人教版七年级上册期末复习满分提升突破数轴类动点相遇与追击问题一.docx

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人教版七年级上册期末复习满分提升突破数轴类动点相遇与追击问题一

人教版七年级上册期末复习满分提升突破：

数轴类动点相遇与追击问题

（一）

1．已知，数轴上点A、C对应的数分别为a、c，且满足|a+7|+（c﹣1）2020＝0，点B对应点的数为﹣3．

（1）a＝　　，c＝　　；

（2）若动点P、Q分别从A、B同时出发向右运动，点P的速度为3个单位长度/秒；点Q的速度为1个单位长度/秒，求经过多长时间P、Q两点的距离为

；

（3）在

（2）的条件下，若点Q运动到点C立刻原速返回，到达点B后停止运动，点P运动至点C处又以原速返回，到达点A后又折返向C运动，当点Q停止运动点P随之停止运动．求在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数．

2．【背景知识】数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b：

线段AB的中点M表示的数为

．

【问题情境】已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

【综合运用】

（1）A、B两点的距离为　　，线段AB的中点C所表示的数　　；

（2）点P所在的位置的点表示的数为　　，点Q所在位置的点表示的数为　　（用含t的代数式表示）；

（3）P、Q两点经过多少秒会相遇？

3．

（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　　；表示﹣3和2两点之间的距离是　　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝　　．

（2）已知A、B、C为数轴上三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍时，则称点C是（A，B）的三倍点，不是（B，A）的三倍点．若A、B点表示的数分别为﹣1，3．

①若点C是（A，B）的三倍点，求点C表示的数；

②若点C在点A的左边，是否存在使得A、B、C中恰有一个点为其余两点的三倍点．

4．已知在数轴上，点A，B分别对应数a，b，点A和点B分别位于原点O的两侧，且|a﹣b|＝15．

（1）若b＝﹣6，则a的值为　　．

（2）若OA＝2OB，求a的值．

（3）点C为数轴上一点，对应的数为c，若点A在点B的右侧，O为AC的中点，OB＝3BC．请直接写出所有满足条件的c的值．

5．数轴是学习初中数学的一个重要工具利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：

数轴上点A、点B表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为；AB＝a﹣b线段AB的中点M表示的数为

．

如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）运动开始前，A、B两点的距离为　　个单位长度；线段AB的中点M所表示的数为　　；

（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为　　；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为　　．（用含t的式子表示）

（3）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相距4个单位长度？

（4）若A、B按上述方式运动，A、B两点经过多少秒，线段AB的中点M与原点重合？

6．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：

例如，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点M表示的数为

．如图，在数轴上，点A，B，C表示的数分别为﹣8，2，20．

（1）如果点A和点C都向点B运动，且都用了4秒钟，那么这两点的运动速度分别是点A每秒　　个单位长度、点C每秒　　个单位长度；

（2）如果点A以每秒1个单位长度沿数轴的正方向运动，点C以每秒3个单位长度沿数轴的负方向运动，设运动时间为t秒，请问当这两点与点B距离相等的时候，t为何值？

（3）如果点A以每秒1个单位长度沿数轴的正方向运动，点B以每秒3个单位长度沿数轴的正方向运动，且当它们分别到达C点时就停止不动，设运动时间为t秒，线段AB的中点为点P；

1．t为何值时PC＝12；

2．t为何值时PC＝4．

7．阅读下面材料：

数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示有理数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|．反之，可以理解式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x与有理数3的两点之间的距离．

根据上述材料，利用数轴解决下列问题：

（Ⅰ）若|x﹣3|＝2，则x的值为　　；若|x﹣5|＝|x+1|，则x的值为　　；

（Ⅱ）当x在什么范围时，|x﹣2|+|x﹣5|有最小值？

并求出它的最小值；

（III）若a＜2＜b，在数轴上是否存在数x，使得|x﹣a|+2|x﹣2|+|x﹣b|的值最小？

若存在，请求出最小值及x的值；若不存在，请说明理由．

8．阅读下面的材料：

我们知道，在数轴上，|a|表示有理数a对应的点到原点的距离，同样的道理，|a﹣2|表示有理数a对应的点到有理数2对应的点的距离，例如，|5﹣2|＝3，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3．

请根据上面的材料解答下列问题：

（1）请用上面的方法计算数轴上有理数﹣9对应的点到有理数3对应的点的距离；

（2）填空：

|a﹣1|表示与理数a对应的点与有理数　　对应的点的距离；如果|a﹣1|＝3，那么有理数a的值是　　；

（3）填空：

如果|a﹣1|+|a﹣6|＝7，那么有理数a的值是　　．

（4）是否存在有理数a，使等式|a﹣1|+|a﹣6|的结果等于4？

如果存在，请直接写出a的值；如果不存在，请说明原因．

9．如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|+（b﹣5）2＝0，O为原点．若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）

（1）求a，b的值；

（2）当点P运动到线段OB上时，分别取OB和AP的中点E，F，试探究下列结论：

①

的值为定值；②

的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请将正确的选出来并求出该值；

（3）当点P从点A出发运动到点O时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在OB间往返运动，当PQ＝1时，求动点P运动的时间t的值．

10．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：

若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为

【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB＝60，点A对应的数是40．

【综合运用】

（1）点B表示的数是　　．

（2）若BC：

AC＝4：

7，求点C到原点的距离．

（3）如图2，在

（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；

（4）如图3，在

（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问PT﹣MN的值是否会发生变化？

若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．

参考答案

1．解：

（1）由非负数的性质可得：

，

∴a＝﹣7，c＝1，

故答案为：

﹣7，1．

（2）设经过t秒两点的距离为

由题意得：

，

解得

或

，

答：

经过

秒或

秒P，Q两点的距离为

．

（3）点P未运动到点C时，设经过x秒P，Q相遇，

由题意得：

3x＝x+4，

∴x＝2，

表示的数为：

﹣7+3×2＝﹣1，

点P运动到点C返回时，设经过y秒P，Q相遇，

由题意得：

3y+y+4＝2[1﹣（﹣7）]，

∴y＝3，

表示的数是：

﹣3+3＝0，

当点P返回到点A时，用时

秒，此时点Q所在位置表示的数是

，

设再经过z秒相遇，

由题意得：

，

∴

，

∵

+

＝

＜4+4，

∴此时点P、Q均未停止运动，

故z＝

还是符合题意．

此时表示的数是：

，

答：

在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数分别是﹣1，0，﹣2．

2．解：

（1）A、B两点的距离为8﹣（﹣10）＝18，线段AB的中点C所表示的数[8+（﹣10）]÷2＝﹣1；

（2）点P所在的位置的点表示的数为﹣10+5t，点Q所在位置的点表示的数为8﹣3t（用含t的代数式表示）；

（3）依题意有

5t+3t＝18，

解得t＝

．

故P、Q两点经过

秒会相遇．

故答案为：

18，﹣1；﹣10+5t，8﹣3t．

3．解：

（1）|4﹣1|＝3，|﹣3﹣2|＝5，

|a﹣（﹣2）|＝3，即a+2＝3或﹣a﹣2＝3，

∴a＝1或a＝﹣5．

故答案为：

3；5；1或﹣5．

（2）①设点C表示的数为x，则CA＝|x﹣（﹣1）|，CB＝|x﹣3|．

当x＜﹣1时，﹣x﹣1＝3×（3﹣x），

解得：

x＝5（不合题意，舍去）；

当﹣1≤x≤3时，x+1＝3×（3﹣x），

解得：

x＝2；

当x＞3时，x+1＝3×（x﹣3），

解得：

x

＝5．

答：

点C表示的数为2或5．

②设点C表示的数为m（m＜﹣1），则CA＝|m﹣（﹣1）|＝﹣1﹣m，CB＝|m﹣3|＝3﹣m，AB＝|﹣1﹣3|＝4．

当点C是（A，B）的三倍点时，﹣1﹣m＝3×（3﹣m），

解得：

m＝5（不合题意，舍去）；

当点C是（B，A）的三倍点时，3﹣m＝3×（﹣1﹣m），

解得：

m＝﹣3；

当点A是（B，C）的三倍点时，4＝3×（﹣1﹣m），

解得：

m＝﹣

；

当点A是（C，B）的三倍点时，﹣1﹣m＝3×4，

解得：

m＝﹣13；

当点B是（A，C）的三倍点时，4＝3×（3﹣m），

解得：

m＝

（不合题意，舍去）；

当点B是（C，A）的三倍点时，3﹣m＝3×4，

解得：

m＝﹣9．

综上所述：

当点C表示的数为﹣13或﹣9或﹣3或﹣

时，A、B、C中恰有一个点为其余两点的三倍点．

4．解：

（1）∵b＝﹣6，|a﹣b|＝15，

∴|a+6|＝15，

∴a+6＝15或﹣15，

解得a＝9或﹣21．

故答案为：

9或﹣21；

（2）∵OA＝2OB，

∴|a|＝|2b|，

∵点A和点B分别位于原点O两侧，点A对应的数为a，点B对应的数为b，

∴b＝﹣

a，

∵|a﹣b|＝15，

∴|a+

a|＝15，

解得a＝±10；

（3）满足条件的C两种情况：

①如图，

设BC＝x，则OC＝OA＝2x，

则有x+2x+2x＝15，

解得：

x＝3，

则c的值为﹣6；

②如图，

设BC＝x，则OB＝3x，OA＝OC＝4x，

则有3x+4x＝15，

解得x＝

，

则c的值为﹣

．

综上所得：

c的值为﹣6或﹣

．

5．解：

（1）运动开始前，A、B两点的距离为8﹣（﹣10）＝18；线段AB的中点M所表示数为

．

故答案是：

18；﹣1

（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为﹣10+3t；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为8﹣2t．

故答案是：

﹣10+3t；8﹣2t

（3）设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相距4个单位长度．

根据题意得3x+2x＝18﹣4，

解得x＝2.8；

3x+2x＝18+4，

解得x＝4.4．

答：

A、B两点经过2.8秒或4.4秒会相距4个单位长度．

（4）由题意得

解得t＝2．

答：

经过2秒A、B两点的中点M会与原点重合．

6．解：

（1）由题意知，

＝2.5（单位/秒）．

＝4.5（单位/秒）．

故答案是：

2.5；4.5；

（2）设运动时间为t秒，此时点A表示的数是﹣8+t，点C表示的数是20﹣3t．

所以AB＝|﹣10+t|，BC＝|18﹣3t|．

那么|﹣10+t|＝|18﹣3t|．

解得：

t＝4或7．

（3）1．当0＜t≤6时，点A表示的数是﹣8+t，点B表示的数是2+3t，AB的中点P表示的数是﹣3+2t，

PC＝|﹣3+2t﹣20|＝12，

解得t＝

；

2．当6＜t≤28时，点A表示的数是﹣8+t，点B表示的数是20，AB的中点P表示的数是|6+

|，

PC＝|6+

﹣20|＝4，

解得t＝20．

7．解：

（Ⅰ）∵|x﹣3|＝2，

∴x﹣3＝±2，

∴x＝5或1，

∵|x﹣5|＝|x+1|，

∴x＝2，

故答案为：

5或1；2．

（Ⅱ）当2≤x≤5时，|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，最小值是3，

当x＞5时，

x﹣2+x﹣5＝2x﹣7＞3，

当2≤x≤5时，

x﹣2+5﹣x＝3，

当x＜2时，

2﹣x+5﹣x＝7﹣2x＞3，

故当2≤x≤5时，|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，最小值是3；

（Ⅲ）∵|x﹣a|+2|x﹣2|+|x﹣b|表示数x分别与a、2、b的距离之和，

∴x＝2时，|x﹣a|+2|x﹣2|+|x﹣b|的值最小，

∵a＜2＜b，

∴|x﹣a|+2|x﹣2|+|x﹣b|的最小值是2﹣a+b﹣2＝b﹣a．

故x＝2时，|x﹣a|+2|x﹣2|+|x﹣b|的值最小，最小值是b﹣a．

8．解：

（1）数轴上有理数﹣9对应的点到有理数3对应的点的距离为|﹣9﹣3|＝12；

（2）|a﹣1|表示与理数a对应的点与有理数1对应的点的距离；

∵|a﹣1|＝3，

∴a﹣1＝±3，

解得a＝4或﹣2．

故答案为：

1，4或﹣2；

（3）当a＜1时，

依题意有﹣a+1﹣a+6＝7，

解得a＝0；

当1≤a≤6时，

依题意有a﹣1﹣a+6＝7，

方程无解；

当a＞6时，

依题意有a﹣1+a﹣6＝7，

解得a＝7．

故答案为：

0或7；

（4）不存在，因为此等式表示数轴上有理数a所在点到有理数1和6所在点的距离之和，距离之和最小为5，因此不存在满足题意的有理数a．

9．解：

（1）由题意可知：

a+2＝0，b﹣5＝0，

∴a＝﹣2，b＝5，

（2）设点P对应的数为p，

∴点F的对应的数为

，点E对应的数为

＝

，

∵AB＝5﹣（﹣2）＝7，OP＝p，EF＝

﹣

＝

，

∴AB﹣OP＝7﹣p，AB+OP＝7+p，

∴

＝2，

＝

，

故只有①正确．

（3）相遇前PQ＝1，t+2（t﹣2）＝7﹣1，

解得t＝

；

相遇后PQ＝1，

t＝4或6；

点Q从点B返回到O，PQ＝1，

|21﹣3t|＝1．

解得t＝

（舍去）．t＝

综上所述，当PQ＝1时，t的值是

或4或6或

．

10．解：

（1）40﹣60＝﹣20．

故点B表示的数是﹣20．

（2）如图1，∵AB＝60，BC：

AC＝4：

7，

∴

＝

，

解得：

BC＝80，

∵AB＝60，点A对应的数是40，

∴B点对应的数字为：

﹣20，

∴点C到原点的距离为：

80﹣（﹣20）＝100；

（3）如图2，设R的速度为每秒x个单位，则

R对应的数为40﹣5x，

P对应的数为﹣100+15x，

Q对应的数为10x+15，

PQ＝5x﹣115或115﹣5x

QR＝15x﹣25

∵PQ＝QR

∴5x﹣115＝15x﹣25或115﹣5x＝15x﹣25

解得：

x＝﹣9（不合题意，故舍去）或x＝7

∴动点Q的速度是2×7﹣5＝9个单位长度/秒，

（4）如图3，设运动时间为t秒

P对应的数为﹣100﹣5t，T对应的数为﹣t，R对应的数为40+2t，

PT＝100+4t，

M对应的数为﹣50﹣3t，N对应的数为20+t，

MN＝70+4t

∴PT﹣MN＝30，

∴PT﹣MN的值不会发生变化，是30．