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水质评价问题
摘要
本文主要讨论水质的综合评价问题,根据所给材料,结合所建立的数学模型及所给出的评价标准，综合比较了四种水源之间的差异，采用层次分析法对某村各相距500米以上的四口水井水质进行排序，并依据所得出的结论对四种井水进行水质等级的评价。
对于问题一，采用层次分析法对四口井水质进行综合评价。
首先建立递阶层次结构模型，构建出单层次中的所有矩阵和总层次矩阵，然后进行层次单排序及一致性检验和层次总排序及一致性检验，结果表明矩阵的排序具有较满意的一致性,可以接受该分析结果。
四口水井水质由好到坏的排序为:
东水井、南水井、北水井、西水井。
对于问题二,运用多元分析法中的系统聚类分析法,充分利用了所给的各项数据，依据四口井水的检测数据与各项指标标准化的差值做为矩阵的元素，形成距离矩阵,求出较为准确的结论，画出矩阵图，可得出结论：
东井、南井、北井属于第Ⅰ类水质，西井属于第Ⅱ类水质。
关键词：
层次分析法、多元分析、系统聚类分析法.
一、问题重述
1.问题背景
水是地球上一切生物赖以生存也是人类生产生活不可缺少的最基本物质。
不同用途的水质要求有不同的质量标准。
我国规定，根据供水目的的不同，存在着饮用水水质标准、农用灌溉水水质标准等。
各种工业生产对水质要求的标准也各不相同，依照《地表水环境质量标准》（GB3838—2002）中规定，地面水使用目的和保护目标,中国地面水分五大类:
Ⅰ类水质，水质良好。
地下水只需消毒处理，地表水经简易净化处理（如过滤）、消毒后即可供生活饮用者。
Ⅱ类水质,水质受轻度污染.经常规净化处理（如絮凝、沉淀、过滤、消毒等），其水质即可供生活饮用者。
Ⅲ类水质,适用于集中式生活饮用水源地二级保护区、一般鱼类保护区及游泳区。
Ⅳ类水质,适用于一般工业保护区及人体非直接接触的娱乐用水区.
Ⅴ类水质，适用于农业用水区及一般景观要求水域。
超过五类水质标准的水体基本上已无使用功能。
2.问题重述
某村内有各相距500米以上的四口水井，分别位于村东、村西、村南和村北，由于农业和生活排放废物使地下浅表水遇到污染，水质监测资料如附录1所示。
请完成以下问题：
（1）请用2种以上的数学方法对该村的四个井水的水质进行排序,并比较是否由于方法的不同导致存在着异，以及差异产生的原因。
（只用了一种方法做）
（2）请对该村的四个井的地表水分别进行水质等级判断。
（水质分级标准参考附录2，或自己查有关资料）
二、问题分析
该村四口水井是村民饮用水，根据以上提到的《地表水环境质量标准》（GB3838-2002）的标准,必须符合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类水质。
因此，只需考虑前三类水质。
对于问题一，该问题要求我们对该村的四个井水水质进行排序,可根据层次分析法分析数据得到若干矩阵，进行整理综合，比较四口井水的水质，对四口井进行水质质量排序.
对于问题二，综合利用所给出的四口井水的检测数据与附录2中所给的数据进行比较,多元分析建立数学模型。
首先观察其所给附录1中监测数据，与附录2水质等级分类中的数据相对照,附录1中PH、溶解氧、高锰酸盐指数、化学需氧量等数据均在附录2中有所对应的数据，可以直接对比，而SO42、Cl-、铁、锰、铜等数据却并未在附录2中有具体分类指标，于是我组通过网络浏览查阅了各种资料，根据《地表水环境质量标准》（GB3838—2002）可知
集中式生活饮用水地表水源地补充项目标准限值单位：
mg/L
项目
标准极限
硫酸盐（以SO42—计）≦
250
氧化物（以Cl—计）≦
250
硝酸盐（以N计）≦
10
铁≦
0.3
锰≦
0.1
利用以上所查标准对SO42、Cl—、铁、锰、铜等数据进行标准化处理，对四口井监测以上项目进行数据比较，作出距离矩阵，对其进行求和，即可对四口井水水质等级进行等级分类。
三、模型假设
1.在所研究的时间内，四口井水的自然净化能力相似.
2.在所研究的时间内,不会出现较大的降水或干旱，四口井水的水质不会相互交换。
3.在所研究的时间内，四口井水被污染的程度是相似的,且周围的环境不会发生较大的变换。
四、符号说明
O—-目标层：
选择井水
C——准则层:
所检测的各项指标
P—-方案层：
东井水、南井水、西井水、北井水
Ci——准则层的i个指标（0≤i≤19）
A=（Cij）19*19—-O—C之间的成对比较矩阵，即为判断矩阵
P=（Pi）4＊4——P-C之间的矩阵
λmax-—判断矩阵A的最大特征根
W——判断矩阵A的最大特征根λmax的特征向量
CI——一致性指标
RI——平均随机一致性指标
CR——一致性比例
Ω—-样本集
——Ω×Ω———R+的一个距离函数
五、模型的建立与求解
1.问题一
1.1数据的处理
综合评价污染物对水质的影响数据标准化因为评价指标通常是一个介于0～1之间的数，所以将四个项目这两年多的数据全部进行标准化处理。
（1）PH依据附件2水质分级标准可知Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ级水的PH均为6-9，对其进行标准化，取其平均值为7。
5为其标准值。
（2）因Ⅰ类水质是比较好的饮用水，故其他数据均以Ⅰ类水作为标准对其进行标准化。
1。
2建立结构模型
O目标层井水水质排序
C准则层所检测的各项指标
P方案层东井水、南井水、西井水、北井水
建立井水优劣排序模型.
现要比较19个准则层的因子Ci对O的影响大小，故我们采用每次取两个因子Ci和Cj，以Aij表示Ci和Cj对O的影响大小之比,全部比较结果以矩阵A=（Cij）19*19（见附录3）表示,称A为O—C之间的成对比较矩阵。
不难看出，若Ci和Cj对A的影响之比为Cij，则Cj和Ci对A的影响之比为
.
还要对4口井水的水质进行数据处理，及作出P-C之间的矩阵P=（Pi）4*4（
）（见附录4）。
1。
3层次单排序及一致性检验
判断矩阵A对应于最大特征值λmax的特征向量W，经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程即为层次单排序。
计算一致性指标
.
查找相应的平均随机一致性指标RI对n=1到9RI的值，如下表
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
RI
0
0
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1。
45
用随机方法构造500个样本矩阵：
随机地从1-9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值
。
计算平均随机一致性指标
。
则一致性比列
。
根据所给的数据可算出：
成立,认为判断矩阵的一致性是可以接受的。
1。
4层次总排序及一致性检验
我们最终要得到各元素，特别是最低层中各方案对于目标的排序权重,从而进行方案选择。
总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。
根据所给的数据可算出：
成立，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。
1。
5结算结果及结论（matlab（程序见附录5））
东
南
西
北
总排序权重
0。
46
0。
27
0.09
0.18
故四口井水的水质排序是：
东水井、南水井、北水井、西水井
2.问题二
2.1数据处理
（1）通过附件2可以发现，溶解氧越大，说明水质越好，所给四口井的溶解氧基本位于5～8（单位：
）之间,并且水质的分类等级标准中只有溶解氧此项取“>”，其余各项均取“≤”，为了保持相同的比较规则，在标准化溶解氧时只需把溶解氧浓度取倒数即可。
（2）SO42-、Cl—、铁、锰、硝酸盐（以N计）依据问题分析中表格对其进行标准化。
（3）其他数据处理方式同问题一。
2.2建立结构模型求解结果
相似性度量
Ω是样本集，距离
是Ω×Ω→R+的一个函数，满足条件如下:
（1）d（x，y）>=0，x，y∈Ω
（2）d（x,y）=0,当且仅当x=y
（3）d（x，y）=d（x，y），x,y∈Ω
（4）d（x，y）〈=d（x,z）+d（z，y）,x，y,z∈Ω
对于相似度的比较，我们选取“欧氏距离”作为标准,求值如下：
得出距离矩阵如下表：
表一距离矩阵
Ⅰ类水质标准
Ⅱ类水质标准
Ⅲ类水质标准
东井水质
西井水质
南井水质
北井水质
Ⅰ类水质标准
0
0.1806
0。
9817
0。
0406
0。
1993
0.0683
0。
1050
Ⅱ类水质标准
0。
1806
0
0。
8010
0.2207
0.0589
0。
1688
0.1319
Ⅲ类水质标准
0.9817
0.8010
0
1。
0202
0。
8587
0。
9689
0.9320
东井水质
0。
0406
0.2207
1。
0202
0
0。
1965
0。
0796
0。
1275
西井水质
0。
1993
0.0589
0。
8587
0。
1965
0
0.1334
0.1080
南井水质
0.0683
0.1688
0。
9689
0。
0796
0.1334
0
0。
0562
北井水质
0.1050
0.1319
0。
9320
0。
1275
0。
1080
0.0562
0
同时用matlab（程序见附录6）得出聚类分析图,建立井水水质聚类分析模型,分类结果如下:
图一聚类方法图
由图可知东井、南井、北井属于第Ⅰ类水质，西井属于第Ⅱ类水质。
六、模型评价
1.优点：
在解题过程中，建立模型所应用层次分析法和多元分析法均能对数据进行较为全面的处理，应用了题目中给予的所有数据,使结果较为准确，具有更高的可信度。
问题一运用层次分析法，是系统性的分析方法，把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，使每个层次中的每个因素对结果的影响程度都是量化的，非常清晰、明确。
而且层次分析法把定性方法与定量方法有机地结合起来，将复杂的系统分解,能将人们的思维过程数学化、系统化，便于人们接受，将题中多目标、多准则又难以全部量化处理的决策比较问题化为多层次单目标问题，通过各个因子之间的两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关系后,最后进行简单的数学运算.
问题二运用多元分析法,它利用降维技术用少数几个综合变量来代替原始多个变量,这些综合变量集中了原始变量的大部分信息。
且它通过计算综合主成分函数得分，对问题进行了科学评价，得出较为准确的结论。
并且聚类分析模型的优点就是直观，使结论形式简明。
2.缺点：
对问题的处理过程中选择了较为简单的模型，因此对各方面因素的考虑可能不够充分。
层次分析法是一种带有模拟人脑的决策方式的方法,因此必然带有较多的定性色彩，会因为标准的不同而导致结果不同，本题我们选用了Ⅰ类的标准计算，也可选用其他类别的标准来计算，这使问题一的结论带有过多的个人色彩。
运用多元分析法建立的聚类分析模型并不是应用的题目所给的原始数据，而是对数据进行了整合，使一部分数据产生丢失。
3.
附录1
某村井水水质监测数据
报告编号：
商水监/SM089—2009监测日期：
2011.10.15
样品类别
样品编号
pH
溶解氧
总硬度
SO42-
Cl-
铁
锰
铜
锌
挥发酚
高锰酸
盐指数
化学需氧量
mg/L
东井
DB011015
8.10
5.1
350
183
169
0。
08
0.17
〈DL
0。
15
0。
006
23。
8
51。
4
西井
DB021015
8.34
6。
9
327
138
160
0.11
0.19
0。
15
0.003
16。
2
65。
1
南井
DB031015
7.49
6。
4
524
232
162
0。
07
0。
20
〈DL
0.27
1.9
〈10
北井
DB041015
7。
15
7.2
1020
209
312
1。
08
0。
65
0。
19
〈DL
1.7
<10
某村井水水质监测数据
报告编号:
商水监/SM089—2009监测日期：
2011。
10。
15
样品类别
样品编号
总磷
硝酸
盐氮
亚硝酸
盐氮
氨氮
氟化物
氰化物
汞
砷
镉
六价铬
铅
粪大肠
菌群
mg/L
（个/L）
东井
DB011015
0。
78
1.35
0.026
10。
7
1.48
〈DL
〈DL
0.0026
〈DL
900
西井
DB021015
0.98
2.63
0。
012
13。
0
1。
72
〈DL
0.0178
〈DL
1805
南井
DB031015
0。
15
18.4
0.321
0。
05
0.53
〈DL
0。
0025
〈DL
600
北井
DB041015
0。
03
0。
32
0.004
2.18
〈DL
0。
0211
〈DL
968
附录2
序号
分类
标准值
项目
《地表水环境质量标准》GB3838—2002
基本项目标准限值
I类
II类
III类
1
pH值
无量钢
6-9
2
溶解氧 （mg/L）
＞
饱和率90％
（或7.5）
6
5
3
高锰酸盐指数 （mg/L）
≤
2
4
6
4
化学需氧量（COD）（mg/L）
≤
15
15
20
5
五日生化需氧量（BOD5）（mg/L）
≤
3
3
4
6
氨氮（NH3—N） （mg/L）
≤
0。
15
0。
5
1。
0
7
总磷（以P计） （mg/L）
≤
0。
02
（湖、库0。
01）
0。
1
（湖、库0.025）
0.2
（湖、库0。
05）
8
总氮（湖、库，以N计）（mg/L）
≤
0。
2
0。
5
1.0
9
铜 （mg/L）
≤
0。
01
1.0
1。
0
10
锌 （mg/L）
≤
0.05
1。
0
1。
0
11
氟化物（以F计）（mg/L）
≤
1.0
1。
0
1。
0
12
硒 （mg/L）
≤
0。
01
0.01
0。
01
13
砷 （mg/L）
≤
0.05
0.05
0.05
14
汞 （mg/L）
≤
0。
00005
0。
00005
0.0001
15
镉 （mg/L）
≤
0.001
0.005
0.005
16
铬（六价）（mg/L）
≤
0.01
0。
05
0.05
17
铅 （mg/L）
≤
0.01
0。
01
0.05
18
氰化物 （mg/L）
≤
0。
005
0.05
0。
2
19
挥发酚 （mg/L）
≤
0。
002
0。
002
0.005
20
石油类 （mg/L）
≤
0。
05
0。
05
0。
05
21
阴离子表面活性剂（mg/L）
≤
0.2
0。
2
0。
2
22
硫化物
≤
0。
05
0.1
0。
2
23
粪大肠菌群 （个/L）
≤
200
2000
10000
附录3
pH值
溶解氧（mg/L）
高锰酸盐指数（mg/L）
化学需氧量（COD）（mg/L）
氨氮（NH3-N）（mg/L）
总磷（以P计）（mg/L）
总氮（湖、库,以N计）（mg/L）
铜（mg/L）
锌（mg/L）
氟化物（以F计）（mg/L）
砷（mg/L）
汞（mg/L）
镉（mg/L）
铬（六价）（mg/L）
铅（mg/L）
氰化物（mg/L）
挥发酚（mg/L）
硫化物
粪大肠菌群（个/L）
pH值
1
1
3。
75
0.5
50
375
37.5
75
150
7。
5
150
150000
7500
750
750
1500
3750
150
0.0375
溶解氧（mg/L）
1
1
3。
75
0。
5
50
375
37。
5
75
150
7.5
150
150000
7500
750
750
1500
3750
150
0。
0375
高锰酸盐指数（mg/L）
0。
266666667
0.266666667
1
0。
133333333
13.33333333
100
10
200
40
2
40
40000
2000
200
200
400
1000
40
0.01
化学需氧量（COD）（mg/L）
2
2
7。
5
1
100
750
75
1500
300
15
300
300000
15000
1500
1500
3000
7500
300
0.075
氨氮（NH3-N）（mg/L）
0.02
0.02
0。
075
0。
01
1
7.5
0。
75
15
3
0。
15
3
3000
150
15
15
30
75
3
0.00075
总磷（以P计）（mg/L）
0.002666667
0。
002666667
0.01
0.001333333
0.133333333
1
0。
1
2
0.4
0。
02
0.4
400
20
2
2
4
10
0。
4
0。
0001
总氮（湖、库，以N计）（mg/L）
0。
026666667
0。
026666667
0。
1
0.013333333
1。
333333333
10
1
20
4
0.2
4
4000
200
20
20
40
100
4
0。
001
铜（mg/L）
0.013333333
0。
013333333
0。
005
0.000666667
0。
066666667
0。
5
0。
05
1
0.2
0.01
0.2
200
10
1
1
2
5
0.2
0.00005
锌（mg/L）
0。
006666667
0。
006666667
0。
025
0。
003333333
0.333333333
2。
5
0。
25
5
1
0.05
1
1000
50
5
5
10
25
1
0.00025
氟化物（以F计）（mg/L）
0.133333333
0。
133333333
0。
5
0.066666667
6.666666667
50
5
100
20
1
20
20000
1000
100
100
200
500
20
0。
005
砷（mg/L）
0.006666667
0.006666667
0.025
0.003333333
0.333333333
2。
5
0.25
5
1
0.05
1
1000
50
5
5
10
25
1
0。
00025
汞（mg/L）
6.66667E—06
6。
66667E—06
0.000025
3.33333E—06
0。
000333333
0.0025
0。
00025
0.005
0.001
0。
00005
0。
001
1
0.05
0.005
0.005
0.01
0.025
0.001
0。
00000025
镉（mg/L）
0。
000133333
0.000133333
0。
0005
6。
66667E—05
0.006666667
0.05
0。
005
0。
1
0.02
0.001
0.02
20
1
0。
1
0.1
0。
2
0.5
0。
02
0.000005
铬（六价）（mg/L）
0。
001333333
0.001333333
0。
005
0。
000666667
0.066666667
0.5
0.05
1
0。
2
0。
01
0。
2
200
10
1
1
2
5
0。
2
0。
00005
铅（mg/L）
0.001333333
0。
001333333
0.005
0.006666667
0。
666666667
0。
5
0.05
1
0.2
0.01
0。
2
200
10
1
1
2
5
0.2
0.00005
氰化物（mg/L）
0。
000666667
0。
000666667
0。
0025
0.003333333
0.333333333
0.25
0。
025
0.5
0。
1
0。
005
0。
1
100
5
0。
5
0.5
1
2.5
0。
1
0。
000025
挥发酚（mg/L）
0。
000266667
0.000266667
0.001
0。
001333333
0.133333333
0。
1
0.01
0.2
0.04
0.002
0。
04
40
2
0.2
0.2
0.4
1
0.04
0。
00001
硫化物
0。
006666667
0。
006666667
0.025
0.003333333
0。
333333333
2。
5
0。
25
5
1
0。
05
1
1000
50
5
5
10
25
1
0。
00025
粪大肠菌群（个/L）
26.66666667
26。
66666667
100
13。
33333333
1333。
333333
10000
1000
20000
4000
200
4000
4000000
200000
20000
20000
40000
100000
4000
1
附件4
溶解氧（mg/L）
东
西
南
北
东1/5.1
1
1.352941176
1。
254901961
1.411764706
西1/6.9
0.739130435
1
0.927536232
1.043478261
南1/6.4
0.796875
1.078125
1
1.125
北1/7.2
0.708333333
0.958333333
0.888888889
1
高锰酸盐指数（mg/L）
东
西
南
北
东23.8
1
1.469135802
12。
52631579
14
西16。
2
0.680672269
1
8.526315789
9。
529411765
南1.9
0.079831933
0.117283951
1
1。
117647059
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