高考数学经典常考题型第6专题 函数的图像.docx
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高考数学经典常考题型第6专题函数的图像
第6专题训练函数的图像
一、基础知识
1、做草图需要注意的信息点:
做草图的原则是:
速度快且能提供所需要的信息,通过草图能够显示出函数的性质。
在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性,对于一个陌生的可导函数,可通过对导函数的符号分析得到单调区间,图像形状依赖于函数的凹凸性,可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点）,这两部分确定下来,则函数大致轮廓可定,但为了方便数形结合,让图像更好体现函数的性质,有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来,下面以常见函数为例,来说明作图时常体现的几个信息点
（1）一次函数:
若直线不与坐标轴平行,通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线
特点:
两点确定一条直线
信息点:
与坐标轴的交点
（2）二次函数:
其特点在于存在对称轴,故作图时只需做出对称轴一侧的图像,另一侧由对称性可得。
函数先减再增,存在极值点——顶点,若与坐标轴相交,则标出交点坐标可使图像更为精确
特点:
对称性
信息点:
对称轴,极值点,坐标轴交点
（3）反比例函数:
其定义域为
是奇函数,只需做出正版轴图像即可（负半轴依靠对称做出）,坐标轴为函数的渐近线
特点:
奇函数（图像关于原点中心对称）,渐近线
信息点:
渐近线
注:
（1）所谓渐近线:
是指若曲线无限接近一条直线但不相交,则称这条直线为渐近线。
渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制,例如在反比例函数中,
轴是渐近线,那么当
曲线无限向
轴接近,但不相交,则函数在
正半轴就不会有
轴下方的部分。
（2）水平渐近线的判定:
需要对函数值进行估计:
若
（或
）时,
常数
则称直线
为函数
的水平渐近线
例如:
当
时,
故在
轴正方向不存在渐近线
当
时,
故在
轴负方向存在渐近线
（3）竖直渐近线的判定:
首先
在
处无定义,且当
时,
（或
）,那么称
为
的竖直渐近线
例如:
在
处无定义,当
时,
所以
为
的一条渐近线。
综上所述:
在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图像中:
与坐标轴的交点；对称轴与对称中心；极值点；渐近线。
例:
作出函数
的图像
分析:
定义域为
且
为奇函数,故先考虑
正半轴情况。
故函数单调递增,
故函数为上凸函数,当
时,
无水平渐近线,
时,
所以
轴为
的竖直渐近线。
零点:
由这些信息可做出正半轴的草图,在根据对称性得到
完整图像:
2、函数图象变换:
设函数
其它参数均为正数
（1）平移变换:
:
的图像向左平移
个单位
:
的图像向右平移
个单位
:
的图像向上平移
个单位
:
的图像向下平移
个单位
（2）对称变换:
:
与
的图像关于
轴对称
:
与
的图像关于
轴对称
:
与
的图像关于原点对称
（3）伸缩变换:
:
图像纵坐标不变,横坐标变为原来的
:
图像横坐标不变,纵坐标变为原来的
（4）翻折变换:
:
即正半轴的图像不变,负半轴的原图像不要,换上与正半轴图像关于
轴对称的图像
:
即
轴上方的图像不变,下方的图像沿
轴对称的翻上去。
3、二阶导函数与函数的凹凸性:
（1）无论函数单调增还是单调减,其图像均有3种情况,
若一个函数的增减图像为则称函数为下凸函数
若一个函数的增减图像为则称函数为上凸函数
（2）上凸函数特点:
增区间增长速度越来越慢,减区间下降速度越来越快
下凸函数特点:
增区间增长速度越来越快,减区间下降速度越来越慢
（3）与导数的关系:
设
的导函数为
（即
的二阶导函数）,如图所示:
增长速度受每一点切线斜率的变化情况的影响,下凸函数斜率随
的增大而增大,即
为增函数
；上凸函数随
的增大而减小,即
为减函数
；
综上所述:
函数是上凸下凸可由导函数的增减性决定,进而能用二阶导函数的符号进行求解。
二、方法与技巧:
1、在处理有关判断正确图像的选择题中,常用的方法是排除法,通过寻找四个选项的不同,再结合函数的性质即可进行排除,常见的区分要素如下:
（1）单调性:
导函数的符号决定原函数的单调性,导函数图像位于
轴上方的区域表示原函数的单调增区间,位于
轴下方的区域表示原函数的单调减区间
（2）函数零点周围的函数值符号:
可通过带入零点附近的特殊点来进行区分
（3）极值点
（4）对称性（奇偶性）——易于判断,进而优先观察
（5）函数的凹凸性:
导函数的单调性决定原函数的凹凸性,导函数增区间即为函数的下凸部分,减区间为函数的上凸部分。
其单调性可由二阶导函数确定
2、利用图像变换作图的步骤:
（1）寻找到模板函数
（以此函数作为基础进行图像变换）
（2）找到所求函数与
的联系
（3）根据联系制定变换策略,对图像进行变换。
例如:
作图:
第一步寻找模板函数为:
第二步寻找联系:
可得
第三步制定策略:
由
特点可得:
先将
图像向左平移一个单位,再将
轴下方图像向上进行翻折,然后按照方案作图即可
3、如何制定图象变换的策略
（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤,其规律如下:
①若变换发生在“括号”内部,则属于横坐标的变换
②若变换发生在“括号”外部,则属于纵坐标的变换
例如:
:
可判断出属于横坐标的变换:
有放缩与平移两个步骤
:
可判断出横纵坐标均需变换,其中横坐标的为对称变换,纵坐标的为平移变换
（2）多个步骤的顺序问题:
在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后,在安排顺序时注意以下原则:
①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响,无先后要求
②横坐标的多次变换中,每次变换只有
发生相应变化
例如:
可有两种方案
方案一:
先平移（向左平移1个单位）,此时
。
再放缩（横坐标变为原来的
）,此时系数
只是添给
即
方案二:
先放缩（横坐标变为原来的
）,此时
再平移时,若平移
个单位,则
（只对
加
）,可解得
故向左平移
个单位
③纵坐标的多次变换中,每次变换将解析式看做一个整体进行
例如:
有两种方案
方案一:
先放缩:
再平移时,将解析式看做一个整体,整体加1,即
方案二:
先平移:
则再放缩时,若纵坐标变为原来的
倍,那么
无论
取何值,也无法达到
所以需要对前一步进行调整:
平移
个单位,再进行放缩即可（
）
4、变换作图的技巧:
（1）图像变换时可抓住对称轴,零点,渐近线。
在某一方向上他们会随着平移而进行相同方向的移动。
先把握住这些关键要素的位置,有助于提高图像的精确性
（2）图像变换后要将一些关键点标出:
如边界点,新的零点与极值点,与
轴的交点等
三、例题精析:
例1:
己知函数
其导数
的图象如图所示,则函数
的极大值是（）
A.
B.
C.
D.
思路:
由图像可知:
时,
单调递增,
时,
单调递减,所以
的极大值为
答案:
B
小专题训练有话说:
观察导函数图像时首要关注的是函数的符号,即是在
轴的上方还是下方,导函数的符号决定原函数的单调性
例2:
设函数
可导,
的图象如图所示,则导函数
的图像可能为（ ）
思路:
根据原函数的图像可得:
在
单调递增,在正半轴先增再减再增,故
在负半轴的符号为正,在正半轴的符号依次为“正负正”,观察四个选项只有D符合
答案:
D
小专题训练有话说:
本题可直接由导函数的符号来排除其他选项,若选项中也有符合D中“负半轴的符号为正,在正半轴的符号依次为‘正负正’”,那么可观察第二条标准:
从图上看在
负半轴中,函数增长的速度越来越快,则说明切线斜率随
的增大而增大,进而导函数在
负半轴也单调递增,依次类推可得到正半轴的情况,D选项依然符合特征
例3:
函数
的部分图象为（）
思路:
可得
在
单调递增,在
单调递减,且可估计当
即
所以
为函数
的渐近线,当
由此可判断出图像
正确
答案:
A
小专题训练有话说:
（1）本题考查的是通过分析函数性质作图,单调性是非常重要的一个要素,通过单调性也可排除其他三个选项
（2）关于渐近线的判断:
对于
可这样理解,
时,
均趋向正无穷,但
的速度更快,进而伴随着
将远远大于
进而比值趋于0,当
增长速度的排名为:
直线（一次函数）<二次函数<指数函数
例4:
函数
的图像可能是（）
思路:
观察解析式可判断出
为奇函数,排除A,C.当
时,
故选择B
答案:
B
小专题训练有话说:
有两点可以优先观察:
一个是奇偶性,则图像具有对称性,只需考虑正半轴的情况即可；二是含有绝对值,可利用
的符号去掉绝对值,进而得到正半轴的解析式。
例5（2015浙江文）:
函数
的图像可能为（）
思路:
观察4个选项的图像,其中A,B图像关于
轴对称,C,D图像关于原点中心对称。
所以先判断函数奇偶性,可判断出
所以
为奇函数,排除A,B,再观察C,D的区别之一就是
的符号,经过计算可得
所以排除C
答案:
D
例6:
已知
为
的导函数,则
的图像是（）
思路:
可判断
为奇函数,图像关于原点中心对称,排除
。
因为
排除
。
故
正确。
答案:
A
小专题训练有话说:
可优先判断出奇偶性,进而排除一些选项,对于
选项而言,其不同之处有两点,一点是从
处开始的
符号,解析的思路也源于此,但需要代入特殊角进行判断,A选项的图中发现在
轴正半轴中靠近
轴的函数值小于零,从而选择最接近0的特殊角
除此之外,
图像的不同之处还在于从
开始时
的单调性,所以也可对
求导,
则
时,
即
应先减再增。
所以排除C
例7:
下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像,其中一定不正确的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．①④
思路:
如图所示:
在图①、②在每个区间上函数的单调性与对应的导数的符号是正确的,即单调增区间导数大于零,单调减区间上导数小于零；在③中显示在区间
上导函数的值为负值,而该区间上的函数图象显示不单调,二者不一致,所以③不正确；在④图象显示在区间
上导函数的值总为正数,而相应区间上的函数图象却显示为减函数,二者相矛盾,所以不正确.故选B.
答案:
B
小专题训练有话说:
要注意导函数图像与原函数图像的联系:
导函数的符号与原函数的单调性相对应,导函数的增减与原函数的凹凸性相对应。
例8:
已知
上可导函数
的图象如图所示,则不等式
的解集为（）
A.
B.
C.
D.
思路:
由图像可得:
时,
时,
所以所解不等式为:
或
可得:
答案:
D
例9:
函数
的大致图象如图所示,则
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
思路:
由图像可得:
为
的极值点,
为函数的零点
即
是方程
的两个根,
由
答案:
C
小专题训练有话说:
在观察一个函数图像时,有几个地方值得关注:
极值点——单调区间的分界点,导函数的零点；
零点——函数符号的分界点；
单调性——决定导函数的符号。
例10:
（2015安徽）函数
的图像如图所示,则下列结论成立的是（）
A.
B.
C.
D.
思路:
观察函数图像突出的特点便可确定
的符号:
特点1:
渐近线在
正半轴,从解析式可
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