秋新课堂高中数学人教A版必修4教师用书 第1章 16 三角函数模型的简单应用.docx
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秋新课堂高中数学人教A版必修4教师用书第1章16三角函数模型的简单应用
1.6 三角函数模型的简单应用
学习目标：
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．（重点）
2．实际问题抽象为三角函数模型．（难点）
[自主预习·探新知]
1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型．
2．解三角函数应用题的基本步骤：
（1）审清题意；
（2）搜集整理数据，建立数学模型；
（3）讨论变量关系，求解数学模型；
（4）检验，作出结论．
[基础自测]
1．思考辨析
（1）函数y＝|sinx＋
|的周期为π.（ ）
（2）一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4s，振幅为5cm，则该振子在2s内通过的路程为50cm.（ ）
（3）电流强度I（A）随时间t（s）变化的关系式是I＝5sin
，则当t＝
s时，电流强度I为
A．（ ）
[解析]
（1）错误．函数y＝|sinx＋
|的周期为2π.
（2）错误．一个周期通过路程为20cm，所以2s内通过的路程为20×
＝100（cm）．
（3）正确．
[答案]
（1）×
（2）× （3）√
2．如图1 6 1为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s往返一次．
图1 6 1
0．8 [观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8s往返一次．]
3．如图1 6 2所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y（m）在某天24h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________．
图1 6 2
y＝－6sin
x [设y与x的函数关系式为y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）则A＝6，
T＝
＝12，ω＝
.
当x＝9时，ymax＝6.故
×9＋φ＝
＋2kπ，k∈Z.
取k＝1得φ＝π，即y＝－6sin
x.]
[合作探究·攻重难]
三角函数图象的应用
（1）函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是（ ）
A B C D
（2）作出函数y＝|cosx|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间.
【导学号：
84352127】
[思路探究]
（1）根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断．
（2）依据y＝|cosx|＝
画图，并判断此函数的性质．
（1）C [
（1）y＝x＋sin|x|是非奇非偶函数，
图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，故选C.
（2）y＝|cosx|图象如图所示．
由图象可知：
T＝π；y＝|cosx|是偶函数；单调递增区间为
，k∈Z，
单调递减区间为
，k∈Z.]
[规律方法]
（1）一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据.
（2）一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：
①由函数y＝f（x）的图象要得到y＝|f（x）|的图象，只需将y＝f（x）的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.②由函数y＝f（x）的图象要得到y＝f（|x|）的图象，应保留y＝f（x）位于y轴右侧的图象，去掉y轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”.
[跟踪训练]
1．函数f（x）＝2sinx（x∈[－π，π]）的图象大致为（ ）
A B C D
A [f（－π）＝2sin（－π）＝20＝1，f
＝2sin
＝2－1＝0.5，f（0）＝2sin0＝20＝1，f
＝2sin
＝2，f（π）＝2sinπ＝20＝1.由此知选项A符合要求．]
三角函数模型在物理学中的应用
已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s（cm）随时间t（s）的变化规律为s＝4sin
，t∈[0，＋∞）．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
（1）小球在开始振动（t＝0）时的位移是多少？
（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
（3）经过多长时间小球往复振动一次？
【导学号：
84352128】
[思路探究] 确定函数y＝Asin（ωx＋φ）中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键．
[解] 列表如下：
t
－
2t＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
（1）将t＝0代入s＝4sin
，得s＝4sin
＝2
，所以小球开始振动时的位移是2
cm.
（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.
（3）因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.
[规律方法] 在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝
为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝
为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.
[跟踪训练]
2．交流电的电压E（单位：
V）与时间t（单位：
s）的关系可用E＝220
sin
来表示，求：
（1）开始时电压；
（2）电压值重复出现一次的时间间隔；
（3）电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
[解]
（1）当t＝0时，E＝110
（V），即开始时的电压为110
V.
（2）T＝
＝
（s），即时间间隔为0.02s.
（3）电压的最大值为220
V，当100πt＋
＝
，即t＝
s时第一次取得最大值．
三角函数模型的实际应用
[探究问题]
在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？
提示：
（1）根据原始数据给出散点图．
（2）通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．
（3）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，记y＝f（t），下表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f（t）的图象可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图象．
（1）根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
（2）根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据
（1）的结论，判断一天内的8：
00到20：
00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
【导学号：
84352129】
[思路探究]
（1）根据y的最大值和最小值求A，b，定周期求ω.
（2）解不等式y＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．
[解]
（1）由表中数据可知，T＝12，∴ω＝
.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为
，函数解析式为y＝
cos
t＋1（0≤t≤24）．
（2）∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝
cos
t＋1＞1，cos
t＞0,2kπ－
＜
t＜2kπ＋
，即12k－3＜t＜12k＋3，（k∈Z）．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.
母题探究：
1.若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？
[解] 由y＝
cos
t＋1＞1.25得cos
t＞
，
2kπ－
＜
t＜2kπ＋
，k∈Z，即12k－2＜t＜12k＋2，k∈Z.
又0≤t≤24，所以0≤t＜2或10＜t＜14或22＜t≤24，
所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，
即10＜t＜14.
2．若本例中海滨浴场某区域的水深y（米）与时间t（时）的数据如下表：
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
用y＝Asinωt＋b刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式．
[解] 函数y＝Asinωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6（h），此为半个周期，∴函数的最小正周期为12h，因此
＝12，ω＝
.
又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，
∴b＝10，A＝13－10＝3，
∴所求函数的解析式为y＝3sin
t＋10（0≤t≤24）．
[规律方法] 解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：
关注实际意义求准定义域．
[当堂达标·固双基]
1．与图1 6 3中曲线对应的函数解析式是（ ）
图1 6 3
A．y＝|sinx| B．y＝sin|x|
C．y＝－sin|x|D．y＝－|sinx|
C [注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x∈（0，π）时，sin|x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C.]
2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t（s）离开平衡位置的位移s1（cm）和s2（cm）分别由s1＝5sin
，s2＝10cos2t确定，则当t＝
s时，s1与s2的大小关系是（ ）
【导学号：
84352130】
A．s1＞s2B．s1＜s2
C．s1＝s2D．不能确定
C [当t＝
时，s1＝5sin
＝5sin
＝－5，
当t＝
时，s2＝10cos
＝10×
＝－5，
故s1＝s2.]
3．如图1 6 4表示电流强度I与时间t的关系为I＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在一个周期内的图象，则该函数解析式为（ ）
图1 6 4
A．I＝300sin
B．I＝300sin
C．I＝300sin
D．I＝300sin
C [A＝300，T＝2
＝
，ω＝
＝100π，I＝300sin（100πt＋φ）．代入点
，得100π×
＋φ＝0，得φ＝
，∴I＝300sin
.]
4．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s（cm）与时间t（s）的函数关系式为s＝3cos
，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l＝________cm.
[由已知得
＝1，所以
＝2π，
＝4π2，l＝
.]
5．如图1 6 5，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
图1 6 5
（1）求出种群数量y关于时间t的函数表达式；（其中t以年初以来的月为计量单位）
（2）估计当年3月1日动物种群数量.
【导学号：
84352131】
[解]
（1）设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin（ωt＋φ）＋b（A＞0，ω＞0），
则
解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×（6－0）＝12，
∴ω＝
＝
，
∴y＝100sin
＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴
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