新课标全国2卷理科数学.docx
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新课标全国2卷理科数学
2016年普通高等学校招生全国统一考试（新课标H）
理科数学
注意事项:
1•本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分•第I卷1至3页，第H卷3至5页.
2•答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置
3•全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回
第I卷
、选择题：
本大题共
12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.
2.
3.
4.
5.
已知z（m3）（m1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
（A）3，1（B）1，3（C）1,+（D）-，3
已知集合A{1,2,3}，B{x|（x1）（x2）0，xZ}，则AUB
（A）1（B）{1,2}
（C）0，1,2，3（D）{1，0，1，2，3}
rr口r
已知向量a（1,m），b=（3,2），且（a
（A）8（B）6（C）6（D）8
22
圆xy2x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a=
43厂
（A）（B）（C）3（D）2
34
如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者
活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
=m贝rb
」III」
（A）24（B）18（C）12（D）9
6.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）20n（B）24n（C）28n（D）32n
8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图•执行该
则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
则E的离心率为
（A）2
3
（B）2
（C）
3
（D）2
12.已知函数fx
xR满足f
x
2f
x，若函数y
x1.
与y
X
fX图像的交点
为X1,y1,
X2,y2,?
Xm
ym
m
，贝yXiy,
i1
（）
（A）0
（B）m
（C）2m
（D）4m
第口卷
为选考题。
考生根据要求作答
、选择题：
本题共4小题，每小题5分。
13.
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA
cosC
13，a
①如果mn，
m
，n//
，那么
②如果m，
n//
，那么
mn.
③如果a//，
m
，那么
m//.
④如果m//n，
//
，那么
m与所成的角和n与所成的角相等
其中正确的命题有•（填写所有正确命题的编号）
15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片
后说：
我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：
我与丙的卡片上相同的数字不
是1”，丙说：
我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是
16.若直线ykxb是曲线yInx2的切线，也是曲线yInx1的切线，b.
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
S为等差数列an的前n项和，且印1，328•记bnlgan，其中x表示不超过x的最大
整数，如0.90，Ig991.
（I）求b，g，bw1；
（n）求数列bn的前1000项和.
18.（本小题满分12分）
某险种的基本保费为a（单位：
元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费
与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
>5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内出险次数
0
1
2
3
4
>5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（n）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（川）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19.（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点0，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上,
22
已知椭圆E：
Xy1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k0）的直线交E于A,M两t3
点，点N在E上，MA丄NA.
（I）当t4,|AM|｝叫时，求从皿”的面积；
（II）当2AM\|AN时，求k的取值范围•
21.（本小题满分12分）
x2
（I）讨论函数f（x）e的单调性，并证明当x0时，（x2）exx20;
x2
x
（II）证明：
当a[0,1）时，函数gx=一（x0）有最小值•设gx的最小值为h（a）,求函数
x
h（a）的值域•
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分，做答时请写清题号
22.（本小题满分10分）选修4-1:
几何证明选讲
如图，在正方形ABCD,E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合），且DE=DG,过D点作DF丄CE,垂足为F.
（I）证明：
B,C,G,F四点共圆；
（II）若AB1,E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
23.（本小题满分10分）选修4—4:
坐标系与参数方程
.2
在直线坐标系xOy中，圆C的方程为x6y225.
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
xtCOS||
（II）直线l的参数方程是…（t为参数），1与C交于A、B两点，AB10，求I的斜率.
ytsin
24.
（本小题满分10分），选修4—5:
不等式选讲
已知函数fx
x2的解集
（I）求M；
（II）证明：
当a,bM时，ab1
ab
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案及解析
1.
【解析】
A
m
30,
m1
0，二
3
m1,故选
A.
2.
【解析】
C
B
x
x1
x2
0,x
Z
x1x
2,xZ
B0，1AUB0,1,2,3,故选C.
3.【解析】D
rr
ab4,m2,
解得m8,
故选D.
4.【解析】A
._2222
圆xy2x8y130化为标准方程为：
x1y44,
la414
故圆心为1,4,d21，解得a-,
Va13
故选A.
5.
【解析】B
故选B.
6.【解析】C
几何体是圆锥与圆柱的组合体,
设圆柱底面圆半径为r，周长为c,圆锥母线长为I，圆柱高为h.
2由图得r2,c2n4n,由勾股定理得：
I•222；34,
1
S表n2chcl4n16n8n28n,表2
故选C.
7.【解析】B
冗
平移后图像表达式为y2sin2X匸,
nn
令2x芯kn+-,得对称轴方程:
故选B.
8.【解析】C
第一次运算：
s0
2
2
2,
第二次运算：
s2
2
2
6，
第三次运算：
s6
2
5
17，
故选C.
9.【解析】
D
•/cos—
3
sin
2
cos-2
2cos2上
1上
4
5，
2
4
25
故选D.
10.【解析】
C
由题意得：
x,yi1,2,
n在如图所示方格中，而平方和小于
1的点均在
11.【解析】A
故选A•
12.【解析】B
由fx
2fX得fX
关于
0,1
对称，
而y』
11
1也关于
0,1
对称,
x
X
•••对于每-
「组对称点Xi
X'0
y
y'=2,
m
Xj
i1
mm
yXi
i1i1
y0
2m
2
m，故选B
如图所示的阴影中
故甲（1,
解得
X1
2
X2
2
b
In石1
1In2.
17.
【解析】
⑴设an
的公差为d
S7■
7a4
28,
・・a4
4,.
a4ai
d
3
1,
・an
a1（n
1）d
n.
.b1
Iga
Ig10,
bn
Igan
Ig11
1,
bi01
⑵记
bn的前n项和为Tn,
则T1000
bb2
1^1000
Igaeoo.
Iga1Iga2
IgQ01Ig1012.
当lgan
3时，n1000.
…tooo
091902900311893.
18.【解析】⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A,
P（A）1P（A）1（0.300.15）0.55.
⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件B,
⑶解：
设本年度所交保费为随机变量X.
X
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
平均保费
EX0.850.300.15a1.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.05
0.255a0.15a0.25a0.3a0.175a0.1a1.23a,•••平均保费与基本保费比值为1.23.
5
19.【解析】⑴证明：
TAECF-,
4
•AE
CF
…AD
CD，
•EFII
AC.
•••四边形ABCD为菱形,
•AC
BD,
•EF
BD,
•EF
DH,
•EF
DH.
•/AC
6,
•AO
3；
又AB
5,AOOB,
•OB
4,
OH
AEOD
AO
1,
DH
DH3,
2
OD|
OH
D'H,
D'H
OH.
又•••OHIEFH,
•••D'H面ABCD.
⑵建立如图坐标系Hxyz.
B5,0,0,C
1,3,0
ULU
AB4,3,0,
UUUT
AD'
1,
设面ABD'法向量
LT
UT.n1由UT
n1
UHL
AB
UUULAD
4x
3y
3y
D'0,
UUU
AC
0
3z
ir
•n
同理可得面
AD'C的法向量
UL
n2
iLTULi
…cos
7.5
25，
2屁
…sin
25
20.【解析】⑴当t4时,
椭圆E的方程为
2
y_
3
1,A点坐标为
则直线AM的方程为ykX
联立
2
L1
3并整理得,
kx2
34k2
x216k2
x16k2
120
解得
2
8k6
4k
2，贝UAM
8k2
6
4k2
k2
12
34k2
因为
AM
AN，所以
AN
12
3k
12
~4
k
因为AM||AN,k
所以
12
34k2
1k2
12
3k4，
k
整理得
4k2
2
4k
0无实根,
所以k
所以
△AMN
的面积为
1~1
12
144
19
⑵直线AM的方程为ykx
2
x
联立t
2
乂1
3
kxt
并整理得,
tk2
x22ttk2xt2k2
3t
解得x
所以AM
1k2
ttk23t
2，
3tk
t尿23&趴
3tk2
26'Jt
tk2
所以AN
1k2
3k
因为2AM
AN
所以21
3tk2
1k2
3k
，整理得,
6k2
3
輕
k32
因为椭圆
的焦点在x轴，所以
6k2
3k
2
整理得
k2
1
k32
解得32
21.【解析】
⑴证明：
fx
•••当x
2x
xe
2
x2
2,
时，f
•••x
0时,
□e*xf0=
x2
2ex
2cx
ax2xeax
■4
x2x
x2ea
x2
使得t-2et
•RtADEFsRtACED
DFCF
DGBC
•/DEDG,CD
BC
DFCF
DGBC
•••△GDFBCF
CFB
DFG
GFB
GFC
CFB
GFC
DFG
DFC90
GFB
GCB
180.
•B,C,G,F四点共圆
（n）vE为AD中点，AB1,
1
•••DGCGDE-
2，
•••在RtAGFC中，GFGC,
连接GB,RtABCG也Rt△BFG,
23.【解析】解：
⑴整理圆的方程得x2y212110,
222
xy
由cosx可知圆C的极坐标方程为212cos110.
siny
⑵记直线的斜率为k，则直线的方程为kx
2恒成立;
fx2x，若fx
综上可得,
Mx|1
⑵当a,
1,1时,
a21
b2
即a2b2
a2b2,
则a2b2
2ab1
2abb2,
则ab
ab
证毕.
3
x
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