数学建模 对汽车保险问题的研究.docx
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数学建模对汽车保险问题的研究
对汽车保险问题的研究
摘要
汽车保险的基本保险费与政府政策和保险公司的盈利目标与运作方式密切相关。
我们忽略了自然因素和人为因素对其的影响，经查阅相关资料，运用人口阻滞模型和泊松分布，建立了相应模型。
我们还了解到了中国汽车保险业的相关规则：
在被保人从保险公司得到过赔偿之后将不能退保，即为注销人数等于死亡司机人数和自然退保人数之和。
基于此，我们首先利用Venn图梳理此公司投保人类别的关系，同时利用已知数据，对此公司的四类投保人的人数以及各项费用建立了相应的数学表达式，确定了安全带法规实施后的续保人数，注销人数，索赔人数，死亡司机人数及修理费，医疗费，赔偿费等费用。
从而可以计算出偿还退回的金额，以及总赔偿费。
进一步，我们还了解到，中国的汽车保险费用由净保费和附加保费两部份构成，附加保费用于支付保险公司的营业费用，这部分费用可假定不变。
我们假设公司的运营状况正常，即收支平衡，从而建立了颁布安全带法规之后该公司的总保险费的表达式，进而可计算出基本保险费金额。
在下一年度医疗费下降20%~40%的条件下，我们计算出基本保险费的金额幅度为：
677~623。
由于政府的期望与保险公司的利益有一定冲突，在医疗费下降幅度确定为20%和40%的情况下，我们假定保险公司利益不变，基于此条件下，将相关模型运用C语言函数计算，我们得到在安全带法规实施后的五年里，每一年的基本保险费金额依次为677、676、675、675、674；623、622、622、621、621。
我们没有考虑保险公司自身运作方式和社会交通状况的发展，物价的变化以及众多偶然的和难以调和的因素对模型的影响，分析了动态中的静态情况，即只考虑了新投保人数的人口阻滞模型和投保人索赔概率的泊松分布对此模型的影响，在一定意义上对公司未来的基本保险费进行数学估算。
本模型对理想状况的分析和研究具有一定参考价值，但在应用于实际问题时，需整合更多的实际因素和市场信息，在较为准确的市场预测和估算的基础上，可得出对政府和公司具有建设性意义的结论和理论指导。
关键词：
基本保险费人口阻滞模型泊松分布医疗费
一、问题重述
有保险公司提供一年期车保业务，客户分0，1，2，3四类，若此年无赔偿要求，则按类别给予相应补助，并在下一年续保中，提升一个类别。
否则直降两个类别，直至0类。
新客户为0类，若客户中途推出保险，则无论何种情况，均退还保险金适当部分。
政府将于下一年实施安全带法规，则受伤司机和乘员将会减少，进而医疗费减少，最终影响我们所需求解的保险费的数额。
已知每年事故数量不会减少，且死亡的司机会减少40%，医疗费下降范围为20%~40%，以及当年度此保险公司的统计报表。
建立相应模型，并以报表数据验证之，同时估算今后5年每年每份保险费的数额。
二、问题分析
通过分析统计报表，我们可了解到此公司的客户结构，赔偿方式，资金分配，盈亏状况。
从本年度客户结构，我们可结合Venn图推演出下一年度的客户类型及相应的数量；从本年度赔偿方式，我们将安全带法规实施后的参数变动和依此处理出的新数据代入赔偿公式，可得到下一年度的索赔款。
从本年度资金分配，我们可沿用其分配方式，对下一年的收支进行统计，分析。
从本年度盈亏状况，我们可调整下一年的保险费数额，从而建立出保险公司，社会双双收益的合理的资金调配结构，从而，我们可以由此建立出相应模型，并且由模型分析出今后的情况，得出合理的结果和意见。
由于问题具有较强的实际性和复杂度，我们需经过合理的假设和简化，提取主要因素，忽略次要因素，以获得较为合理的模型，从而估算未来基本保险费用的发展和变化。
三、问题假设
1.新投保人数符合人口阻滞模型。
2.每年的事故数量不变。
3.每个人的索赔次数服从泊松分布。
4.预计总收入与实际总收入之差不变。
5.无自然突发状况。
如：
地震，海啸，核爆炸等。
6.支出不变。
7.后五年的收支平衡。
8.注销人数为自然退保人数和死亡人数之和。
9.每一类别的人没有索赔时补贴比例不变。
10.注销时每人平均的偿还退回金额不变。
11.下一年平均修理费不变。
12.近几年物价不变。
四、符号说明
符号
意义
本年度的人数
实施安全带法规之后第一年的人数
各部分费用金额
医疗费下降系数
基本保险费用
取0，1，2，3，4，5，代表年份
死亡人数下降比例
取0，1，2，3，代表类别
总保费
说明：
其中，下标“总”表示总投保人数或总收入，“续”表示续保人数，“新”表示新投保人数，“注”表示注销人数，“索”表示索赔人数或索赔费用，“死”表示死亡人数或死亡赔偿费用，“修”表示修理费，“医”表示医疗费。
五、模型建立与求解
（1）首先我们需理清各投保人及其之间的关系，我们想到利用Venn图。
图示如下：
图一Venn分析图
（2）根据题意，本年度的统计报表如下：
表1本年度发放的保险单数
基本保险费：
775元
类别
没有索赔时补贴比例（%）
续保人数
新投保人数
注销人数
总投保人数
0
1
1280708
384620
18264
1665328
1
25
1764897
1
28240
1764898
2
40
1154461
0
13857
1154461
3
50
8760058
0
324114
8760058
总收入：
6182百万元，偿还退回：
70百万元，净收入：
6112百万元；
支出：
149百万元，索赔支出：
6093百万元，超支：
130百万元。
表2本年度的索赔款
类别
索赔人数
死亡司机人数
平均修理费（元）
平均医疗费（元）
平均赔偿费（元）
0
582756
11652
1020
1526
3195
1
582463
23315
1223
1231
3886
2
115857
2292
947
823
2941
3
700872
7013
805
814
2321
总修理费：
1981（百万元），总医疗费：
2218（百万元），
总死亡倍偿费：
1894（百万元），总索赔费：
6093（百万元）
分析表1，表2可得：
下一年0类续保人数=0类索赔人数-0类死亡人数+1类降为0类的人数（1类索赔人数-1类死亡人数）+2类降为0类的人数（2类索赔人数-2类死亡人数），即：
（1）
下一年1类续保人数=0类升为1类的人数（0类总投保人数-0类索赔人数-0类注销人数+0类死亡人数）+3类降为1类的人数（3类索赔人数-3类死亡人数），即：
（2）
下一年2类续保人数=1类升为2类的人数（1类续保人数-1类索赔人数-1类注销人数+1类死亡人数），即：
（3）
下一年3类续保人数=2类升为3类人数（2类续保人数-2类索赔人数-2类注销人数+2类死亡人数）+3类续保人数-3类索赔人数-3类注销人数+3类死亡人数），即：
（4）
现在分析新投保人数。
由人口阻滞模型：
可令新投保人数为
，其中
为时间；
为新投保人数的增长率。
设
为
的线性函数
，这里
为固有增长率。
为了确定系数
的意义，引入投保人数最大值
。
因此，新投保人数增长率
可表示为：
（5）
在上式假设下建立阻滞增长模型如下：
（6）
用分离变量法求解，结果为：
（7）
带入本年度新投保人数并取
，得出
，所以新投保人数的阻滞增长模型即为：
（8）
由上式即可得今后五年的新投保人数如下表：
表3五年的新投保人数
第一年
第二年
第三年
第四年
第五年
396549
404144
408895
411831
413632
然后分析索赔人数。
查阅相关资料可知，在总投保人数中每一个人的索赔次数服从泊松分布，所以他索赔
次的概率
为：
（9）
所以，他至少索赔一次的概率
为：
（10）
所以总人数中
个人索赔的概率为：
（11）
所以：
（12）
由此可得到索赔人数与总投保人数之间的关系为：
（13）
带入数据计算可得到各类索赔人数与总投保人数的关系，见下表所示。
表4索赔人数与总投保人数之间的关系
类别
函数
第0类
0.4307
第1类
0.4005
第2类
0.1057
第3类
0.0834
最后，我们认为死亡司机人数以及注销人数和总投保人数无关，只因为政府实施安全带法规而发生改变。
（3）运用上述公式
（1），
（2），（3），（4），（8），（13），以及本年度此公司的统计报表，我们使用C语言编程运算得到数据，记录至下列表格中：
表5实施安全带法规后第一年发放的保险单数
类别
没有索赔时补贴比例（%）
续保人数
新投保人数
注销人数
总投保人数
0
0
1243817
396549
13603
1640366
1
25
1769819
0
18914
1769819
2
40
1177509
0
12940
1177510
3
50
8769124
0
321309
8769124
表6实施安全带法规后第一年的索赔款
类别
索赔人数
死亡司机人数
平均修理费（元）
平均医疗费（元）
平均赔偿费（元）
减少20%
减少40%
0
574040
6991
1020
1221
916
3195
1
584067
13989
1223
985
739
3886
2
118111
1375
947
658
494
2941
3
701678
4208
805
651
488
2321
由表5，表6
由于本年度0，1，2，3类总注销人数为
，所以每人偿还退回的金额为
。
根据假设11，总修理费不变，为1981百万元。
附加保费等于总保费减去总收入，且保持不变。
由本年度可知：
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
（21）
（22）
由此，我们可以得到具体的模型：
（23）
（24）
在医疗费下降20%~40%的情况下，我们计算出基本保险费的金额为677、623。
（4）同以上方法相同，我们利用循环语句可计算出第二，三，四，五年度的预计统计报表，表格如下：
表7第二年度发放保单数
类别
没有索赔补贴比例（%）
续保人数
新投保人数
注销人数
总投保人数
0
0
1253863
404144
13603
1658008
1
25
1757184
0
18914
1757184
2
40
1180827
0
12940
1180827
3
50
8798178
0
321309
8798178
表8第三年度发放保单数
类别
没有索赔补贴比例（%）
续保人数
新投保人数
注销人数
总投保人数
0
0
1256198
408895
13603
1665093
1
25
1770977
0
18914
1770977
2
40
1172362
0
12940
1172362
3
50
8827893
0
321309
8827893
表9第四年度发放保单数
类别
没有索赔补贴比例（%）
续保人数
新投保人数
注销人数
总投保人数
0
0
1262381
411831
13603
1674212
1
25
1777961
0
18914
1777961
2
40
1181603
0
12940
1181603
3
50
8847614
0
321309
8847614
表10第五年度发放保单数
类别
没有索赔补贴比例（%）
续保人数
新投保人数
注销人数
总投保人数
0
0
1268804
413632
13603
1682436
1
25
1785467
0
18914
1785467
2
40
1186282
0
12940
1186282
3
50
8874071
0
321309
8874071
在医疗费下降20%的情况下，此四年的基本保险费依次为：
676、675、675、674。
在医疗费下降40%的情况下，此四年的基本保险费依次为：
622、622、621、621。
我们可利用MATLAB分析此结果。
图二本模型两种结果对比图
六、模型误差分析
由于汽车保险涉及到很多社会因素和人为因素。
在模型中不可能完全考虑在内，所以此模型存在误差。
1.社会因素引起的误差
汽车保险公司收取的保险费受很多因素影响。
诸如每年的经济发展情况、车价、交通部门发布的一些政策、各个汽车保险公司之间的竞争等等。
这些因素都会影响汽车保险费用。
这些因素是我们不能精确考虑在内的，所以此模型与实际有很大的误差。
2.建模过程中的误差
此题建立的模型简化了诸多波动因素，如死亡司机人数、注销人数，所得结果可能与现实还有很大的误差，同时我们还做了很多的假设，这些假设也会给模型带来误差。
还有在数据优化方面也有所限制，可能略微影响到结果地准确性。
且运算本身存在误差。
以上为模型无法逃避的误差。
七、模型评价及推广
本模型是对基本保险费的计算和估测。
模型中，我们利用通过Venn图分析个模型量之间的关系，建立出较为合理的数学关系，同时本模型结合部分实际情况，以实际问题为背景，考虑到了人口阻滞增长的问题和索赔人数与总人数的关系，具有一定得科学性。
还有此模型用到了大量的数学模型，具有一定的理论基础，可信度高。
但此模型也存在了一些缺点，此模型较为复杂，不能对其进行全方面的考虑，使得结果与实际有一些偏差。
还有我们的模型有需改进之处，本题认为保险公司收取的费用对不同的人是一样的。
但现实生活中，保险公司应对不同人采取不同的策略。
由于每个人驾驶经验，年龄，家庭条件不一。
所以他们需要交的汽车保险费应不同。
同时不同人的车也是不同的，车的价位应影响到保险的费用，因为一旦出现事故，汽车保险公司就必须索赔，但由于车的价位不同，修理的费用自然就不同，所以保险公司应该根据车的名贵程度来衡量汽车保险费用。
本模型可以应用于很多其他多因素决定单变量的问题,如：
人口增长问题，其他类型保险业务等等，本模型尤其对费用的估算与预测有很大帮助。
参考文献
[1]吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005
[2]李玉泉，责任保险与索赔理赔，人民法院出版社，2002
[3]楼顺天，MATLAB7.x程序设计语言（第二版），西安电子科技大学出版社，2007
[4]谭浩强，C语言程序设计，清华大学出版社，2000
附录
1．C语言程序
#include"math.h"
#include"stdio.h"
#include"stdlib.h"
voidyear1（）;
voidyear2（）;
voidyear3（）;
voidyear4（）;
voidyear5（）;
voidmoney（）;
main（）
{
year1（）;
year2（）;
year3（）;
year4（）;
year5（）;
money（）;
printf（"TheEnd!
\n"）;
getch（）;
}
voidyear1（）
{floatBR[4][6],SP40[4][7]={0},a;
inti,j;
FILE*outfile,*sp,*br,*s40;
floatA[4][6]={0};
floatSP[4][6]={0};
outfile=fopen（"BR0.txt","r"）;
sp=fopen（"SP0.txt","r"）;
br=fopen（"BR1.txt","w"）;
s40=fopen（"SP1.txt","w"）;
for（i=0;i<4;i++）
for（j=0;j<6;j++）
{A[i][j]=0;
fscanf（outfile,"%f",&a）;
A[i][j]=a;
BR[i][j]=a;
}
for（i=0;i<4;i++）
for（j=0;j<6;j++）
{SP[i][j]=0;
fscanf（sp,"%f",&a）;
SP[i][j]=a;
if（j==5）SP40[i][j+1]=a;elseSP40[i][j]=a;
}
BR[0][2]=SP[0][1]-SP[0][2]+SP[1][1]-SP[1][2]+SP[2][1]-SP[2][2];
BR[1][2]=A[0][3]+A[0][2]-SP[0][1]-A[0][4]+SP[0][2]+SP[3][1]-SP[3][2];
BR[2][2]=A[1][2]-SP[1][1]-A[1][4]+SP[1][2];
BR[3][2]=A[2][2]-SP[2][1]-A[2][4]+SP[2][2]+A[3][2]-SP[3][1]-A[3][4]+SP[3][2];
BR[1][3]=0;
for（i=0;i<4;i++）
{
SP40[i][2]=0.6*SP40[i][2];
SP40[i][5]=0.6*SP40[i][4];
SP40[i][4]=0.8*SP40[i][4];
}
BR[0][3]=416440/（1+0.0827*exp（-0.5））;
for（i=0;i<4;i++）
{BR[i][5]=BR[i][2]+BR[i][3];
BR[i][4]=BR[i][4]-0.4*SP[i][2];}
SP40[0][1]=BR[0][5]*（1-exp（-0.4307））;
SP40[1][1]=BR[1][5]*（1-exp（-0.4005））;
SP40[2][1]=BR[2][5]*（1-exp（-0.1057））;
SP40[3][1]=BR[3][5]*（1-exp（-0.0834））;
for（i=0;i<4;i++）
{for（j=0;j<6;j++）
fprintf（br,"%8.0f",BR[i][j]）;
for（j=0;j<7;j++）
fprintf（s40,"%8.0f",SP40[i][j]）;
fprintf（br,"\n"）;
fprintf（s40,"\n"）;
}
fclose（outfile）;
fclose（sp）;
fclose（br）;
fclose（s40）;
}
voidyear2（）
{floatBR[4][6],a;
inti,j;
FILE*outfile,*br,*s20,*s2;
floatA[4][6]={0};
floatSP[4][7]={0};
outfile=fopen（"BR1.txt","r"）;
br=fopen（"BR2.txt","w"）;
s20=fopen（"SP1.txt","r"）;
s2=fopen（"SP2.txt","w"）;
for（i=0;i<4;i++）
for（j=0;j<6;j++）
{A[i][j]=0;
fscanf（outfile,"%f",&a）;
A[i][j]=a;
BR[i][j]=a;
}
for（i=0;i<4;i++）
for（j=0;j<7;j++）
{SP[i][j]=0;
fscanf（s20,"%f",&a）;
SP[i][j]=a;
}
BR[0][2]=SP[0][1]-SP[0][2]+SP[1][1]-SP[1][2]+SP[2][1]-SP[2][2];
BR[1][2]=A[0][3]+A[0][2]-SP[0][1]-A[0][4]+SP[0][2]+SP[3][1]-SP[3][2];
BR[2][2]=A[1][2]-SP[1][1]-A[1][4]+SP[1][2];
BR[3][2]=A[2][2]-SP[2][1]-A[2][4]+SP[2][2]+A[3][2]-SP[3][1]-A[3][4]+SP[3][2];
BR[1][3]=0;
BR[0][3]=416440/（1+0.0827*exp（-1））;
for（i=0;i<4;i++）
{BR[i][5]=BR[i][2]+BR[i][3];
}
SP[0][1]=BR[0][5]*（1-exp（-0.4307））;
SP[1][1]=BR[1][5]*（1-exp（-0.4005））;
SP[2][1]=BR[2][5]*（1-exp（-0.1057））;
SP[3][1]=BR[3][5]*（1-exp（-0.0834））;
for（i=0;i<4;i++）
{for（j=0;j<6;j++）
fprintf（br,"%8.0f",BR[i][j]）;
for（j=0;j<7;j++）
fprintf（s2,"%8.0f",SP[i][j]）;
fprintf（br,"\n"）;
fprintf（s2,"\n"）;
}
fclose（outfile）;
fclose（br）;
fclose（s20）;
fclose（s2）;
}
voidyear3（）
{floatBR[4][6],a;
inti,j;
FILE*outfile,*br,*s20,*s3;
floatA[4][6]={0};
floatSP[4][7]={0};
outfile=fopen（"BR2.txt","r"）;
br=fopen（"BR3.txt","w"）;
s20=fopen（"SP2.txt","r"）;
s3=fopen（"SP3.txt","w"）;
for（i=0;i<4;i++）
for（j=0;j<6;j++）
{A[i][j]=0;
fscanf（outfile,"%f",&a）;
A[i][j]=a;
BR[i][j]=a;
}
for（i=0;i<4;i++）
for（j=0;j<7;j++）
{SP[i][j]=0;
fscanf（s20,"%f",&a）;
SP[i][j]=a;
}
BR[0][2]=SP[0][1]-SP[0][2]+SP[1][1]-SP[1][2]+SP[2][1]-SP[2][2];
BR[1][2]=A[0][3]+A[0][2]-SP[0][1]-A[0][4]+SP[0][2]+SP[3][1]-SP[3][2];
BR[2][2]=A[1][2
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