误差理论与测量平差基础习题集2.docx
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误差理论与测量平差基础习题集2
第五章条件平差
§5-1条件平差原理
5.1.01条件平差中求解的未知量是什么?
能否由条件方程
直接求得
5.1.02设某一平差问题的观测个数为n.必要观测数为t，若按条件平差法进行平差，其条件方程、法方程及改正数方程的个数各为多少?
5.1.03试用符号写出按条件平差法平差时，单一附合水准路线中（如图5-1所示）各观测值平差值的表达式。
图5-1
5.1.04在图5-2中，已知A,B的高程为Ha=12.123m,Hb=11.123m,观测高差和线路长度为:
图5-2
S1=2km,S2=Ikm,S3=0.5krn,h1=-2.003m,h2=-1.005m,h3=-0.501m，求改正
数条件方程和各段离差的平差值。
5.1.05在图5-3的水准网中，A为已知点B、C、D为待定点，已知点高程HA=10.000m,观测了5条路线的高差:
h1=1.628m，
h2=0.821m，
h3=0.715m，
h4=1.502m，
h5=-2.331m。
各观测路线长度相等，试求:
（1）改正数条件方程;
（2）各段高差改正数及平差
值。
5.1.06有水准网如图5-4所示，其中A、B、C三点高程未知，现在其间进行了水准测
量，测得高差及水准路线长度为
h1=1.335m，S1=2km;
h2=1.055m，S2=2km;
h3=-2.396m，S3=3km。
试按条件平差法求各高差的平差值。
2.1.07如图5-5所示，L1=63°19′40″，=30″；L2=58°25′20″,=20″；
L3=301°45′42″，=10″.
（1）列出改正数条件方程;
（2）试用条件平差法求∠C的平差值（注:
∠C是指内角）。
5-2条件方程
5.2.08对某一平差问题，其条件方程的个数和形式是否惟一?
5.2.09列立条件方程时要注意哪些问题?
如何使得一组条件方程彼此线性无关?
5.2.10指出图5-6中各水准网条件方程的个数（水准网中Pi表示待定高程点，hi表
示观测高差）。
（a）（b）
图5-6
5.2.11指出图5-7中各测角网按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数（图
中Pi为待定坐标点）。
（2）（b）
（3）（d）
图5-7
5.2.12指出图5-8中各测角网按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数（图
中Pi为待定坐标点，~si为已知边，~ai为已知方位角）。
（a）（b）
（4）（d）
图5-8
5.2.13试指出图5-9中各图形按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数（图
中pi为待定坐标点,βi为角度观测值，Si为边长观测值，-Si为已知边长，~ai为已知方位角）。
5.2.14如图5-10所示的三角网中，A、B为已知点，P1一P;为待定点，~a0为已知方位
角。
~s0为已知边长，观测了23个内角，试指出按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数。
5.2.15试按条件平差法列出图5-11所示的水准网的全部条件方程（Pi为待定点，hi
为观测高差）。
5.2.16在图5-12所示的GPS基线向量网中，用GPS接收机同步观测了网中5条边的基线向量（△X12△Y12△Z12）、（△X13△Y13△Z13）、（△X14△Y14△Z14）、（△X23△Y23△Z23）、（△X34△Y34△Z34），试按条件平差法列出全部条件方程。
5.2.17图5-13中，A、B为已知点，}',,J-'},P，为待定坐标点，观测了11个角度，试列出
全部平差值条件方程。
5.2.18图5-14中，.},}3为己知坐标点，P1、P2、P3为待定点，观测了12个角度和2条边长S1、S2，试列出全部平差值条件方程。
图5-9
5.2.19有如图5-15所示的三角网，B,C为已知点，观测角Li（i=1l，2，…,10），用文字符号列出全部条件式。
5.2.20如图5-16所示的三角网中，A、B为已知点，FG为已知边长，观测角Li（i=1,
2，…、20），观测边Sj=1,2），则
{1）在对该网平差时，共有儿种条件?
每种条件各有几个?
（2）用文字符号列出全部条件式（非线性不必线性化）。
5.2.21如图5-17所示，A、B为已知点，CP为已知方位角，试列出全部条件方程。
5.2.22如图5-18所示的三角网中.指出条件方程的总数和各类条件方程式的个数
并用平差值列出所有非线性条件方程。
5.2,.23如图5-19所示的三角网中，用文字符号列出全部条件式。
5.2.24如图5-20所示的测角网中，A、B为已知点，P1、P2、P3为待定点，观测了11个角度，试列出全部改正数条件方程。
5.2.25如图5-21所示的测角网中，A、B为已知点，P1、P2、P3为待定点，观测了13个角度和1条边长S，试列出全部改正数条件方程。
5.2.26有水准网如图5-22所示，试列出该网的改正数条件方程。
已知数据=31.100m,//B:
34.165m=1.001m,5i:
Lktn=1,002m，S2~2km;-0.060m,=2km；fe4=1.000m,S4=lkm；^5=0.500m,5；,=2km；A6=0.560m,5^=2km；A7-0.504m,57=2.5km；hs=1.064m，Ss=2.5kmt
5.2.27图5-23中,A、B为已知坐标点，P为待定点，观测了边长S和方位角α1、α2、α3试列出全部改正数条件方程。
5.2.28在图5-24中，已知A、B两点的坐标，P1、P2:
为待定点，同精度测得各角值如下所示:
角号
观测值
角号
观测值
角号
观测值
1
41°54′28″
4
33°43′25″
7
76°08′37″
2
48°43′33″
5
46°47′18″
3
50°45′49″
6
61°56′52″
试按条件平差法列中改正数条件方程。
5.2.29为量测一房屋面积（如图5-25所示），测该房屋四角得四个角上的坐标观测值
Xi，Yi:
X/cm
Y/cm
1
2
3
4
39.94
39.90
20.36
20.46
28.97
35.86
35.92
28.91
试列出条件方程。
5.2.30如图5-26所示，在数字化地图上进行一条道路两边（平行）的数字化，每边各
数字化了2个点，试按条件平差写出其条件方程。
§5-3精度评定
5.3.31在条件平差中，能否根据已列出的法方程计算单位权方差？
5.3.32条件平差中的轉库评定主要是解决哪些方面的问题？
图5-27
5.3.33在图5-27的△ABC中,按同精度测得L1、L2及L3，试求;
（1）平差后A角的权PA；
（2）在求平差后A角的权PA时；
若设F1=^L1或^F2=180°-^L2-^L3，最后求得的与PF1，PF2？
为什么？
（3）求A角平差前的权与平差后的权之比；（4）求平差后三角行内角和的权倒数；（5）平差后三内角之和的权倒数等于零,这是为什么？
5.3.34在图5-28中，同精度侧得L1=35°20′15",L2=
35°20′15″，L3=35°20′15″
试求平差后∠AOB的权。
5.3.35如图5-29所示的水准网中，侧得各点间高差为
h1=1.357m,h2=2.008m,h3=0.353m,h4=1.000m，h5=-0.657m,S1=1km,S2=
1km,S3=1km,.S4=1km,.S5=2km。
设C=1，试求:
（1）平差后l}}$两点间高差的权;
（2）平差后A,C两点间高差的权。
5.3.36有水准网如图5-30所示，侧得各点何高差为气hi（i=1,2……，7），已算得水准网平差后高差的协因数阵为:
Q^L=
试求:
}1）待定点A,B,C,D平差后高程的权;
（2）C,D两点间高差平差值的权。
5.3.37如图5-31所示的三角网中，A,B为已知点，
C,D,E,F为待定点，同精度观测了15个内角，试写出:
（1）图中CD边长的权函数式;
（2）平差后LB的权函数式。
5.3.38有大地四边形如图5-32所示，A,C为已知点，B,D为待定点.同精度观测了8个角度，各观测值为;
L1=63°14′25.02″，L2=23°28′50.06″，L3=23°31′29.31″，L4=69°45′14.74″，
L5=61°40′57.38″，L6=25°02′19.23″，L7=27°24′08.77″，L8=65°52′35.08″，
试列出平差后BD边的权函数式。
5.3.39如图5-33所示，试按条件平差法求证:
在单一水准路线中平差后高程最弱点在水准路线中央。
5.3.40已知条件式为AV--W=0，其中W=-AL，观测值协因数阵为Q。
现有函数式F=fT（L+V）,
（1）试求QFF
（2）试证:
V和F是互不相关的。
§5-4水准网平差示例
5.4.41在进行水准网平差时，当网形及观测路线或方案确定后，能否在观测前估计出网中的精度最弱点?
5.4.42如图5-34所示的水准网中，A,B,C为已知点，HA=12.000m,HB=12.500m,
HC=14.OOOm;高差观测值h1=2.500m,h2=2.000m,h3=I.352m,h4=1.851m;S1=1km,S2=1km,S3=2km,S4=1km,试按条件平差法求高差的平差值^h及P2点的精度P2。
5.4.43有水准网如图5-35所示，A,B,C,D均为待定点:
独立同精度观测.了6条路线的高差:
h1=1.576m，h2=2.215m，h3=-3.800m，
h4=0.871m，h5=-2.438m，h6=-1.350m
试按条件平差法求各高差的平差值。
5.4.44在水准网（如图5-36所示）中，观到高差及路线长度见下表:
序号
观测高差/m
路线长/km
h1
10.356
1.0
h2
15.000
1.0
h3
20.360
2.0
h4
14.501
2.0
h5
4.651
1.0
h6
5.856
1.0
h7
10.500
2.0
HA=50.000m，
HB=40.000m，
试用条件平差法求:
（1）各高差的平差值;
（2）平差后P1到P2点间高差的中误差。
5.4,45水准网（如图5-37所示）的观测高差及水准路线长度见下表:
观测值号
观测高差/m
路线长/km
h1
+189.404
3.1
h2
+736.977
9.3
h3
+376.607
59.7
h4
+547.576
6.2
h5
+273.528
16.1
h6
+187.274
35.1
h7
+274.082
12.1
h8
+86.261
9.3
到E点平差后高差的中误差（3）E
点到C点平差后高差的中误差。
§5-5综合练习题
5.5.46有三角形如图5-38所示，L1～L4为独立同精度角度观测值，试按条件平差法导出L3的平差值。
5.5.47如图5-39所示，一矩形两边的独立同精度观测值L=[L1L2]T=[8.60
8.50]Tcm，已知矩形的对角线为10cm（无误差），求平差后矩形的面积^S及精度
5.5.48在图5-40所示的直角三角形ABA中，为确定C点坐标观测了边长S1，S2和角度β。
得观测值列于下表，试按条件平差法求
（1）观侧值的平差值;
（2）C点坐标的估值。
观测值
中误差
β
45°00′00″
10″
S1
215.456m
2cm
S2
152.311m
3cm
5.5.49在图5-41所示的三角形ABC中，侧得下
列观测值;
β1=52°30'20"，
β2=56°18'20"，
β3=71°11'40"
S1=135.622m
S2=119.168m
设测角中误差为10"，边长观测值的中误差为2.0cm.
（1）试按条件平差法列出条件方程;
（2）试计算观测角度和边长的平差值。
5.5.50有独立边角网如图5-42所示.边长观测值为S1～S5，角度观测值为β1～β4其观测数据见下表:
边长
观测值/m
角度
角度观测值
°′″
S1
2107.828
β1
591606
S2
3024.716
β2
440756
S3
2751,089
β3
364750
S4
4278.366
β4
584026
S5
3499.112
β5
已知β=0.7″，s=5mm+10-6·S。
若按条件平差法平差
（1）列出全部条件方程式;
（2）求出观测值的改正数及平差值。
5.5.51有平面直角三角形ABC如图5-43所示，测出边长S1,S2和角度β，其观侧值及其中误差为:
S1=416.046m,s1=2.0cm
S2=202.116m,s2=1.2cm
β=29°03'43",β=8.0″
（1}试按条件平差列出条件方程式;
（2）求出观测值的平差值及其协因数阵与协方差阵。
5.5.52在图5-44中，B点和C点的位置已知为固定值（见下表），测得下列独立观测
值
β1=17°11′16″,β1=10″
β2=119°09′26″,β1=10″
β3=43°38′50″,β1=3+10-6×2×5
S1=1404.608m,β1=10
点号
X/m
Y/m
B
1000.000
1000.000
C
714.754
1380.328
S2=1110.086m
（1）试按条件平差求各观测值的平差值;
（2）试求A点坐标的最小二乘估值及其协方差阵。
5.5.53在单一附合导线（如图5-45所示）上观侧了4个左角和3条边长，B,C为已知
点，p1、p2为待定导线点，已知起算数据为:
XB=203020.384m,,YB=-59049.801m，
Xc=203059.503m，YC=-59796.549m，
αAB=226°44'59",αCD=324°46'03"
观侧值为:
角号
观测值
°′″
边号
边长/m
β1
β2
β3
β4
2303237
1800042
1703922
2364837
S1
S2
S3
204.953
200.130
345.153
观测值的测角中误差β=5″
边长中误差s1=0.5mm（s1以m为单位）。
试按条件平差法:
（1）列出条件方程式;
（2）组成法方程;
（3）求联系数K及改正数V平差值^L
5.5.54图5-46中，A,B,C,D为已知点，p1一p3为待定导线点，观测了5个左角和4条边长，已知点数据为:
X/m
Y/m
A
B
C
D
599.951
704.816
747.166
889.339
224.856
141.165
572.726
622.134
观测值为：
βi
观测值
°′″
边号
边长/m
1
741030
1
143.825
2
2790512
2
124.777
3
675529
3
188.950
4
2761011
4
117.338
5
802346
观测值的测角中误差β=2"边长中误差Si=0.2（Si以m为单位）。
试按条件平
差法:
[1）列出条件方程;
（2）写出法方程;
（3）求出联系数K观测值改正数V及平差值^L
5.5.55有闭合导线如图5-47所示，观测4条边长和5个左转折角，已知测角中误差β=5″边长中误差按Si=3mm+2×10-8Si计算（Si以km为单位），起算数据为:
XA=2272.045m,YA=5071.330m，
XB=2343.8951m，YB=5140.8826m。
观测值如下:
角号
角度观测值β
°′″
边号
观测值/m
1
924943
1
805.191
2
3164358
2
269.486
3
2050816
3
272.718
4
2293306
4
441.596
5
试按条件平差:
（1}列条件方程;
}2）求改正数V和平差值L
（3）求导线点2,3,4的坐标平差值及点位精度。
5.5.56图5-48为一闭合导线,A,B为已知点P1-P3为待定导线点、已知点数据为:
X/m
Y/m
A
B
803.632
923.622
471.894
450.719
观测了7个角和6个边长，观测值为：
βi
观测角
°′″
边号
边长/m
1
2
3
4
5
6
7
2302850
1095040
1321850
1240235
1105751
994956
2723111
1
2
3
4
5
6
99.432
107.938
119.875
121.970
153.739
139.452
观测值的侧角中误差β=6'"边长中误差Si=0.5mm（Si以m为单位）。
试按条件平差法:
（i）列出条件方程;
（2）写出法方程;
（3）求出联系数K、观测值改正数Y及平差值L.
5.5.57有闭合导线如图5-49所示，观测8条边长和9个左转折角。
已知测角中误差β=，边长中误差Si=3mm+2x10-6Si,已知起算数据为:
XA=2272.045mXB=2343.8951m
YA=5071.331mYB=5410.8826m
βi
观测值
°′″
边号
边长/m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
263554
1932558
2691524
1383208
2873628
2140746
2050828
2354432
2293209
1
2
3
4
5
6
7
8
250.872
259.454
355.886
318.658
258.776
269.484
272.719
441.598
试按条件平差:
（1}列条件方程;
（2）求改正数V和平差值^L
（3）求各导线点的坐标平差值^Xi，^Yi（i=2,3…8）及点位精度。
5,5.58有一闭合导线网如图5-50所示.A,B为已知点,P1-P5为待定导线点，已知点数据为：
X/m
Y/m
A
B
730.024
881.272
270.230
181.498
观测了11个角和7个边长，观测值为：
βi
观测值
°′″
Si
观测边长/m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1523300
1104748
484825
1472250
2602801
584818
2372256
2490940
2580002
2491220
2072651
1
2
3
4
5
6
7
208.421
252.692
178.188
217.980
224.689
192.104
188.105
观测值的测角中误差β=4"，边长中误差Si=0.5mm（Si以m为单位）。
试按条件平差法.
（1）列出条件方程;
}2）写出法方程;
（3）求出联系数K观测值改正数V及平差值L
5.5.59如图5一51所示，对一直角房屋进行了数字化，其坐标观侧值见下表，试按条件平差法求平差后各坐标的平差值和点位精度。
1
2
3
4
5
6
X/m
1579.393
4577.929
4569.558
4570.245
4571.200
4572.028
Y/m
2595.182
2602.830
2601.099
2597.168
2579.374
2593.619
5.5.60有一GPS网如图5-52所示，1点为已知点，2,3,4点为待定坐标点，现用GPS接收机观测了5条边的基线向量（△Xij△Yij△Zij）.
已知1点的坐标为;
X1=-I054581.2761m,Y1=-5706987,1397m,Z1=2638873.8152mo
基线向量观测值及其协因数为:
编
号
起
点
终
点
基线向量观测值/m
基线协因数阵
△X△Y△Z
1
1
2
85.4813
-59.5931
120.1951
0.009997-0.003934
对0.024978
称
-0.002834
0.008615
0.007906
2
1
3
2398.0674
-719.8051
2624.2292
0.009822-0.003794
对0.024366
称
-0.002777
0.008424
0.007081
3
2
3
2312.5960
-660.2012
2504.0334
0.009375-0.004329
对0.022359
称
-0.002783
0.008124
0.007655
4
2
4
2057.6576
-645.2884
2265.7065
0.011729-0.00024
对0.034331
称
-0.002532
0.009255
0.007819
5
3
4
-254.9616
14.9260
238.3142
0.011691-0.000438
对0.034529
称
-0.002528
0.009406
0.007855
设各基线向量耳相碑立，试用燕件平差传声
（1）条件方程
（2）法方程;
（3）基线向量改正数
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