专题15 8字型模型与燕尾模型解析版.docx

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专题158字型模型与燕尾模型解析版

中考常考几何模型

专题15“8字型”模型与“燕尾”模型

模型一“8字型”模型与飞镖模型

1、角的“8”字模型

如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC。

结论：

∠A+∠D=∠B+∠C。

模型二“燕尾”模型

如图所示，有结论：

∠D=∠A+∠B+∠C。

模型精练：

一．填空题

1．（2019•越秀区校级月考）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是　180°　．

【点睛】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠4＝∠A+∠2，∠2＝∠D+∠C，进而利用三角形的内角和定理求解．

【解析】解：

如图可知

：

∵∠4是三角形的外角，

∴∠4＝∠A+∠2，

同理∠2也是三角形的外角，

∴∠2＝∠D+∠C，

在△BEG中，∵∠B+∠E+∠4＝180°，

∴∠B+∠E+∠A+∠D+∠C＝180°．

故答案为：

180°．

2．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　720°　．

【点睛】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠2与∠H、∠G的关系，∠1与∠2、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案．

【解析】解：

如图：

由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得

∠2＝∠H+∠G，∠1＝∠2+∠D，

∠1＝∠H+∠G+∠D，

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H

＝∠A+∠B+∠C+∠E+∠F+∠H+∠G+∠D

＝180°×（6﹣2）

＝270°．

故答案为：

720°．

3．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　360°　．

【点睛】连接CF，根据三角形的外角得到由三角形外角的性质可得：

∠2＝∠G+∠H，∠3＝∠A+∠B，∠1＝∠D+∠E＝∠4+∠5，根据四边形的内角和为360°，可得：

∠2+∠3+∠GFE+∠4+∠5+∠DCB＝360°即∠G+∠H+∠A+∠B+∠GFE+∠D+∠E+∠DCB＝360°．

【解析】解：

如图，连接FC，

由三角形外角的性质可得：

∠2＝∠G+∠H，

∠3＝∠A+∠B，

∠1＝∠D+∠E＝∠4+∠5，

根据四边形的内角和为360°，可得：

∠2+∠3+∠GFE+∠4+∠5+∠DCB＝360°

即∠G+∠H+∠A+∠B+∠GFE+∠D+∠E+∠DCB＝360°，

故答案为360°．

4．（2019•鄂城区校级月考）如图，求图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I度数的和为　540°　．

【点睛】如图所示，由三角形外角的性质可知：

∠A+∠B+∠C＝∠IKD，∠E+∠F+∠G＝∠HND，然后由多边形的内角和公式可求得答案．

【解析】解：

如图所示：

由三角形的外角的性质可知：

∠A+∠B＝∠AJC，∠AJC+∠C＝∠IKD，

∴∠A+∠B+∠C＝∠IKD．

同理：

∠E+∠F+∠G＝∠HND．

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠I+∠H＝∠IKD+∠D+∠HND+∠I+∠H＝（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°，

故答案为：

540°．

5．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为　1080°　．

【点睛】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7﹣2）×180°＝900°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠1+∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠H＝180°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）+∠5+∠6+∠H＝900°+180°，即可得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数．

【解析】解：

连KF，GI，如图，

∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7﹣2）×180°＝900°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K＝900°﹣（∠1+∠2），

即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠1+∠2）＝900°，

∵∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠H＝180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）＝900°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）+∠5+∠6+∠H＝900°+180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K＝1080°．

故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为1080°．

故答案为：

1080°．

6．（2019•鼓楼区校级月考末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于　180°　．

【点睛】根据三角形外角的性质可知∠B+∠A＝∠1，∠D+∠E＝∠2，再根据三角形内角和定理即可得出结论．

【解析】解：

如图，

∵∠B+∠A＝∠1，∠D+∠E＝∠2，

∵∠1+∠2+∠C＝180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．

故答案为：

180°．

7．（2019•江阴市校级期中）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝　900°　．

【点睛】根据多边形的内角和，可得答案．

【解析】解：

连EF，GI，如图

，

∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝720°﹣（∠1+∠2），

即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+（∠1+∠2）＝720°，

∵∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠H＝180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F∠H+（∠3+∠4）＝900°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F（∠3+∠4）+∠5+∠6+∠H＝720°+180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝900°，

故答案为：

900°．

8．（2019•博野校级月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　180°　．

【点睛】先根据三角形外角的性质得出∠CFB＝∠A+∠C，∠BGF＝∠D+∠E，再由三角形内角和定理即可得出结论．

【解析】解：

∵∠CFB是△ACF的外角，∠BGF是△DEG的外角，

∴∠CFB＝∠A+∠C，∠BGF＝∠D+∠E，

∵∠B+∠CFB+∠BGF＝180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．

故答案为：

180°．

9．（2019•兴化市校级月考）如右图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　360°　．

【点睛】根据三角形的外角性质可得∠BNP＝∠A+∠B，∠DPQ＝∠C+∠D，∠FQM＝∠E+∠F，∠HMN＝∠G+∠H，再根据多边形的外角和定理即可求解．

【解析】解：

由图形可知：

∠BNP＝∠A+∠B，∠DPQ＝∠C+∠D，∠FQM＝∠E+∠F，∠HMN＝∠G+∠H，

∵∠BNP+∠DPQ+∠FQM+∠HMN＝360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝∠BNP+∠DPQ+∠FQM+∠HMN＝360°．

故答案为：

360°．

10．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．

【点睛】根据三角形内角和外角的性质可得：

∠G+∠D＝∠3，∠F+∠C＝∠4，∠E+∠H＝∠2，再根据三角形内角和定理可得答案．

【解析】解：

∵∠G+∠D＝∠3，∠F+∠C＝∠4，∠E+∠H＝∠2，

∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H＝∠3+∠4+∠2，

∵∠B+∠2+∠1＝180°，∠3+∠5+∠A＝180°，

∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3＝360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝360°．

11．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．

【点睛】如图所示，由三角形外角的性质可知：

∠A+∠B＝∠IJL，∠C+∠D＝∠MLJ，∠H+∠K＝∠GIJ，∠E+∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案．

【解析】解：

如图所示：

由三角形的外角的性质可知：

∠A+∠B＝∠IJL，∠C+∠D＝∠MLJ，∠H+∠K＝∠GIJ，∠E+∠F＝∠GML，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K＝∠IJL+∠MLJ+∠GML+∠G+∠GIJ＝（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°．

12．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的和．

【点睛】如图所示，由三角形外角的性质可知：

∠A+∠B+∠C＝∠IKD，∠E+∠F+∠G＝∠HND，然后由多边形的内角和公式可求得答案．

【解析】解：

如图所示：

由三角形的外角的性质可知：

∠A+∠B＝∠AJC，∠AJC+∠C＝∠IKD，

∴∠A+∠B+∠C＝∠IKD．

同理：

∠E+∠F+∠G＝∠HND．

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠I+∠H＝∠IKD+∠D+∠HND+∠I+∠H＝（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°．

13．

（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；

（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；

（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．

【点睛】

（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B+∠C＝∠BAD+∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，

（2）与

（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，

（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和，

【解析】解：

（1）如图①，连接AD，

由三角形的内角和定理得，∠B+∠C＝∠BAD+∠CDA，

∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝∠BAF+∠BAD+∠CDA+∠D+∠E+∠F

即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，

∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°，

（2）如图②，由

（1）方法可得：

∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，

∴∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H＝（6﹣2）×180°＝720°，

（3）如图③，根据

（1）的方法得，∠F+∠G＝∠GAE+∠FEA，

∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，

∴∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G＝（5﹣2）×180°＝540°，

14．（2019•鼓楼区校级期中）阅读材料：

如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．

结论：

若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．

结论应用举例：

如图2：

求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．

解：

连接CD，由对顶三角形的性质得：

∠B+∠E＝∠1+∠2，

在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，

即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，

∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°

即五角星的五个内角之和为180°．

解决问题：

（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　360°　；

（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　540°　；

（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　720°　；

（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　1080°　；

请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．

【点睛】

（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A+∠B＝∠BDC+∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；

（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A+∠B＝∠BED+∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；

（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH+∠BHD＝∠HDE+∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；

（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1+∠2＝∠NGH+∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论．

【解析】解：

（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A+∠B＝∠BDC+∠ACD，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；

（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A+∠B＝∠BED+∠ADE，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°；

（3）连接BH、DE，

∵由对顶角三角形可知∠EBH+∠BHD＝∠HDE+∠BED，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝五边形CDEFG的内角和+△ABH的内角和＝540°+180°＝720°；

（4）连接ND、NE，

∵由对顶角三角形可知∠1+∠2＝∠NGH+∠EHG，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝六边形BCFGHM的内角和+△AND的内角和+△NDE的内角和＝（6﹣2）×180°+360°＝1080°．

故答案为：

360°；540°；720°；1080°．

15．（2019秋•长白校级月考）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．

（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图

（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；

（2）若对图

（1）中星形截去一个角，如图

（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；

（3）若再对图

（2）中的角进一步截去，你能由题

（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？

只要写出结论，不需要写出解题过程）

【点睛】

（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；

（2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；

（3）根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案．

【解析】解：

（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；

（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；

（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，

所以当截去5个角时增加了180×5度，

则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．