（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①f（x）是整式时，定义域是全体实数．
②f（x）是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③f（x）是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
p⑤y=tanx中，x¹kp+（kÎZ）．2
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若f（x）是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：
若已知f（x）的定义域为[a,b]，其复合函数f[g（x）]的定义域应由不等式a£g（x）£b解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：
对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：
将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．
③判别式法：
若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，则在a（y）¹0时，由于x,y为实数，故必须有
D=b2（y）-4a（y）×c（y）³0，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：
利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：
通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．
⑥反函数法：
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：
利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．
【1.2.2】函数的表示法
（5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：
就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：
就是列
出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：
就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念
①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，
B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作f:
A®B．
②给定一个集合A到集合B的映射，且aÎA,bÎB．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．
〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数y=f[g（x）]，令u=g（x），若y=f（u
）为增，u=g（x）为增，则y=f[g（
x）]为增；若y=f（u
）为减，u=g（x）为减，则y=f[
g（x）]为增；若y=f（u）为增，u=g（x）为减，则y=f[g（x）]为减；若y=f（u）为减，yu=g（x）为增，则y=f[g（x）]为减．
a
（2）打“√”函数f（x）=x+（a>0）的图象与性质x
f（x）分别在（-¥,、+¥）上为增函数，分别
o
x
在[、上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数
（1）对于任意的xÎI，都有f（x）£M；M满足：
（2）存在x0ÎI，使得f（x0）=M．那么，我们称M是函数f
（x）的
最大值，记作fmax（x）=M．
②一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数m满足：
（1）对于任意的xÎI，都有f（x）³m；
（2）存在x0ÎI，使得f（x0）=m．那么，我们称m是函数f（x）的最小值，记作fmax（x）=m．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
②若函数f（x）为奇函数，且在x=0处有定义，则f（0）=0．
③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．
①平移变换
h>0,左移h个单位
y=f（x）¾¾¾¾¾¾¾®y=f（x+h）h<0,右移|h|个单位k>0,上移k个单位y=f（x）¾¾¾¾¾¾¾®y=f（x）+kk<0,下移|k|个单位
②伸缩变换
01,缩01,伸
③对称变换
y轴x轴y=f（x）¾¾¾®y=-f（x）y=f（x）¾¾¾®y=f（-x）
直线y=x原点y=f（x）¾¾¾®y=-f（-x）y=f（x）¾¾¾¾®y=f-1（x）
去掉y轴左边图象y=f（x）¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®y=f（|x|）保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象y=f（x）¾¾¾¾¾¾¾¾¾®y=|f（x）|将x轴下方图象翻折上去
（2）识图
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
（3）用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直
观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．
第二章基本初等函数（Ⅰ）
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果xn=a,aÎR,xÎR,n>1，且nÎN+，那么x叫做a的n次方根．当n
是奇数时，a的n
n是偶数时，正数a的正的n次方
负的n
次方根用符号0的n次方根是0；负数a没有n次方根．
叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a³0．
③根式的性质：
n=a；当n
为奇数时，=a；当n为偶数时，
ìa（a³0）=|a|=í．-a（a<0）î
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：
a=a>0,m,nÎN+,且n>1）．0
的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：
a-m
nmn1m=（）n=a>0,m,nÎN+,且an>1）．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：
底数取倒数，指数取相反
数．
（3）分数指数幂的运算性质
①ar×as=ar+s（a>0,r,sÎR）②（ar）s=ars（a>0,r,sÎR）③（ab）r=arbr（a>0,b>0,rÎR）
【2.1.2】指数函数及其性质
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若ax=N（a>0,且a¹1），则x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：
x=logaNÛax=N（a>0,a¹1,N>0）．
（2）几个重要的对数恒等式
loga1=0，logaa=1，logaab=b．
（3）常用对数与自然对数
lg常用对数：
即log10N；自然对数：
即olnN，lgN，
e
N（其中e=2.71828„）．
（4）对数的运算性质如果a>0,a¹1,M>0,N>0，那么
logaM+logaN=loga（MN）②减法：
①加法：
logaM-logaN=loga
M
N
③数乘：
nlogaM=logaMn（nÎR）④alogaN=N⑤
logaN=
logabMn=
n
logaM（b¹0,nÎR）b
⑥换底公式：
logbN
（b>0,且b¹1）logba
【2.2.2】对数函数及其性质
设函数y=f（x）的定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得式
子x=j（y）．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=j（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=j（y）表示x是y的函数，函数x=j（y）叫做函数y=f（x）的反函数，记作x=f-1（y），习惯上改写成y=f-1（x）．
（7）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y=f（x）中反解出x=f-1（y）；
③将x=f-1（y）改写成y=f-1（x），并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质
①原函数y=f（x）与反函数y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称．
②函数y=f（x）的定义域、值域分别是其反函数y=f-1（x）的值域、定义域．
③若P（a,b）在原函数y=f（x）的图象上，则P’（b,a）在反函数y=f-1（x）的
图象上．
④一般地，函数y=f（x）要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x为自变量，a是常数．
（3）幂函数的性质
①图象分布：
幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于y轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：
所有的幂函数在（0,+¥）都有定义，并且图象都通过点（1,1）．③单调性：
如果a>0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,+¥）上为增函数．如果a<0，则幂函数的图象在（0,+¥）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．
④奇偶性：
当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．当
qa=（其中p,q互质，p和qÎZ），若p为奇数q为奇数时，则y=xp是奇函pq
数，若p为奇数q为偶数时，则y=x是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则y=x是非奇非偶函数．qpqp
⑤图象特征：
幂函数y=xa,xÎ（0,+¥），当a>1时，若01，其图象在直线y=x上方，当a<1时，若01，其图象在直线y=x下方．
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：
f（x）=ax2+bx+c（a¹0）②顶点式：
f（x）=a（x-h）2+k（a¹0）③两根
式：
f（x）=a（x-x1）（x-x2）（a¹0）
（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f（x）更方便．
（3）二次函数图象的性质
①二次函数f（x）=ax2+bx+c（a¹0）的图象是一条抛物线，对称轴方程为
b4ac-b2b）．x=-,顶点坐标是（-,2a4a2a
②当a>0时，抛物线开口向上，函数在（-¥,-bb]上递减，在[-,+¥）上递增，2a2a
4ac-b2bb当x=-时，fmin（x）=；当a<0时，抛物线开口向下，函数在（-¥,-]4a2a2a
4ac-b2bb上递增，在[-,+¥）上递减，当x=-时，fmax（x）=．4a2a2a
③二次函数f（x）=ax2+bx+c（a¹0）当D=b2-4ac>0时，图象与x
轴有两个交点M1（x1,0）,M2（x2,0）,|M1M2|=|x1-x2|=．|a|
（4）一元二次方程ax2+bx+c=0（a¹0）根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要2a
①k＜x1≤x2Û称轴位置：
x=-
②x1≤x2＜kÛ
③x
1＜k＜x2Ûaf（k）＜0
④k1＜x1≤x2＜k2Û
⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2f（k1）f（k2）<0，并同时考虑f（k1）=0或f（k2）=0这两种情况是否也符合
Û
⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2Û此结论可直接由⑤推出．
（5）二次函数f（x）=ax2+bx+c（a¹0）在闭区间[p,q]上的最值
1
设f（x）在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m，令x0=（p+q）．
2
（Ⅰ）当a>0时（开口向上）bbb
①若-2a2a2ab->q，则m=f（q）2a
xx
f（q）0M=f（
p
2a）bb
）③若->q，p）②若p2a2ax
x
x
则
x
f
x
x
f
①若-
bb£x0，则m=f（q）②->x0，则m=f（p）．2a2a
x
f
x
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：
对于函数y=f（x）（xÎD），把使f（x）=0成立的实数x叫做函数y=f（x）（xÎD）的零点。
2、函数零点的意义：
函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0实数根，亦即函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标。
即：
方程f（x）=0有实数根Û函数y=f（x）的图象与x轴有交点Û函数y=f（x）有零点．3、函数零点的求法：
求函数y=f（x）的零点：
1（代数法）求方程f（x）=0的实数根；○
2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f（x）的○
图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：
二次函数y=ax2+bx+c（a¹0）．
１）△＞０，方程ax2+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程ax2+bx+c=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程ax2+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
高中数学必修2知识点第一章空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征1.2空间几何体的三视图和直观图1三视图：
正视图：
从前往后侧视图：
从左往右俯视图：
从上往下
2画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等3直观图：
斜二测画法4斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
（3）.画法要写好。
5用斜二测画法画出长方体的步骤：
（1）画轴
（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1.3空间几何体的表面积与体积
（一）空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积：
各个面面积之和
2圆柱的表面积3圆锥的表面积S=2prl+2pr2
S=prl+pr2
2224圆台的表面积S=prl+pr+pRl+pR5球的表面积S=4pR
（二）空间几何体的体积
1柱体的体积V=S底´h2锥体的体积
1V=S底´h3
143台体的体积V=S上+S上S下+S下）´h4球体的体积V=pR333
第二章直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系D2.1.1
1平面含义：
平面是无限延展的
A2平面的画法及表示
（1）平面的画法：
水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐
角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
3三个公理：
（1）公理1：
如果一条直线上的两点在一个平面B∈αLA∈α
B∈α
公理1作用：
判断直线是否在平面C²
²使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：
确定一个平面的依据。
（3）公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
CB
符号表示为：
P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：
判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：
同一平面不同在任何一个平面）；
③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面α来表示
aαa∩α=Aa∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面α
bβ∥α
a∥b
2.2.2平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：
一个平面β∥b
α∩β=b
作用：
利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：
如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ∥b
β∩γ=b
作用：
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
α
2、判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平
面垂直。
注意点：
a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转
化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：
表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭β
2α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理：
两个平面垂直，则一个平面直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：
当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.
2、倾斜角α的取值范围：
0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时,α=
90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα
⑪当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑫当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式:
给定两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式:
k=y2-y1/x2-x13.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意:
上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3.2.1直线的点斜式方程
1、直线的点斜式方程：
直线l经过点P0（x0,y0），且斜率为k
y-y0=k（x-x0）
2、、直线的斜截式方程：
已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0,b）
y=kx+b
3.2.2直线的两点式方程
（x1,x2）,P2（x2,y2）其中（x1¹x2,y1¹y2）1、直线的两点式方程：
已知两点P1
y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距点为A（a,0），
式方程：
已知直线l与x轴的交与y轴的交点为B（0,b），其中
a¹0,b¹0
3.2.3直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：
关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
2、各种直线方程之间的互化。
3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3.1两直线的交点坐标
1、给出例题：
两直线交点坐标
L1：
3x+4y-2=0L1：
2x+y+2=0
ì3x+4y-2=0
解：
解方程组í得x=-2，y=2
2x+2y+2=0î
所以L1PP=123.3
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