高考数学理科一轮复习空间几何体的表面积与体积学案含答案.docx

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高考数学理科一轮复习空间几何体的表面积与体积学案含答案

高考数学（理科）一轮复习空间几何体的表面积与体积学案含答案

学案41　空间几何体的表面积与体积

导学目标：

1了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式2了解球、柱、锥、台的体积的计算公式3培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行必要的计算4提高认识图、理解图、应用图的能力．自主梳理

1．多面体的表面积

（1）设直棱柱高为h，底面多边形的周长为，则S直棱柱侧＝______

（2）设正n棱锥底面边长为a，底面周长为，斜高为h′，则S正棱锥侧＝____________＝____________

（3）设正n棱台下底面边长为a，周长为，上底面边长为a′，周长为′，斜高为h′，则

S正棱台侧＝__________＝____________

（4）设球的半径为R，则S球＝____________

2．几何体的体积公式

（1）柱体的体积V柱体＝______（其中S为柱体的底面面积，h为高）．

特别地，底面半径是r，高是h的圆柱体的体积V圆柱＝πr2h

（2）锥体的体积V锥体＝________（其中S为锥体的底面面积，h为高）．

特别地，底面半径是r，高是h的圆锥的体积V圆锥＝13πr2h

（3）台体的体积V台体＝______________（其中S′，S分别是台体上、下底面的面积，h为高）．

特别地，上、下底面的半径分别是r′、r，高是h的圆台的体积V圆台＝13πh（r2＋rr′＋r′2）．

（4）球的体积V球＝__________（其中R为球的半径）．

自我检测

1．已知两平行平面α，β间的距离为3，P∈α，边长为1的正三角形AB在平面β内，则三棱锥P—AB的体积为（　　）

A14B12

36D34

2．（2011•唐月考）从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BD，则它的表面积与正方体表面积的比为（　　）

A3∶3B2∶2

3∶6D6∶6

3．设三棱柱AB—A1B11的体积为V，P，Q分别是侧棱AA1，1上的点，且PA＝Q1，则四棱锥B—APQ的体积为（　　）

A16VB14V

13VD12V

4．（2011•平顶月考）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（　　）A．9πB．10π

．11πD．12π

．（2011•陕西）某几何体的三视图如下，则它的体积是（　　）A．8－2π3B．8－π3

．8－2πD2π3探究点一　多面体的表面积及体积

例1　三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60°角，求此棱柱的侧面积与体积．

变式迁移1　（2011•烟台月考）已知三棱柱AB—A1B11的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面AB上的射影为B的中点，则三棱柱的侧面面积为________．

探究点二　旋转体的表面积及体积

例2　如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积（其中∠BA＝30°）及其体积．

变式迁移2　直三棱柱AB—A1B11的各顶点都在同一球面上．若AB＝A＝AA1＝2，∠BA＝120°，则此球的表面积等于________．

探究点三　侧面展开图中的最值问题例3　如图所示，长方体ABD－A1B11D1中，AB＝a，B＝b，1＝，并且a>b>>0求沿着长方体的表面自A到1的最短线路的长．

变式迁移3　（2011•杭州月考）如图所示，在直三棱柱AB－A1B11中，底面为直角三角形，∠AB＝90°，A＝6，B＝1＝2P是B1上一动点，则P＋PA1的最小值是________．1．有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．

2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供便利．

（1）几何体的“分割”：

几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．

（2）几何体的“补形”：

与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．（满分：

7分）

一、选择题（每小题分，共2分）

1．（2011•安徽）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）A．48B．32＋817

．48＋817D．80

2．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π3，则这个三棱柱的体积是（　　）

A．963B．163．243D．483

3．已知正方体ABD—A1B11D1的棱长为a，长为定值的线段EF在棱AB上移动（EF<a），若P是A1D1上的定点，Q是1D1上的动点，则四面体P—QEF的体积是（　　）

A．有最小值的一个变量

B．有最大值的一个变量

．没有最值的一个变量

D．一个不变量

4．（2010•全国）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（　　）

A．πa2B73πa2

113πa2D．πa2

．（2011•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（　　）A．8B．62．10D．82

二、填空题（每小题4分，共12分）6．（2011•马鞍月考）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．

7．（2011•淄博模拟）一块正方形薄铁片的边长为4，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形（如图），用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________3

8．（2011•四川）如图，半径为R的球中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．

三、解答题（共38分）

9．（12分）（2011•佛模拟）如图组合体中，三棱柱AB—A1B11的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．当点是弧AB的中点时，求四棱锥A1—B1B1与圆柱的体积比．10．（12分）（2011•抚顺模拟）如图，四面体ABD中，△AB与△DB都是边长为4的正三角形．

（1）求证：

B⊥AD；

（2）试问该四面体的体积是否存在最大值？

若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，说明理由．11．（14分）（2011•锦州期末）如图，多面体ABFED的直观图及三视图如图所示，，N分别为AF，B的中点．

（1）求证：

N∥平面DEF；

（2）求多面体A—DEF的体积．学案41　空间几何体的表面积与体积

自主梳理

1．

（1）h　

（2）12nah′　12h′　（3）12n（a＋a′）h′　12（＋′）h′　（4）4πR2　2

（1）Sh　

（2）13Sh　（3）13h（S＋SS′＋S′）　（4）43πR3

自我检测

1．D　[由题意，S△AB＝34，三棱锥的高h＝3，

∴V三棱锥P—AB＝13Sh＝34]

2．A　[设正方体棱长为a，则正四面体棱长AB＝2a，

∴S正四面体表＝4×34×（2a）2＝23a2

∵S正方体表＝6a2，∴四面体的表面积与正方体表面积的比为3∶3]

3．

4D　[据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如图所示，

故该几何体的表面积为S＝S圆柱＋S球＝2π＋6π＋4π＝12π]

．A　[由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V＝23－13×π×2＝8－2π3，故选A]

堂活动区

例1　解题导引　对于斜棱柱表面积及体积的求解必须求各个侧面的面积和棱柱的高．

解决此类斜棱柱侧面积问题的关键：

在已知棱柱高的条下，用线面垂直ͤ线线垂直的方法作出各个侧面的高，并在相应的直角三角形中求解侧面的高．

解　如图，过点A1作A1⊥面AB于点，连接A

过点A1作A1E⊥AB于点E，过点A1作A1F⊥A于点F，连接E，F，易得E⊥AB，F⊥A，

∵AA1和AB与A都成60°角，

∴△A1AE≌△A1AF，∴A1E＝A1F

∵A1⊥面AB，∴E＝F

∴点在∠BA的角平分线上，延长A交B于点D，

∵△AB是正三角形，

∴B⊥AD∴B⊥AA1

∵AA1∥BB1，∴侧面BB11是矩形，

∴三棱柱的侧面积为S＝2×3×4×sin60°＋3×4＝12＋123

∵AA1＝3，AA1与AB和A都成60°角，

∴AE＝32∵∠BA＝30°，

∴A＝3，A1＝6

∴三棱柱的体积为V＝34×16×6＝122

变式迁移1　27＋4

解析　如图所示，设D为B的中点，连接A1D，AD

∵△AB为等边三角形，∴AD⊥B，∴B⊥平面A1AD，

∴B⊥A1A，

又∵A1A∥B1B，∴B⊥B1B，

又∵侧面与底面边长都等于2，

∴四边形BB11是正方形，其面积为4

作DE⊥AB于E，连接A1E，则AB⊥A1E，

又∵AD＝22－12＝3，DE＝AD•BDAB＝32，

∴AE＝AD2－DE2＝32，

∴A1E＝AA21－AE2＝72，

∴S四边形ABB1A1＝7，∴S三棱柱侧＝27＋4

例2　解题导引　解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算．求全面积时不要忘记“内表面”．

解　如图所示，过作1⊥AB于1，在半圆中可得∠BA＝90°，

∠BA＝30°，

AB＝2R，

∴A＝3R，B＝R，1＝32R，

∴S球＝4πR2，

S圆锥A1侧＝π×32R×3R

＝32πR2，

S圆锥B1侧＝π×32R×R＝32πR2，

∴S几何体表＝S球＋S圆锥A1侧＋S圆锥B1侧

＝112πR2＋32πR2＝11＋32πR2，

∴旋转所得到的几何体的表面积为11＋32πR2

又V球＝43πR3，V圆锥A1＝13•A1•π21

＝14πR2•A1，

V圆锥B1＝13B1•π21＝14πR2•B1，

∴V几何体＝V球－（V圆锥A1＋V圆锥B1）

＝43πR3－12πR3＝6πR3

变式迁移2　20π

解析　在△AB中，AB＝A＝2，∠BA＝120°，可得B＝23，由正弦定理，可得△AB外接圆的半径r＝2，设此圆圆心为′，球心为，在Rt△B′中，易得球半径R＝，故此球的表面积为4πR2＝20π

例3　解题导引　本题可将长方体表面展开，利用平面内两点间的线段长是两点间的最短距离解答．

解　将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，

如图所示．三个图形甲、乙、丙中A1的长分别为：

a＋b2＋2＝a2＋b2＋2＋2ab，

a2＋b＋2＝a2＋b2＋2＋2b，

a＋2＋b2＝a2＋b2＋2＋2a，

∵a>b>>0，∴ab>a>b>0

故最短线路的长为a2＋b2＋2＋2b

变式迁移3　2

解析　将△B1沿B1线折到面A11B上，如图所示．连接A1即为P＋PA1的最小值，过点作D垂直A11延长线交于D，△B1为等腰直角三角形，

∴D＝1，1D＝1，A1D＝A11＋1D＝7

∴A1＝A1D2＋D2＝49＋1＝2

后练习区

1．　[由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12＝17所以S表＝42＋2×4＋12×（2＋4）×4×2＋4×17×2＝48＋817]

2．D　[由43πR3＝32π3，∴R＝2∴正三棱柱的高h＝4设其底面边长为a，则13•32a＝2，∴a＝43

∴V＝34×（43）2×4＝483]

3．D　4B

．　[将三视图还原成几何体的直观图如图所示．它的四个面的面积分别为8,6,10,62，故最大的面积应为10

6．67

解析　取底面中心为，AF中点为，连接P、、P、A，则P⊥，⊥AF，P⊥AF，

∵A＝P＝2，∴＝3，

P＝4＋3＝7

∴S侧＝6×12×2×7＝67

713π

解析　围成圆锥筒的母线长为4，

设圆锥的底面半径为r，则2πr＝14•2π×4，

∴r＝1，∴圆锥的高h＝42－12＝1

∴V圆锥＝13•πr2•h＝13π（3）．

8．2πR2

解析　方法一　设圆柱的轴与球的半径的夹角为α，则圆柱高为2Rsα，圆柱底面半径为Rsinα，∴S圆柱侧＝2π•Rsinα•2Rsα＝2πR2sin2α当sin2α＝1时，S圆柱侧最大为2πR2，此时，S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2

方法二　设圆柱底面半径为r，则其高为2R2－r2

∴S圆柱侧＝2πr•2R2－r2，

S′圆柱侧＝4πR2－r2－4πr2R2－r2

令S′圆柱侧＝0，得r＝22R

当0<r<22R时，S′>0；

当22R<r<R时，S′<0

∴当r＝22R时，S圆柱侧取得最大值2πR2

此时S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2

方法三　设圆柱底面半径为r，则其高为2R2－r2，

∴S圆柱侧＝2πr•2R2－r2＝4πr2R2－r2

≤4πr2＋R2－r22＝2πR2（当且仅当r2＝R2－r2，即r＝22R时取“＝”）．

∴当r＝22R时，S圆柱侧最大为2πR2

此时S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2

9．解　设圆柱的底面半径为r，母线长为h，

当点是弧的中点时，三角形AB的面积为r2，三棱柱AB—A1B11的体积为r2h，三棱锥A1—AB的体积为13r2h，四棱锥A1—B1B1的体积为r2h－13r2h＝23r2h，圆柱的体积为πr2h，（10分）

故四棱锥A1—B1B1与圆柱的体积比为2∶3π

（12分）

10．

（1）证明　取B的中点E，连接AE，DE，EF，∵△AB与△DB都是边长为4的正三角形，

∴AE⊥B，DE⊥B

又AE∩DE＝E，

∴B⊥平面AED又AD⊂面AED，

∴B⊥AD（6分）

（2）解　由已知得，△AED为等腰三角形，且AE＝ED＝23，设AD＝x，F为棱AD的中点，

则EF＝12－12x2，

S△AED＝12x12－x24＝1448x2－x4，（8分）

V＝13S△AED•（BE＋E）＝1348x2－x4（0<x<43），

当x2＝24，即x＝26时，Vax＝8，

∴该四面体存在最大值，最大值为8，（11分）

此时棱长AD＝26（12分）

11．

（1）证明　由多面体ABFED的三视图知，三棱柱AED—BF中，底面DAE是等腰直角三角形，DA＝AE＝2，DA⊥平面ABFE，面ABFE，ABD都是边长为2的正方形．（3分）连接EB，则是EB的中点，

在△EB中，N∥E，

且E⊂平面DEF，

N⊄平面DEF，

∴N∥平面DEF（6分）

（2）解　∵DA⊥平面ABFE，

EF⊂平面ABFE，

∴EF⊥AD又EF⊥AE，AE∩AD＝A，∴EF⊥平面ADE

又DE⊂平面ADE，∴EF⊥DE，（8分）

∴四边形DEF是矩形，且平面DEF⊥平面DAE

取DE的中点H，连接AH，∵DA⊥AE，DA＝AE＝2，

∴AH＝2，且AH⊥平面DEF（12分）

∴多面体A—DEF的体积V＝13SDEF•AH

＝13DE•EF•AH＝83（14分）