浙教版数学中考复习矩形菱形和正方形综合练习.docx

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浙教版数学中考复习矩形菱形和正方形综合练习

2019年浙教版数学中考复习

　矩形、菱形和正方形综合练习

一．选择题

1．如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A＝∠EDF＝60°，有下列结论：

①AE＝BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE＝∠BEF.其中结论正确的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

2.如图，是边长分别为4和8的正方形ABCD、正方形CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT的长为（　　）

A．2

B．2C.

D．1

3．（2018·四川遂宁中考）下列说法正确的是（）

A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等

B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形

C．矩形的对角线互相垂直平分

D．六边形的内角和是540°

4．（2018·上海中考）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）

A．∠A＝∠BB．∠A＝∠C

C．AC＝BDD．AB⊥BC

5．（2017·山东临沂中考）在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）

A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形

B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形

C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形

D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形

6．（2017·四川广安中考）下列说法，正确的有（）

①四边相等的四边形一定是菱形

②顺次连结矩形各边中点形成的四边形一定是正方形

③对角线相等的四边形一定是矩形

④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分

A．4个B．3个C．2个D．1个

7．（2018·江苏淮安中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）

A．20B．24C．40D．48

8.（2018·四川内江中考）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为（）

A．31°B．28°C．62°D．56°

9．（2018·新疆中考）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm.现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）

A．6cmB．4cmC．3cmD．2cm

10.（2018·浙江温州中考）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（）

A．20B．24C.

D.

二．填空题

11．（2018·广东广州中考）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（－2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是________________．

12．已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为2

，则这个菱形的面积是______．

13．（2018·湖南株洲中考）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为__________．

14如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为______．

0

15．（2018·广东深圳中考）如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是______．

16．（2018·甘肃天水中考）如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为____．

17．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为________．

18．（2018·甘肃兰州中考）如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连结AC交BN于点E，连结DE交AM于点F，连结CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是__________．

19．（2018·辽宁锦州中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连结OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为______．

20．如图，正方形ABCD的边长为2

，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．

三．解答题

21．（2018·湖南张家界中考）在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.

（1）求证：

DF＝AB；

（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD.

22.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.

（1）求证：

AO＝CO；

（2）若∠OCD＝30°，AB＝

，求△AOC的面积．

23．（2018·吉林长春中考）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C，D重合），连结BE.

【感知】如图1，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.（不需要证明）

【探究】如图2，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.求证：

（1）BE＝FG；

（2）连结CM，若CM＝1，则FG的长为2.

【应用】如图3，取BE的中点M，连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG，MG.若CM＝3，则四边形GMCE的面积为________．

24.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.

（1）求证：

∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；

（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；

（3）在

（2）的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．

25．（2018·浙江绍兴中考）小敏思考解决如下问题：

原题：

如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求证：

AP＝AQ.

（1）小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：

把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2.此时她证明了AE＝AF，请你证明．

（2）受以上

（1）的启发，在原题中，添加辅助线：

如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F.请你继续完成原题的证明．

（3）如果在原题中添加条件：

AB＝4，∠B＝60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．

参考答案

1-5CABBD

6-10CADDB

11.（－5，4）

12.2

13.2.5

14.3

15.8

16.

17.6

18.3

－3

19.2

20.

21.

（1）证明：

在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∴∠DFA＝∠B，又∵AD＝EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF＝AB.

（2）解：

∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF，∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8.

22.解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.又由折叠可知：

∠BCA＝∠ECA，∴∠DAC＝∠ECA，∴AO＝CO.

（2）在Rt△COD中，∠D＝90°，∠OCD＝30°，∴OD＝

OC.又∵CD＝AB＝

，∴由勾股定理得（

OC）2＝OC2－（

）2，∴OC＝2（负值已舍去），∴AO＝OC＝2，∴S△AOC＝

AO·CD＝

×2×

＝

.

23.解：

【感知】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCE＝∠ABC＝90°，

∴∠ABE＋∠CBE＝90°.∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°，∴∠BAF＝∠CBE.在△ABF和△BCE中，

∴△ABF≌△BCE（ASA）．

【探究】证明：

（1）如图，过点G作GP⊥BC于P.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，∴四边形ABPG是矩形，∴PG＝AB，∴PG＝BC.同感知的方法得∠PGF＝∠CBE，在△PGF和△CBE中，

∴△PGF≌△CBE（ASA），∴BE＝FG.

（2）由

（1）知，FG＝BE，如图，连结CM.∵∠BCE＝90°，点M是BE的中点，∴BE＝2CM＝2，∴FG＝2.

【应用】9

24.解：

（1）证明：

在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC.

在△ABF和△ADF中，

∴△ABF≌△ADF，∴∠AFD＝∠AFB.又∵∠AFB＝∠CFE，

∴∠AFD＝∠CFE.

（2）证明：

∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又由

（1）知∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.

又∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形．

（3）当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD.理由：

∵由

（2）知四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，∠BCF＝∠DCF.又CF＝CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF.又∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°.∴∠BCD＋∠CBF＝90°，∠EFD＋∠CDF＝90°.又∵∠CBF＝∠CDF，∴∠EFD＝∠BCD.

25.

（1）证明：

∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＋∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD.∵∠EAF＝∠B，∴∠EAF＋∠C＝180°，∴∠AEC＋∠AFC＝180°.∵AE⊥BC，∴AF⊥CD，在△AEB和△AFD中，

∴△AEB≌△AFD，∴AE＝AF.

（2）证明：

由

（1）得∠PAQ＝∠EAF＝∠B，AE＝AF，

∴∠EAP＝∠FAQ，在△AEP和△AFQ中，

∴△AEP≌△AFQ，∴AP＝AQ.

（3）解：

答案不唯一．已知：

AB＝4，∠B＝60°，求四边形APCQ的面积．

解：

如图，连结AC，BD交于O.∵∠ABC＝60°，BA＝BC，∴△ABC为等边三角形．∵AE⊥BC，∴BE＝EC.同理，CF＝FD，∴四边形AECF的面积＝

×四边形ABCD的面积，由

（2）得四边形APCQ的面积＝四边形AECF的面积，OA＝

AB＝2，OB＝

AB＝2

，∴四边形ABCD的面积＝

×2×2

×4＝8

，

∴四边形APCQ的面积＝4

.