了加窗，对数据加窗是为了减少功率谱估计中因为数据截断产生的截断误差，表2.1列出了产生常用窗函数的MATLAB函数。
nfft设定FFT算法的长度；
fs表示采样频率；
如果不指定输出参量（最后一种用法），则直接会出功率谱估计的波形。
三、实验内容
1.按如下模型产生一组随机序列
其中
是均值为1，方差为4的正态分布白噪声序列。
估计过程的自相关函数和功率谱。
实验代码：
y0=randn（1,500）;%产生一长度为500的随机序列
y=1+2*y0;
x
（1）=y
（1）;
n=500;
fori=2:
1:
n
x（i）=0.8*x（i-1）+y（i）;%按题目要求产生随机序列x（n）
end
subplot（311）;
plot（x）;
title（'x（n）'）;
subplot（312）;
c=xcorr（x）;%用xcorr函数求x（n）的自相关函数
plot（c）;
title（'R（n）'）;
p=periodogram（x）;%用periodogram函数求功率谱密度
subplot（313）;
plot（p）;
title（'S（w）'）;
实验结果：
其中x（n）为样本序列，长度为500；R（n）为x（n）的自相关函数，S（w）为x（n）的功率谱。
2.设信号为
其中
，
为正态分布白噪声序列，试在N=256和N=1024点时，分别产生随机序列x（n），画出x（n）的波形并估计x（n）的相关函数和功率谱。
（1）N=256时：
实验代码：
N=256;
w=randn（1,N）;%用randn函数产生长度为256的正态分布白噪声序列
n=1:
1:
N;
f1=0.05;
f2=0.12;
x=sin（2*pi*f1*n）+2*cos（2*pi*f2*n）+w（n）;%产生题目所给信号
R=xcorr（x）;%求x（n）的自相关函数
p=periodogram（x）;%求x的功率谱
subplot（311）;
plot（x）;title（'x（n）'）;
subplot（312）;
plot（R）;title（'R（n）'）;
subplot（313）;
plot（p）;title（'S（w）'）;
实验结果：
其中x（n）为样本序列，长度为256；R（n）为x（n）的自相关函数，S（w）为x（n）的功率谱。
（2）N=1024时：
实验代码：
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