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离散数学习题解第二部分代数系统

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离散数学习题解

第二部分

代数系统

习题四第四章代数系统

1．设I为整数集合。

判断下面的二元关系是否是I上的二元运算

a）+={（x，y），z|x，y，zI且z=x+y}

b）－={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x－y}

c）×={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x×y}

d）/={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x/y}

e）R={（（x，y），z）|x，y，zI且z=xy}

f）

={（（x，y），z）|x，y，zI且z=

}

g）min={（（x，y），z）|x，y，zI且z=max（x，y）}

h）min={（（x，y），z）|x，y，zI且z=min（x，y）}

i）GCD={（（x，y），z）|x，y，zI且z=GCD（x，y）}

j）LCM={（（x，y），z）|x，y，z∈I且z=LCM（x，y）}

[解]a）是。

由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故知+：

I2→I是I上的一个二元运算。

b）是。

由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故知一：

I2→I是I上的一个二元运算。

c）是。

由于两个整数这积仍为整数，且结果唯一，故知x：

I2→I是I上的一个二元运算。

d）不是：

例如若x=5，y=6，则z=x/y=5/6

I；当y=0时z=x|y=x/0无定义。

e）不是。

例如若x=2，y=-2，则z=xy=2–2=

；若x=y=0，则z=xy=0，则z=

；

g）是。

由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。

故知max：

I2→I是I上的一个二元运算。

h）是。

由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。

故知min：

I2→I是I上的一个二元运算。

i）是。

由于两个整数的最大公约数仍为整数，且结果唯一。

故知GCD：

I2→I是I上的一个二元运算。

j）是。

由于两个整数的最小公倍数仍为整数，且结果唯一。

故知LCD：

I2→I是I上的一个二元运算。

注：

两个整数a和b的最大公约数GCD（a，b）定义为同时除尽a和b的正整数中最大的一个；两个数a数b的最小公倍数LCM（a，b）定义为同时是a和b的正倍数中最小的一个。

2．设X={x|x=2n，n∈N}问普通数的加法是否是X上的二元运算？

普通数的乘法呢？

[答]普通的加法运算不是X是X上的二元运算，因为存在着x1=2∈X，x2=22∈X，使x1+x2=2+22=6

X。

普通的乘法运算是X上的二元运算，因为对于任意的x1=

X，x2=

X，这里n1，n2

N，都有x1·x2=

X（因为n1+n2∈N）。

3．设是代数系统，*是X上的二元运算，若有元素el∈X，使

，有el*x=x，则称el是关于*的左幺元。

若有元素erX，使

，有x*el=x，则称er是关于*的右幺元。

a）试举出公含有左幺的代数系统的例子。

b）试举出仅含有左幺的代数系统的例子。

c）证明：

在代数系统中，若关于*有左幺元和右幺元，则左幺元等于右幺元。

[解]：

a）构造代数系统如下：

令X={a，b，c，d}，*：

X×→X→X，其运算表如下：

则此代数系统含有左幺元b，d，但不含右幺元。

b）构造代数系统如下：

令X={1，2，3，4}*：

X×→X→X，其运算表如下：

则此代数系统含有右幺元1，但不含左幺元。

c）[证]因为代数系统关于*运算存在着左、右幺元，ei，er∈X则

el=el*er=er∈

4．设是代数系统，*是X上的二元运算。

若有元素Ol∈X，使x∈X，有Ol*x=Ol是关于*的左零元。

若有元素Or∈X，使x∈X，有x*Or=Or，则称Or是关于*的右零元。

a）试举出公含有左零元的代数系统的例子。

b）试举出仅含有左零元的代数系统的例子。

c）证明：

在代数系统中，若关于*有左零元和右右零元，则左零元等于右零元。

[解]a）构造代数系统如下：

令X={a，b，c}，*：

X×X→X，其运算表如下：

则a和b都是左零元，但没有右零元。

b）构造代数系统如下：

令X={1，2，3}，*：

X×→X→X，其运算表如下：

则3是右零元，但没有左零元。

c）[证]因为代数系统关于*运算存在着左、右零元，Ol，Or∈X，则

Ol=Ol*Or=Or

5．当给出一个代数系统的二元运算表时，如何从表上判断这个二元运算是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。

[答]在一个代数系统中，

1）运算*满足结合律，当且仅当在运算表中，对任何x，y∈X，x行每个元素与y的*积对应的等于x与y列每个元素的*积。

2）运算*满足交换律，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。

3）运算*有幺元，当且仅当存在一元素，它所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致。

4）运算*有零元，当且仅存在一元素，它所对应的行和列中每个元素都是蛇自己。

5）若运算*有幺元，X中每个元素x有逆元，当且仅当存在一元素y∈Y，使得x所在行，y所在列的元素以及y所在行，x所在列的元素都是幺元。

6．设是代数系统，*是X上的二元运算，e是关于*的幺元。

对于X中的元素x，若存在y∈X，使得y*x=e，则称y是x的左逆元。

若存在z∈X，使得x*z=e，则称z是x的右逆元。

指出下表中各元素的左、右逆元的情况。

[解]a是幺元；b的左逆元和右逆元都是c；即b和c互为逆元；d的左逆元是c而左逆元是b；b有两个左逆元c和d；e的右逆元是c，但e没有左逆元；c有两个左逆元b和e有两个右逆元b，d。

7．设是代数系统，*是X上的二元运算。

x，y∈X，有x*y=x。

问*是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。

[解]a）*运算满足结合律

因为对任何x，y，z∈X，都有

x*（y*z）=x*y=x=x*y=（x*y）*z

b）*运算不满足交换律

因为对于二个元素x，y∈X，有x*y=x，而y*x=y。

所以当X包含多于一个元素时，能使x≠y，从而x*y≠y*x。

c）没有幺元

因为若有幺元e∈X存在，则对任何x∈X，应有e*x*e，但是e*x=e，x*e=x，于是推得x=e，当X中包含多于一个元素时，就会有x≠e，矛盾。

d）没有零元，仿c）保证。

e）对于每个元素都没有逆元。

因为没有幺元存在。

并且若存在一个元素a∈X，使得对每个元素x∈X，都有一个元素y∈X，使y*x=x*y=a，则有y=x=a，当X中包含多一个元素时，这将不总是成立的（只在x=a，且a具有幂等性时才成立）

8．设是代数系统，*是N上的二元运算，x，y∈N，x*y=LCM（x，y）。

问*是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。

[解]a）*运算满足结合律

因为，对于任何x，y，z∈N，

（x*y）*z=LCM（（x*y），z）

=LCM（LCM（x，y），z）

=LCM（（x，y，z）

=LCM（（x，（y*z）

=LCM（（x*y），z）

=x*（y*z）

注：

关于LCM（LCM（x，y），z）=LCM（x，y，z）我们可证明如下：

设C1=LCM（x，y，z），d=LCM（x，y），从而C1=LCM（d，z），

C2=LCM（x，y，z），因此只需证C1=C2即可，为此

由于C2=LCM（x，y，z），故此x|C2，y|C2，z|C2，因此由d=LCM（x，y）及x|C2，y|C2，从d2的最小性有d≤C2于是d|C2（否则C2=kd+r，0＜r＜d，由于x|d，y|d及x|C2，y|C2，故有x|r，y|r，这与d=LCM（x，y）的最小性矛盾）。

即d|C2且z|C2故此由C1=LCM（d，z）的最小性，可知C1≤C2。

另一方面，由C1=LCM（d，z）知d|C1，z|C1，又由d=LCM（x，y）知x|d，y|d，y|d，因此有x|C1，y|C1，并且z|C1。

因而C2=LCM（x，y，z）的最小性可知C2≤C1。

所以，C1=C2。

同理可证LCM（x，LCM（y，z））=LCM（x，y，z）。

b）*运算满足交换律

因为对于任何x，y∈N，

x*y=LCM（x，y）

=LCM（y，x）

=y*x

（c）*运算有幺元1∈N。

因为，对于任何x∈N，

x*1=LCM（x，1）

=LCM（1，x）

=1*x

（d）*运算没有零元。

因为0N。

（e）对于每个元素x∈X，若x≠1，则对每个元素y∈N，都有x*y=y*x=LCM（x，y）≥x≠1，故此没有逆元素。

9．设是代数系统，*是X上的二元运算。

X是X中的任一元素，若有x*x=x，则称x是幂等元。

若*是可结合的，且x，yX，当x*y=y*x时，有x=y。

证明：

X中每个元素都是幂等元。

[证]对于任何x∈X，令xi=x*x，xj=x，于是

xi*xj=（x*x）*x

=x*（x*x）（结合律）

=xj*xi

从而由怕给性质，有xi=xj，即x*x=x。

因此，由x的任意性，可知X中每个元素都是幂等元。

10．设

，

>是代素系统，

和

分别是X上的两上二元运算。

若x∈X，有x

y=x。

证明

关于

是可分配的。

[证]对于任何x，y，z∈X

x（yz）=xy

=（xy）

=（yz）x=yx=（yx）（zx）

因此代数系统中关于是可分配的。

11．设是代数系统，和分别是X上的两上二元运算。

e1和e2分别是关于和的幺元，且对于

满足分配律，对于满足分配律。

证明：

x∈X，有xx=x，xx=x

[证]（a）先证e1e1=e1

e1e1=e1（e1e1）（e1是幺元）

=（e2e1）

（e1e1）（e2是幺元）

=（e2e1）e1（对的分配）

=（e2e1）（e1是幺元）

=e1（e2是幺元）

（b）次证e2e2=e2

e2e2=e2（e2e2）（e2是幺元）

=（e1e2）（e2e2）（e1是幺元）

=（e1e2）e2（

对的分配）

=e1e2（e2是幺元）

=e2（e1是幺元）

（c）最后，我们来证xx=x，xx=x

xx=（xe2）（xe2）（e2是幺元）

=x（e2e2）（对的分配）

=xe2（利用（b））

=x（e2是幺元）

xx=（xe1）（xe1）（e1是幺元）

=x（e1e1）（对的分配）

=xe1（利用（a））

=x（e1是幺元）

证法二：

x=xe2（e2为的幺元）

=x（e2e1）（e1为幺元）

=x[e2（e1

e2）]（e2为幺元）

=x[（e2e1）（e2e2）]（对的分配律）

=x[（e2（e2e2））（e1为幺元）

=x（e2e2）（e2为幺元）

=（xe2）（xe2）（对分配律）

=xx（e2为幺元）

x=xe1（e1为的幺元）

=x（e1e2）（e2为幺元）

=x[e1（e1e2）]（e2为幺元）

=x[（e1e1）（e1e2）]（对的分配律）

=x[（e1e1）e1]（e2为幺元）

=x（e1e1）（e1为幺元）

=（xe1）（xe1）（对分配律）

=xx（e1为幺元）

12．设X={a，b，c，d}，和分别是X上的两个二元运算，其运算表如下：

算表如下：

取S1={b，d}，S2{a，d}，S3={b，c}，问，，，分别是的子代数系统吗？

为什么？

[解]

13．设*是X上的二元运算。

若a，b，c∈X，有a*a=a且（a*b）*（c*d）=（a*c，b*d）证明：

a*（b*c）=（a*b）*（a*c）

[证]对任何a，b，c∈X，

a*（b*c）=（a*a）*（b*c）（幂等性a*a=a）

=（（a*b）*（a*c）=（（a*b）*（c*d））=（a*c）*（b*d）利用）

14．设是代数系统，*是X上的二元运算，R是X上的等价关系。

若a，b，c，d∈X当（a，b）∈R且（c，d）∈R时，有（a*c，b*d）∈R，则称R是X上关于*的同余关系，称R产生的等价类是关于*的同余类。

考察代数系统，I是整数集合，十是整数加法。

问以下的元关系是I上的关于十的同余关系吗？

a）R={（x，y）|x，y∈I且（（x＜0且y＜0）或（x≥0且y≥0））}

b）{（x，y）|x，y∈I且（（x＜0且|x—y|＜10

c）{（x，y）|x，y∈I且（（x=0且y=0）或（x≠0且y≠0））}

d）{（x，y）|x，y∈I且x≥y}

[解]a）这不是一个同余关系，因为

（-1，-2）∈R且（1，1）∈R，但（-1+1，-2+1）=（0，-1）R。

b）这不是一个同余关系，因为它不是一个等价关系。

实际上它是自反的和对称的，但不是传递的，例如取x=-8，y=1，z=8，由于|-8-1|=9＜0，|1-8|=7＜10，故有（-8，1）∈R且（1，8）∈R。

但|-8-8|=6＞10，所以[-8，8]R

c）这不是一个同余关系，因为（-1，-2）∈R且（1，1）∈R，但（-1+1，-2+1）=（0，-1）R

d）这不是一个同余关系，因为它不是一个等价关系。

实际上它是自反的和传递的，但不是对称的，例如取x=8，y=7，于是有8≥7，从而（8，7）∈R，但7≠8，故（7，8）R。

15．设S={a，b}，X=＜25，∩，∪，＞，Y=〈{0，1}，∧，∨，－〉。

证明：

Y是X的同态象。

[证]如下构造的函数h是一个从X到Y的同态：

h：

2S→{0，1}

h（Ø）=0

h（{a}）=0，h（{b}）=1，h（S）=1

容易验证：

h（A∩B）=h（A）∧h（B）

h（A∪B）=h（A）∨h（B）（A，B⊆S）

h（A′）=

并且h显然是满射的，因此Y是X同态象。

16．设R是实数集合，十和X是实数的加法和乘法。

X=〈R，+〉，Y=〈R，x〉，问Y是否是X的同态象。

[答]Y不是X的同态象。

否则将存在着从X到Y的满同态函数h，从而对于0∈R，由h是满射的，可知存在着r0∈R，使h（r0）=0，于是对任何r∈R，由于r-r0=r+（-r0）∈R，所以h（r）=h（r0+（r-r0））={r′|r′∈R∧（Er∈R）（h（r）=r′）}

={0}≠R

17．设N是自然数集合，x是自然数乘法，X=〈N，x〉，Y=〈{0，1}，x〉，证明：

Y是X的同态象。

[证]如下构造的函数h是一个从X到Y的同态

h：

N→{0，1}

于是h（2m×2n）=h（2·2mn）=0=0×0=h（2m）×h（2n）

h（2m×（2n-1））=h（2·m（2n-1））=0=0×1=h（2m）×h（2n-1）

h（（2m-1）×（2n-1））=h（2（mn-m-n+1）-1）

=1=1×1=h（2m-1）×h（2n-1）

所以h满足同态公式，另外h显然是满射，因而Y是X的同态象。

18．设S={a，b，c}，X=〈{Ø，S}，∩，∪，′〉，Y=〈{a，b}，S，∩，∪，′〉。

问X和Y是否同构，为么？

[答]X和Y不同构。

因为Y=〈{{a，b}，S}，∩，∪，′〉不是代数系统，补运算′关于{{a，b}，S}不封闭，这可见下表：

′

{a,b}

{c}

而如果存在着X和Y的同构，则从X是代数系统，知Y也应该是代数系统，矛盾。

19．设〈X，*〉和〈Y，〉是两个代数系统，*和分别是X和Y上的二元运算，且满足交换律，结合律。

f1和f2都是从〈X，*〉到〈Y，〉的同态函数。

令h：

X→Y

h（x）=f1（x）f2（x）

证明：

h是从〈X，*〉到〈Y，

〉的同态函数。

[证]对于任何a，b∈X，h（a*b）=f1（a*b）f2（a*b）（h的定义）

=（f1（a）f1（b））（f2（a）f2（b））（f1和f2是同态函数）

=（f1（a）f1（b））（f2（a）f2（b））（的结合律）

=（f1（a）f2（a））（f1（b）f2（b））（的结合律）

=h（a）h（b）（h的定义）

20．设〈X，f1〉，〈Y，f2〉，〈Z，f3〉是三个代数系统。

f1，f2，f3分别是X，Y，Z上的二元运算。

证明：

若h1是从〈X，f1〉到〈Y，f2〉的同态函数，h2是从〈Y，f2〉到〈Z，f3〉的同态函数，则h2oh1是从〈X，f1〉到〈Z，f3〉的同态函数。

[证]对于任何x，y∈X，

（h2οh1）（xf1y）=h2（h1（xf1y））

=h2（h1（x）f2h1（y））（h1是〈X，f1〉到〈Y，f2〉的同态）

=h2（h1（x）f3h2（h1（y））（h2是〈X，f2〉到〈Y，f3〉的同态）

=（h2οh1）（x）f3（h2h1）（y）

所以h2οh1是从〈X，f1〉到〈Z，f3〉的同态函数。

21．设〈S，*〉是有限含幺半群。

证明：

在*的运算表中，任何两行或任何两列均不相同。

[证]因为〈S，*〉是有限含幺半群，故可设

s={s0=e，s1，…，sn-1}

则在*的运算表中，对庆于任何si，sj∈s（si≠sj，0≤i，j≤n-1）的两行为：

si*s0，si*s1，…，si*sn-1；

sj*s0，sj*s1，…，sj*sn-1

为证此两行互不相同，只需证明（∃k）（0≤k≤n-1∧si*sk≠sj*sk）即可。

而这样的k是存在的，只需取k=0即得：

si*s0=si*e=si≠sj=sj*e=sj*s0

从而，由si，sj∈s的任意性，可知，在*运算表中，任何两行均互不相同。

关于列的结论，同理可证。

22．设k是一正数，Nk={0，1，2，…，k-1}，*k是Nk上的一个二元运算。

a，b∈Nk，a*kb=（a×b）modk。

a）当k=6时，写出*6的运算表；

b）证明：

对任意的正整数k，〈Nk，*k〉是半群。

a）[解]

b）[证]1）*k是Nk上的二元运算

由于0≤（a×b）modk＜k，故a*kbNk，即*k关于Nk封闭，并且运算结果唯一（因为若有i=（a×b）modk，j=（a×b）modk，则0≤k＜k，0≤j＜k，a×b=kr1+i，a×b=kr2+j，于是有kr1+I=kr2+j不妨设ji从而k（r1-r2）=j-i，故此k|j-i，但是0≤j-i＜k（因为j≥i）故只能j-i=0，因此j=i＝。

2）*k满足结合律

因为对于任何a，b，c∈Nk

（a*kb）*kc=[（a×b）modk]*kc

={[（a×b）modk]×c}modk

=（（a×b×c））modk

={a×[（b×c）modk]}modk

=a*k[（b×c）modk]

==a*k（b*kc）

综合1），2）可得〈Nk，*k〉是半群

23．设〈S，*〉是半群，a∈s。

在s上定义二元运算如下

x，y∈s，xy=x*a*y

证明：

〈S，〉是半群。

[证]（a）是s上的二元运算

由于〈S，*〉是半群，故*是s上的二元运算，因此*运算具有封闭性和运算结果唯一性。

因此由的定义可知具有封闭性和运算结果唯一性。

（b）满足结合律

对于任何x，y，z∈s

（xy）z=（x*a*y）z

=（y）*a*z

=x*a*（y*a*z）（*运算的结合律）

=x*a*（yz）

=x（yz）

综合（a），（b）可知〈S，〉是半群。

24．设〈S，*〉是半群。

证明：

s中至少有一个幂等元。

[证]因为〈S，*〉是半群，所以*运算具有封闭性，因而可知对于任何元素y∈s，都有y2=y*y∈s，y3=y2*y∈s,…。

又由〈S，*〉是有限的，可知s是有限集，所以存在着j＞i，使得yj=yi，从而令P=j-i，那么就有yi=yj=yp+I=yp*yi，因此可得yi+1=yp*yi+1，…，也就是对任何g≥i，都有yg=yp*yg。

所以，从p1总可找到k≥1，使kp≥i。

故此，令x=ykp∈s，则x就是s中的一个幂等元，推证如下：

x*x=ykp*ykp

=（yP+*y（k-1）p）*ykp（利用上述性质）

=y（k-1）p*ykp

=……

=yp*ykp

=ykp

25．设R是实数集合。

在R上定义二元运算*如下

x，y∈R，x*y=x+y+xy

证明：

〈R，*〉是含幺半群。

[证]

（1）*运算是实数集R上的二元运算。

因为普通实数加法+和乘法×都是封闭的和运算结果唯一的，因此由它们定义的*运算也是封闭的、运算结果唯一。

（2）*运算满足结合律。

对于任何x，y，z∈R，因为

（x*y）*z=（x*y）+z+（x*y）z=（x+y+xy）+z+（x+y+xy）z

=x+y+z+xy+xz+yz+xyz

（x*y）*z=x+（y*z）+x（y*z）=x+（y+z+yz）+x（y+

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