高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 84 直线平面平行的判定与性质教师用书 理 新人教版.docx

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高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量84直线平面平行的判定与性质教师用书理新人教版

第八章立体几何与空间向量8.4直线、平面平行的判定与性质教师用书理新人教版

1．线面平行的判定定理和性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简记为“线线平行⇒线面平行”）

∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α

性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”）

∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”）

∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β

性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b

【知识拓展】

重要结论：

（1）垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；

（2）垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；

（3）平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．（　×　）

（2）若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．（　×　）

（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（　×　）

（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．（　√　）

（5）若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.（　×　）

（6）若α∥β，直线a∥α，则a∥β.（　×　）

1．（教材改编）下列命题中正确的是（　　）

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

答案　D

解析　A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．

2．设l，m为直线，α，β为平面，且l⊂α，m⊂β，则“l∩m＝∅”是“α∥β”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝∅”是“α∥β”的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝∅是α∥β的必要不充分条件．

3．（2016·济南模拟）平面α∥平面β的一个充分条件是（　　）

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

答案　D

解析　若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.

4．（教材改编）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．

答案　平行

解析　连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，

则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，

所以BD1∥平面ACE.

5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．

答案　平行四边形

解析　∵平面ABFE∥平面DCGH，

又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，

∴EF∥HG.同理EH∥FG，

∴四边形EFGH的形状是平行四边形.

题型一　直线与平面平行的判定与性质

命题点1　直线与平面平行的判定

例1　如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝

AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．

（1）求证：

AP∥平面BEF；

（2）求证：

GH∥平面PAD.

证明　

（1）连接EC，

∵AD∥BC，BC＝

AD，

∴BC綊AE，

∴四边形ABCE是平行四边形，

∴O为AC的中点．

又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，

FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，

∴AP∥平面BEF.

（2）连接FH，OH，

∵F，H分别是PC，CD的中点，

∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.

又∵O是BE的中点，H是CD的中点，

∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.

又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.

又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.

命题点2　直线与平面平行的性质

例2　（2017·长沙调研）如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2

.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

（1）证明：

GH∥EF；

（2）若EB＝2，求四边形GEFH的面积．

（1）证明　因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，

且平面PBC∩平面GEFH＝GH，

所以GH∥BC.

同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.

（2）解　如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.

因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，

同理可得PO⊥BD.

又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，

所以PO⊥底面ABCD.

又因为平面GEFH⊥平面ABCD，

且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.

因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，

所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，

从而GK⊥EF.

所以GK是梯形GEFH的高．

由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，

从而KB＝

DB＝

OB，即K为OB的中点．

再由PO∥GK得GK＝

PO，

即G是PB的中点，且GH＝

BC＝4.

由已知可得OB＝4

，

PO＝

＝

＝6，

所以GK＝3.

故四边形GEFH的面积S＝

·GK

＝

×3＝18.

思维升华　判断或证明线面平行的常用方法

（1）利用线面平行的定义（无公共点）；

（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）；

（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；

（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．

　如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：

四边形EFGH是矩形．

证明　∵CD∥平面EFGH，

而平面EFGH∩平面BCD＝EF，

∴CD∥EF.

同理HG∥CD，∴EF∥HG.

同理HE∥GF，

∴四边形EFGH为平行四边形．

∴CD∥EF，HE∥AB，

∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角（或补角）．

又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.

∴平行四边形EFGH为矩形．

题型二　平面与平面平行的判定与性质

例3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

证明　

（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

∴GH是△A1B1C1的中位线，

∴GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC，

∴GH∥BC，

∴B，C，H，G四点共面．

（2）∵E，F分别是AB，AC的中点，

∴EF∥BC.

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

∵A1G綊EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，

∴A1E∥GB.

∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG.

∵A1E∩EF＝E，

∴平面EFA1∥平面BCHG.

引申探究

1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：

HD∥平面A1B1BA.

证明　如图所示，连接HD，A1B，

∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，

∴HD∥A1B，

又HD⊄平面A1B1BA，

A1B⊂平面A1B1BA，

∴HD∥平面A1B1BA.

2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：

平面A1BD1∥平面AC1D.

证明　如图所示，连接A1C交AC1于点M，

∵四边形A1ACC1是平行四边形，

∴M是A1C的中点，连接MD，

∵D为BC的中点，

∴A1B∥DM.

∵A1B⊂平面A1BD1，

DM⊄平面A1BD1，

∴DM∥平面A1BD1.

又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，

∴四边形BDC1D1为平行四边形，

∴DC1∥BD1.

又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，

∴DC1∥平面A1BD1，

又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，

∴平面A1BD1∥平面AC1D.

思维升华　证明面面平行的方法

（1）面面平行的定义；

（2）面面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

（4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

（5）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

　（2016·许昌三校第三次考试）如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：

（1）BE∥平面DMF；

（2）平面BDE∥平面MNG.

证明　

（1）如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，

连接MO，则MO为△ABE的中位线，

所以BE∥MO.

因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，

所以BE∥平面DMF.

（2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，

所以DE∥GN.

因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

因为M为AB的中点，

所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN.

因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，

所以BD∥平面MNG.

因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，

所以平面BDE∥平面MNG.

题型三　平行关系的综合应用

例4　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？

若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

解　方法一　存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.

下面给出证明：

如图，取BB1的中点F，连接DF，

则DF∥B1C1，

∵AB的中点为E，连接EF，ED，

则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，

∴平面DEF∥平面AB1C1.

而DE⊂平面DEF，

∴DE∥平面AB1C1.

方法二　假设在棱AB上存在点E，

使得DE∥平面AB1C1，

如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，ED，则DF∥B1C1，

又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，

∴DF∥平面AB1C1，

又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，

∴平面DEF∥平面AB1C1，

∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，

又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，

∴EF∥AB1，

∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．

即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.

思维升华　利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．

　如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？

解　∵AB∥平面EFGH，

平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH.

∴AB∥FG，AB∥EH，

∴FG∥EH，同理可证EF∥GH，

∴截面EFGH是平行四边形．

设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α（α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角）．

又设FG＝x，GH＝y，则由平面几何知识可得

＝

，

＝

，两式相加得

＋

＝1，即y＝

（a－x），

∴S▱EFGH＝FG·GH·sinα

＝x·

·（a－x）·sinα＝

x（a－x）．

∵x>0，a－x>0且x＋（a－x）＝a为定值，

∴

x（a－x）≤

，当且仅当x＝a－x时等号成立．

此时x＝

，y＝

.

即当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大．

5．立体几何中的探索性问题

典例　（12分）如图，在四棱锥S－ABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，tan∠SDA＝

.

（1）求四棱锥S－ABCD的体积；

（2）在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明．

规范解答

解　

（1）∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝

，SA＝2，

∴AD＝3.[2分]

由题意知四棱锥S－ABCD的底面为直角梯形，且SA＝AB＝BC＝2，

VS－ABCD＝

·SA·

·（BC＋AD）·AB

＝

×2×

×（2＋3）×2＝

.[6分]

（2）当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥平面SAB.[8分]

证明如下：

取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近A的三等分点为F，连接CE，EF，BF，

则EF綊

AD，BC綊

AD，

∴BC綊EF，∴CE∥BF.[10分]

又∵BF⊂平面SAB，CE⊄平面SAB，

∴CE∥平面SAB.[12分]

解决立体几何中的探索性问题的步骤：

第一步：

写出探求的最后结论；

第二步：

证明探求结论的正确性；

第三步：

给出明确答案；

第四步：

反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．

1．（2017·保定月考）有下列命题：

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；

④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．

其中真命题的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　A

解析　命题①：

l可以在平面α内，不正确；命题②：

直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③：

a可以在平面α内，不正确；命题④正确．故选A.

2．（2016·滨州模拟）已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是（　　）

A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥β

C．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2

答案　D

解析　由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.故选D.

3．对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是（　　）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m∥α，n⊂α，则m∥n

C．若m∥α，n⊥α，则m∥n

D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

答案　D

解析　对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．

4．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是（　　）

A．垂直B．相交不垂直

C．平行D．重合

答案　C

解析　如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.

5．（2016·全国甲卷）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________．（填写所有正确命题的编号）

答案　②③④

解析　当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.

6．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．

①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.

可以填入的条件有________．

答案　①或③

解析　由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．

7．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.

答案　Q为CC1的中点

解析　假设Q为CC1的中点．

因为P为DD1的中点，

所以QB∥PA.

连接DB，因为O是底面ABCD的中心，

所以D1B∥PO，

又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，且PA∩PO于P，

所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，

又D1B∩QB于B，所以平面D1BQ∥平面PAO.

故点Q满足条件，Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.

8．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：

①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是________．（填命题的序号）

答案　①③

解析　由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．

9.如图，空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．

答案　（8,10）

解析　设

＝

＝k，∴

＝

＝1－k，

∴GH＝5k，EH＝4（1－k），∴周长＝8＋2k.

又∵0

*10.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．

答案　

解析　如图，取AC的中点G，

连接SG，BG.

易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，

故AC⊥平面SGB，

所以AC⊥SB.

因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，

则SB∥HD.

同理SB∥FE.

又D，E分别为AB，BC的中点，

则H，F也为AS，SC的中点，

从而得HF綊

AC綊DE，

所以四边形DEFH为平行四边形．

又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，

所以DE⊥HD，

所以四边形DEFH为矩形，

其面积S＝HF·HD＝（

AC）·（

SB）＝

.

11.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：

（1）EG∥平面BB1D1D；

（2）平面BDF∥平面B1D1H.

证明　

（1）取B1D1的中点O，连接GO，OB，

易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥EG，

由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.

（2）由题意可知BD∥B1D1.

如图，连接HB、D1F，

易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.

又B1D1∩HD1＝D1，

BD∩BF＝B，

所以平面BDF∥平面B1D1H.

12.如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC＝PD＝2，E为PC的中点，CB＝3CG.

（1）求证：

PC⊥BC；

（2）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？

若存在，求AM的长；若不存在，请说明理由．

（1）证明　因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

所以PD⊥BC.

因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥CD.

又PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD.

因为PC⊂平面PDC，所以PC⊥BC.

（2）解　连接AC，BD交于点O，连接EO，GO，

延长GO交AD于点M，连接EM，则PA∥平面MEG.

证明如下：

因为E为PC的中点，O是AC的中点，

所以EO∥PA.

因为EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，

所以PA∥平面MEG.

因为△OCG≌△OAM，

所以AM＝CG＝

，

所以AM的长为

.

*13.如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．

（1）当

等于何值时，BC1∥平面AB1D1?

（2）若平面BC1D∥平面AB1D1，求

的值．

解　

（1）如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时

＝1.

连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.

由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，

∴点O为A1B的中点．

在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，

∴OD1∥BC1.

又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，

∴BC1∥平面AB1D1.

∴当

＝1时，BC1∥平面AB1D1.

（2）由平面BC1D∥平面AB1D1，

且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，

平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，

得BC1∥D1O，同理AD1∥DC1，

∴

＝

，

＝

，

又∵

＝1，∴

＝1，即

＝1.