四边形专题复习资料.docx

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四边形专题复习资料

四边形

一、基本概念

二、运用转化探索证题规律

1、把新知识转化为旧知识

将四边形问题转化为三角形问题

把要证的结论转化为已知图形的性质解决

例与练

分析法：

执果索因

（1）如图，已知□ABCD中，AD=2AB，向两方延长AB，使AE=AB=BF，联结EC、FD交于G，求证：

EC⊥FD。

（2）如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，EF⊥AC于O，分别交AB、CD于F、E，且AF=EF，求证：

OF=FB。

（3）如图，已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E为OB上任意一点，DG⊥CE交OC于F点，求证：

OE=OF。

（4）如图，已知E是正方形ABCD边BC延长线上一点，且CE=BC，DF⊥AE交BC于F，求证：

BC=

EF。

倍长法、折半法

（1）已知△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E是AB中点，求证：

CD=2CE。

（2）已知△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D点，M是BC中点，求证：

AB=2DM。

截长补短法

（1）已知正方形ABCD中，M是CD中点，E是CD一点，且∠BAE=2∠DAM，求证：

AE=BC+CE。

（2）已知正方形ABCD中，∠EDF=45º，点E在AB上，点F在BC上，DG⊥EF，垂足为G，求证：

DG=AD。

2、把复杂图形转化为基本图形

比较复杂的四边形问题，往往通过添加辅助线转化为平行四边形或三角形的问题，使图形转化是添加辅助线的着眼点。

例与练：

（1）求证：

两条对角线相等的梯形是等腰梯形。

（2）已知，梯形ABCD中，AB=DC，对角线AC⊥BD，EF是中位线，EF=8cm，求梯形ABCD的面积。

（3）已知，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是CD中点，求证：

AE=BE。

（4）已知，AB∥CD，AE⊥DC，AE=12，BD=15，AC=20，求：

S梯形ABCD。

（5）求证梯形的面积等于一腰与另一腰中点到这腰的距离的乘积。

（6）已知梯形ABCD中，AD∥BC，且∠B=50°，∠C=80°，求证：

AD+DC=BC。

添加辅助线转化为最简单的三角形或平行四边形是常见辅助线的添加方法，同时也可构造其他特殊四边形。

（7）已知△ABC中，CE⊥AB，BD⊥AC，CE、BD相交于K，且M、N是BC、AK的中点，BC=AK，求证：

MN、ED互相垂直平分。

3、运用变化化隐为显

几何变换就是变换图形的位置，使图形中条件集中，化隐为显，找到证明思路，变换是添加辅助线的一个重要思路，在几何中，经常使用的变换有平移、旋转、对称、等积等等。

例与练：

（1）已知，P是正方形ABCD内一点，且∠PAB=∠PBA=15°，求证：

△PDC是等边三角形。

（2）已知，M是Rt△ABC中斜边BC上的中点，E、F分别AB、AC在上，EM⊥MF，求证：

EF2=BE2+CF2。

（3）已知，等腰△ABC中，∠ACB=90º，在∠ACB中作∠ECF=45º，交AB边于E、F，求证：

EF2=AE2+BF2。

（4）已知，△ABC中，∠B=30º，以AC为边，向形外作正三角形ACD，求证：

AB2+BC2=BD2。

（5）已知，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B与∠C互余，M、N分别是AD、BC的中点，求证：

MN=

（6）如图，正方形ABCD中，E、H、F、G分别是AB、BC、CD、DA上的点，且EF⊥GH，求证：

EF=GH。

（7）在四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，AH⊥BC，且AH=1，求四边形ABCD的面积。

（8）在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DE⊥AM，E为垂足，求证：

DE=

。

（9）□ABCD的边AB上一点E，DE延长线交CB延长线于F，求证：

S△ADF=S△CDE。

（10）如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，AE∥DC交底边BC于E，AE与BD相交于O，已知△BOE的面积比△AOD的面积大4cm2，并且EC=

BC，求梯形ABCD的面积。

（11）已知□ABCD中，CE=AF，E、F分别在CD、AD上，AE、CF相交于点P，求证：

BP是∠APC的平分线。

（12）□ABCD中，EG∥BC，点E在AC上，点G在BD上，且EF⊥CD于F，GH⊥AB于H，求证：

GH=EF。

三、运用中位线定理

见中点，配中点，连线中位线是解题中的常用方法，它既可获得倍长、折半的效果，又可获得平行线，产生等角的位置转换。

例与练

1、已知，△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，联结BE并延长交AC于点F，求证：

FC=2AF。

2、

以△ABC的两边AB、AC分别向外作等边三角形ABD和ACE，点M、G、H分别是BC、BD和CE的中点，求证：

MG=MH。

3、

如图，已知四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD和BC的延长线分别与EF的延长线相交于点G与H，求证：

。

∠AGE=∠BHE

4、等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，∠AEB=60°，点F、G、H分别是AE、BC、DE的中点，求证：

△FGH是等边三角形。

5、如图，已知△ABC中，M为AB的中点，D为MB上一点，N、P分别为CD、CB的中点，Q为MN的中点，PQ与AB相交于E，求证：

AE=ED。

6、

如图，P是△ABC的一点，∠PBC=∠PAC，PE⊥BC，PF⊥AC，E、F是垂足，D是AB中点，求证：

DE=DF。