浙江高考数学一轮复习平面向量的概念及其线性运算.docx

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浙江高考数学一轮复习平面向量的概念及其线性运算

第一节

平面向量的概念及其线性运算

1．向量的有关概念

名称

定义

备注

向量

既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模）

平面向量是自由向量

零向量

长度为0的向量；其方向是任意的

记作0

单位向量

长度等于1个单位的向量

非零向量a的单位向量为±

平行向量

方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量）

0与任一向量平行或共线

相等向量

长度相等且方向相同的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量

长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则

（1）交换律：

a＋b＝b＋a；

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则

a－b＝a＋（－b）

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

（1）|λa|＝|λ||a|；

（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

λ（μa）＝（λμ）a；

（λ＋μ）a＝λa＋μa；

λ（a＋b）＝λa＋λb

3.共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

[小题体验]

1．下列四个命题中，正确的命题是（　　）

A．若a∥b，则a＝b　　　　　B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若|a|＝|b|，则a∥bD．若a＝b，则|a|＝|b|

答案：

D

2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k（　　）

A．共线B．不共线

C．共线且同向D．不一定共线

答案：

D　

3．若D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于（　　）

A．－＋B．－－

C．－D．＋

答案：

A

4．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－（b－3a）共线，则λ＝________.

答案：

－

1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．

2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．

3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．

[小题纠偏]

1．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.

解析：

|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.

答案：

2

2．已知a，b是非零向量，命题p：

a＝b，命题q：

|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________条件．

解析：

若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q.

若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，

即a＝λb，且λ＞0，故q⇒/p.

∴p是q的充分不必要条件．

答案：

充分不必要

[题组练透]

1．设a0为单位向量，下列命题中：

①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是（　　）

A．0　　　　　　　　　　B．1

C．2D．3

解析：

选D　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：

一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

2．下列说法中错误的是（　　）

A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段

B．若向量a和b不共线，则a和b都是非零向量

C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线

D．方向相反的两个非零向量必不相等

解析：

选C　选项A中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B中零向量与任意向量共线，故a，b都是非零向量，故正确；选项C中是共线向量，故错误；选项D中既然方向相反就一定不相等，故正确．

3．（易错题）给出下列命题：

①若a＝b，b＝c，则a＝c；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；

④若a∥b，b∥c，则a∥c.

其中正确命题的序号是________．

解析：

①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，

又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，

∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

②正确．∵＝，∴||＝||且∥，

又A，B，C，D是不共线的四点，

∴四边形ABCD为平行四边形；

反之，若四边形ABCD为平行四边形，

则∥且||＝||，因此，＝.

③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．

④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．

综上所述，正确命题的序号是①②.

答案：

①②

[谨记通法]

向量有关概念的5个关键点

（1）向量：

方向、长度．

（2）非零共线向量：

方向相同或相反．

（3）单位向量：

长度是一个单位长度．

（4）零向量：

方向没有限制，长度是0.

（5）相等相量：

方向相同且长度相等．

[题组练透]

1．（2018·武汉调研）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于（　　）

A．　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

解析：

选D　因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4.

2．（2018·温州模拟）在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝（　　）

A.＋B.＋

C.＋D.＋

解析：

选B　因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝（＋）＝（＋＋）＝＝＋.

3．（2019·郑州第一次质量预测）如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上且＝＋，则实数m的值为（　　）

A．1B.

C.D.

解析：

选D　＝＋＝＋（－）＝m＋，设＝λ（0≤λ≤1），则＝＋λ＝＋λ（－）＝（1－λ）＋λ，因为＝，所以＝（1－λ）＋λ，则解得故选D.

[谨记通法]

1．平面向量的线性运算技巧

（1）不含图形的情况：

可直接运用相应运算法则求解．

（2）含图形的情况：

将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．

2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路

（1）没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．

（2）利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．

（3）比较、观察可知所求．

[典例引领]

1．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上（与点C，D不重合），若＝x＋（1－x）·，则x的取值范围是（　　）

A.　　　　　　　　B.

C.D.

解析：

选D　设＝y，∵＝＋＝＋y＝＋y（－）＝－y＋（1＋y），∵＝3，点O在线段CD上（与点C，D不重合），∴y∈，∵＝x＋（1－x），∴x∈.

2．设两个非零向量a与b不共线，

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），

求证：

A，B，D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．

解：

（1）证明：

∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3a－3b，

∴＝＋＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5.

∴，共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．

（2）∵ka＋b与a＋kb同向，

∴存在实数λ（λ＞0），使ka＋b＝λ（a＋kb），

即ka＋b＝λa＋λkb.∴（k－λ）a＝（λk－1）b.

∵a，b是不共线的两个非零向量，

解得或

又∵λ＞0，∴k＝1.

[由题悟法]

共线向量定理的3个应用

（1）证明向量共线：

对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．

（2）证明三点共线：

若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．

（3）求参数的值：

利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值．

[提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．

[即时应用]

1．设向量a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为（　　）

A．－2B．－1

C．1D．2

解析：

选B　因为＝a＋b，＝a－2b，所以＝＋＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以，共线．设＝λ，所以2a＋pb＝λ（2a－b），所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.

2．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.

（1）用a，b表示向量，，，，；

（2）求证：

B，E，F三点共线．

解：

（1）延长AD到G，

使＝，

连接BG，CG，得到▱ABGC，

所以＝a＋b，

＝＝（a＋b），

＝＝（a＋b），＝＝b，

＝－＝（a＋b）－a＝（b－2a），

＝－＝b－a＝（b－2a）．

（2）证明：

由

（1）可知＝，

又因为，有公共点B，

所以B，E，F三点共线．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C满足2＋＝0，则＝（　　）

A．2－　　　　　　B．－＋2

C.－D．－＋

解析：

选A　依题意，得＝＋＝＋2＝＋2（－），所以＝2－.

2．（2019·石家庄质检）在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝（　　）

A.a＋bB.a＋b

C.a＋bD.a＋b

解析：

选B　∵＝，∴＝，∴＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b.

3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是（　　）

A．矩形B．平行四边形

C．梯形D．以上都不对

解析：

选C　由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2，故∥.

又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．

4．（2018·扬州模拟）在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________．

解析：

如图，因为＝，P是上一点．所以＝，＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝.

答案：

5．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ（λ∈R），则AD的长为________．

解析：

因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，因为在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，所以四边形ANDM为菱形，因为AB＝4，所以AN＝AM＝3，AD＝3.

答案：

3

二保高考，全练题型做到高考达标

1．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是（　　）

A．A，B，DB．A，B，C

C．B，C，DD．A，C，D

解析：

选A　＝＋＋＝3a＋6b＝3.因为与有公共点A，所以A，B，D三点共线．

2．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（2λ－1）b，若c与d共线反向，则实数λ的值为（　　）

A．1B．－

C．1或－D．－1或－

解析：

选B　由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd（k＜0），于是λa＋b＝k.

整理得λa＋b＝ka＋（2λk－k）b.

由于a，b不共线，所以有

整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.

又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.

3．（2019·浙江六校联考）在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，则向量＝（　　）

A.a＋bB．－a－b

C．－a＋bD.a－b

解析：

选C　如图，因为点E为CD的中点，CD∥AB，所以＝＝2，所以＝＝（＋）＝＝－a＋b.

4．（2018·遂昌期初）已知a，b是两个不共线的非零向量，且起点在同一点上，若a，tb，（a＋b）三向量的终点在同一直线上，则实数t的值为（　　）

A．2　　　　　　　　　　　B．1

C．D．

解析：

选D　由题可设（a＋b）＝λa＋μtb，因为a，tb，（a＋b）三向量的终点在同一直线上，所以有λ＋μ＝1.所以＝λ，μ＝，所以＝t，解得t＝.

5．（2019·丹东五校协作体联考）P是△ABC所在平面上的一点，满足＋＋＝2，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为（　　）

A．2B．3

C．4D．8

解析：

选A　∵＋＋＝2＝2（－），∴3＝－＝，∴∥，且方向相同，∴＝＝＝3，

∴S△PAB＝＝2.

6．已知O为△ABC内一点，且2＝＋，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为________．

解析：

设线段BC的中点为M，则＋＝2.

因为2＝＋，所以＝，

则＝＝（＋）＝＝＋.

由B，O，D三点共线，得＋＝1，解得t＝.

答案：

7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________.

解析：

由|＋|＝|－|可知，⊥，

则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，

因此，||＝||＝2.

答案：

2

8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：

①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.

其中正确命题的个数为________．

解析：

＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错；

＝＋＝a＋b，故②正确；

＝（＋）＝（－a＋b）＝－a＋b，故③正确；

＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正确．

∴正确命题为②③④.

答案：

3

9．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.

（1）求证：

A，B，D三点共线；

（2）若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．

解：

（1）证明：

由已知得＝－＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2，

∵＝2e1－8e2，

∴＝2.

又∵与有公共点B，

∴A，B，D三点共线．

（2）由

（1）可知＝e1－4e2，

∵＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，

∴＝λ（λ∈R），

即3e1－ke2＝λe1－4λe2，

得

解得k＝12.

10．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，OE―→＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t（a＋b），是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？

若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．

解：

由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝（t－3）a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即（t－3）a＋tb＝－3ka＋2kb，

整理得（t－3＋3k）a＝（2k－t）b.

因为a，b不共线，所以有解得t＝.

故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．

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1．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则（　　）

A．m＋n是定值，定值为2

B．2m＋n是定值，定值为3

C.＋是定值，定值为2

D.＋是定值，定值为3

解析：

选D　因为M，D，N三点共线，所以＝λ＋（1－λ）.又＝m，＝n，所以＝λm＋（1－λ）n.又＝，所以－＝－，所以＝＋.比较系数知λm＝，（1－λ）n＝，所以＋＝3，故选D.

2．（2019·长沙模拟）在平行四边形ABCD中，M为BC的中点．若＝λ＋μ，则λ－μ＝________.

解析：

如图，在平行四边形ABCD中，＝，所以＝＋＝＋＝＋（－）＝＋（－）＝＋－，所以＝＋，所以＝＋，所以λ＝，μ＝，所以λ－μ＝.

答案：

3．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n（m，n∈R）．

（1）若m＋n＝1，求证：

A，P，B三点共线；

（2）若A，P，B三点共线，求证：

m＋n＝1.

证明：

（1）若m＋n＝1，

则＝m＋（1－m）＝＋m（－），

∴－＝m（－），

即＝m，∴与共线．

又∵与有公共点B，

∴A，P，B三点共线．

（2）若A，P，B三点共线，

则存在实数λ，使＝λ，

∴－＝λ（－）．

又＝m＋n.

故有m＋（n－1）＝λ－λ，

即（m－λ）＋（n＋λ－1）＝0.

∵O，A，B不共线，∴，不共线，

∴∴m＋n＝1.