比例谐振控制算法分析.docx
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比例谐振控制算法分析
比例谐振控制算法分析
0 前言.......................................................................................................................................2
1 PR 控制器..............................................................................................................................2
2 准 PR 控制器........................................................................................................................5
3 准 PR 控制器的参数设置....................................................................................................6
3.1 𝜔𝑐 = 0, 𝐾𝑅变化 .........................................................................................................6
3.2 𝜔𝑐变化, 𝐾𝑅 = 1 .........................................................................................................6
4 准 PR 控制器的离散化........................................................................................................7
附录 A 数字滤波器设计.........................................................................................................9
A.1 脉冲响应不变法.......................................................................................................9
A.2 双线性变换法.........................................................................................................10
附录 B 双线性变换法原理...................................................................................................13
B.1 连续时间系统 H（s）的最基本环节.........................................................................13
B.2 积分的数值计算与离散一阶系统.........................................................................13
B.3 连续时间一阶环节的离散实现.............................................................................14
B.4 高阶连续时间系统的离散实现.............................................................................14
0 前言
在整流器和双馈发电机的矢量控制系统中广泛地采用了坐标变换技术，将三相静止坐
标系下的电流电压等正弦量转化为同步旋转坐标系下的直流量，这一方面是为了简化系统
的模型，实现有功功率和和无功功率的解耦，另一方面是因为 PI 控制器无法对正弦量实现
无静差控制。
坐标变换简化了控制系统外环的设计，却使电流分量互相耦合，造成内环结构
复杂，设计困难。
PR 控制器可以实现对交流输入的无静差控制。
将 PR 控制器用于网侧变换器的控制系
统中，可在两相静止坐标系下对电流进行调节。
可以简化控制过程中的坐标变换，消除两相
静止坐标系下对电流进行调节。
可以简化控制过程中的坐标变换，消除电流 d、q 轴分量之间
的耦合关系，且可以忽略电网电压对系统的扰动作用。
此外，应用 PR 控制器，易于实现低次
谐波补偿，这些都有助于简化控制系统的结构。
1 PR 控制器
PR 控制器，即比例谐振控制器，由比例环节和谐振环节组成，可对正弦量实现无静差控
制。
理想 PR 控制器的传递函数如下式所示：
2
式中𝐾𝑝为比例项系数，
为谐振项系数，𝜔0
𝐾R 为谐振频率。
PR 控制器中的积分环节又称
广义积分器，可以对谐振频率的正弦量进行幅值积分。
对于同频的输入信号𝑀sin （𝜔𝑡 + 𝜑），该环节的时域响应分析如下：
输入信号的拉普拉斯变换为：
𝐿（𝑀sin （𝜔𝑡 + 𝜑）） = 𝐿（𝑀sin （𝜔𝑡）𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑀𝑐𝑜𝑠（𝜔𝑡）𝑠𝑖𝑛𝜑）=
𝐾Rs
𝑀𝑐𝑜𝑠𝜑 ∗ 𝜔
𝑠
𝑠2 + 𝜔2
经过𝑠
2
+ 𝜔20
后的表达式为：
（𝑀𝑐𝑜𝑠𝜑 ∗
2
𝜔
2
𝑠
） *
𝐾Rs
𝑠 2 + 𝜔20 𝐾R * M * 𝑐𝑜𝑠𝜑 ∗
𝜔s
2 2 2
+ 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∗
2
𝑠2
）
= 𝐾R * M * （𝑐𝑜𝑠𝜑 ∗
𝜔s
2 2 2
+ 𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑠2 - 𝜔2
2 2 2
+
2
1
]）
分别推导tcos𝜔𝑡、tsin𝜔𝑡的拉普拉斯变换为（推导见下一页）：
L（tcos𝜔𝑡） = 𝑠2 ‒ 𝜔2
（𝑠2 + 𝜔2）2，
𝐿（𝑡𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡） = 2𝜔𝑠
（𝑠2 + 𝜔2）2
求上式的拉普拉斯反变换为：
𝐾R * M * （
𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑠𝑖𝑛𝜑
2
1
整理后得：
𝐾R * M
由上式可知，当𝜑 = 0时，输出信号为
𝐾R * M
2 * （（t）𝑠𝑖𝑛（𝜔𝑡））
与输入信号相位相同，幅值呈时间线性上升。
当𝜑 = 90时，输出信号为：
𝐾R * M1
𝜔
当时间稍大时，该值贴近于𝑐𝑜𝑠（𝜔𝑡），从整体看，该谐振器（或称之为广义积分器）是对误
差信号的按时间递增。
观察t𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡的拉普拉斯变换：
2𝑗）
= 1
1
2𝑗 （𝑠 ‒ 𝑗𝜔）
（𝑠 + 𝑗𝜔）2
）
4𝑗𝜔𝑠
2𝑗 （𝑠 ‒ 𝑗𝜔）2（𝑠 + 𝑗𝜔）2
）
=2𝜔𝑠
（𝑠 2 + 𝜔2）2
再观察tcos𝜔𝑡的拉普拉斯变换
2）
1
2
1
2 （𝑠 ‒ 𝑗𝜔）2 +
1
（𝑠 + 𝑗𝜔）2
）
=
（
𝑠2 - 𝜔2
（𝑠 ‒ 𝑗𝜔）2（𝑠 + 𝑗𝜔）2
）
+ 𝜔20
= 𝑠2 ‒ 𝜔2
（𝑠2 + 𝜔2）2
如下图所示，PR 控制器中的积分部分𝑠
𝐾Rs
2
，在谐振频率点达到无穷大的增益，在这个
频率点之外几乎没有衰减。
因此，为了有选择地补偿谐波，它可以作为一个直角滤波器。
2 准 PR 控制器
如上所述，与 PI 控制器相比，PR 控制器可以达到零稳态误差，提高有选择地抗电网电
压干扰的能力。
但是在实际系统应用中，PR 控制器的实现存在两个主要问题：
●由于模拟系统元器件参数精度和数字系统精度的限制，PR 控制器不易实现
●PR 控制器在非基频处增益非常小，当电网频率产生偏移时，就无法有效抑制电网
产生的谐波。
因此，在 PR 的基础上，提出了一种易于实现的准 PR 控制器，既可以保持 PR 控制器的
高增益，同时还可以有效减小电网频率偏移对逆变器输出电感电流的影响。
准 PR 控制器传递函数为：
𝑠 + 2𝜔𝑐𝑠 + 𝜔20
G（𝑠） = 𝐾𝑝 +
2
2𝐾R𝜔𝑐s
控制器波特图如下图所示，从图中所示，控制器在基波频率处的幅频特性为
A（𝜔0） = 60𝑑𝐵.同时相角裕度为无穷大，因此基本可以实现零稳态误差，同时具有很好的稳
态裕度和暂态性能。
3 准 PR 控制器的参数设置
由此可见，除了比例系数外，准 PR 控制器主要有KR、𝜔𝑐两个参数。
为了分析每个参数
对控制器的影响，可先假设其余参数不变，然后观察这个参数变化时间对系统性能的影响。
3.1 𝜔𝑐 = 0, KR变化
控制器传递函数的波特图如下图所示，从图中可以看出，KR参数增大时，控制器的峰值
增益也增大，而控制器的带宽却没有变化。
因此KR参数和控制器的峰值增益成正比。
3.2 𝜔𝑐变化, KR
= 1
由下图可知，参数𝜔𝑐不仅影响控制器的增益，同时还影响控制器截止频率的带宽。
随着
𝜔𝑐的增加，控制器的增益和带宽都会增加（基频增益为KR不变）。
将𝑠 = 𝑗𝜔代入传递函数，则
有：
1 + 𝑗（𝜔 - 𝜔20）/2𝜔𝑐𝜔
G（𝑗𝜔） =
2𝐾R𝜔𝑐𝑗𝜔
‒ 𝜔 2 + 2𝜔𝑐𝑗𝜔 + 𝜔20 =
2
𝐾R
根据对带宽的定义，|G（𝑗𝜔）| = 𝐾R/ 2时，此时计算得到的两个频率之差即为带宽。
令
|
（𝜔2 - 𝜔20）
2𝜔𝑐𝜔
| = 1,经过计算得到准谐振控制器的带宽为：
𝜔𝑐/𝜋Hz。
𝜔C
即
4 准 PR 控制器的离散化
模拟控制器的离散化有两种方式，分别为脉冲响应不变法与双线性变换法，此处采用脉
冲响应不变法对其进行离散化
PR 控制器的数字实现方法主要有两种，分别是采用 Z 算符和采用𝛿算符对其进行离散
化。
G（𝑠） =2𝐾R𝜔𝑐s
𝑠2 + 2𝜔𝑐𝑠 + 𝜔20
2𝐾R𝜔𝑐s
=（
2
2 2
）（𝑠 ‒
2
2 2
）
2𝐾R𝜔𝑐s
=（𝑠 + 𝜔𝑐 ‒ 𝜔2 ‒ 𝜔20 ）（𝑠 + 𝜔𝑐 + 𝜔2 ‒ 𝜔20 ）
𝐴
𝐵
（𝑠 + 𝜔𝑐 + 𝜔2 ‒ 𝜔20 ）,
其中
𝐴 = 𝐾𝑅𝜔𝐶（1 ‒ 𝜔‒ 𝜔20
𝑅 𝐶
𝜔𝐶
𝜔2 ‒ 𝜔20
）
将上式通过脉冲响应不变法转成 z 变换，得：
G（z） =A𝑍
（）
+ B𝑍
（ ）
=
（ ）
A
）
+ B
（ ）
），
设 C=（
（ ）
）；D=（
（ ）
），则：
A
B
（𝐴 + 𝐵） ‒ （𝐴𝐷 ‒ 𝐵𝐶）𝑧 ‒ 1
1 - （C + D）𝑧 ‒ 1 + 𝐶𝐷𝑧 ‒ 2
设 Y=GX，则转成差分函数后，该式可表达成：
𝑦（𝑛） = （C + D）𝑦（𝑛 ‒ 1） ‒ 𝐶𝐷𝑦（𝑛 ‒ 2） + （𝐴 + 𝐵）𝑥（𝑛） ‒ （𝐴𝐷 ‒ 𝐵𝐶）𝑥（𝑛 ‒ 1）
其中：
𝐴 = 𝐾𝑅𝜔𝐶（1 ‒ 𝜔‒ 𝜔20
𝑅 𝐶
𝜔𝐶
𝜔2 ‒ 𝜔20
）
C=（
（ ）
）；
D=（
（ ）
）
附录 A 数字滤波器设计
通常利用模拟滤波器的理论和设计方法来设计 IIR 数字滤波器。
其设计的过程是：
先根
据技术指标要求设计出一个相应的模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传递函数H𝑎（𝑠）,
然后再按照一定的转换关系将设计好的模拟滤波器的传输函数
H𝑎（𝑠）转换成为数字滤波器
的系统函数𝐻（𝑧）。
转换方法有两种：
脉冲响应不变法和双线性映射法。
利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数H𝑎（𝑠）设计数字滤
波器传递函数H（z），这是一个由 s 平面到 z 平面的映射变换，这种映射变换应遵循两个基本
原则：
e 上
1.
2.
H（z）的频响要能模仿H𝑎（𝑠）的频响，即 S 平面的虚轴应能映射到 z 平面的单位圆
𝑗𝜔
H𝑎（𝑠）的因果稳定性映射到H（z）后保持不变，即 S 平面从左半平面R𝑒（𝑠） < 0映射到
z 平面的单位圆内|𝑧| < 1
A.1 脉冲响应不变法
利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使得数字滤波器能模仿模拟滤波器的特
性，这种模仿可从不同角度出发。
脉冲响应不变法就是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤
波器的单位脉冲响应序列ℎ（𝑛）模仿模拟滤波器的冲击响应ℎ𝑎（𝑡），使ℎ（𝑛）正好等于ℎ𝑎（𝑡）的采
样值，即：
ℎ（𝑛） = ℎ𝑎（𝑛𝑇）
T 为采样周期。
如以𝐻𝑎（𝑠）和𝐻（𝑧）分别表示ℎ𝑎（𝑡）的拉氏变换及ℎ（𝑛）的 z 变换，即：
𝐻𝑎（𝑠） = 𝐿[ℎ𝑎（𝑡）]，𝐻（𝑧） = 𝑍[ℎ（𝑛）]
按照采样序列 z 变换及模拟信号拉氏变换的关系，得：
𝐻（𝑧）|
1 ∞ 2𝜋
期延拓，然后再经过𝑧 = 𝑒 的映射关系映射到 z 平面上。
上式表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的 s 平面
到 z 平面的变换，正是以前讨论的拉氏变换到 z 变换的标准变换关系，即首先对𝐻𝑎（𝑠）作周
𝑠𝑇
𝑧 = 𝑒𝑠T的映射关系表明，s 平面上每一条2𝜋/𝑇的横带部分，都将重叠地映射到 Z 平面的
应当指出，𝑧 = 𝑒 的映射关系反映的是𝐻𝑎（𝑠）的周期延拓与H（𝑧）的关系，而不是𝐻𝑎（𝑠）本
全部平面上。
每个横带在左半部分映射到 z 平面单位圆以内，每个横带的右半部分映射到 z
平面单位圆以外，𝑗Ω轴映射在单位圆上，但𝑗Ω轴上每一段2𝜋/𝑇都对应于绕单位圆一周。
如下
图所示，相应的频率变换关系为：
𝜔 = Ω𝑇，显然𝜔与Ω之间为线性关系。
（其中𝜔为数字域频率；
Ω为模拟域频率）
𝑠T
身与H（𝑧）的关系，因此，在使用脉冲响应不变法时，从𝐻𝑎（𝑠）到H（𝑧）并没有一个由 S 平面到
Z 平面的简单代数映射关系，即没有一个𝑠 = 𝑓（𝑧）的代数关系式。
另外，数字滤波器的频响也不是简单地重现模拟滤波器的频响应，而是模拟滤波器频响
的周期延拓，周期为
Ωs =
2𝜋
T
= 2𝜋𝑓𝑠
。
即
1 ∞
2𝜋𝑚
𝑇
） = 𝑇∑∞𝑚 =‒ ∞𝐻𝑎（𝑗𝜔 + 2𝜋𝑚）
换z = 𝑒 的多值对应关系导致的，为了克服这一缺点，设想变换分为两步：
- ~
根据香农采样定律，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率Ωs/2以内，即
𝐻𝑎（𝑗Ω） = 0,|Ω| ≥ 𝜋/𝑇
这时，数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响（在折叠频率以内）
1
T,
但任何一个实际的模拟滤波器，其频响应都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在
频谱的交叠，即频谱混淆，这时数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带来一定
的失真。
模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时采用脉冲响应不变法设计
的数字滤波器才能有良好的效果。
A.2 双线性变换法
脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从 S 平面到 Z 平面的标准变
𝑠𝑇
1.将整个 S 平面压缩到 S1 平面的一条横带
2.通过标准变换将此横带变换到整个 Z 平面上去
由此建立的 S 平面与 Z 平面一一对应的单值关系，消除了多值性，也就消除了混淆现象。
𝜋 𝜋
为了将 S 平面的jΩ轴压缩到 S1 平面的jΩ轴上的T T一段上，可通过以下正切变换实现：
Ω = C * 𝑡𝑔
Ω1𝑇
2
此处 C 是待定系数，通常取 C=2/T。
用不同的方法确定 C，可使模拟滤波器的频率特性
与数字滤波器的频率特性在不同的频率点有对应关系。
- T~T
经过这样的频率变换，当Ω1在
𝜋 𝜋
段变化时，Ω在 - ∞~∞段变动，映射了整个𝑗Ω轴。
将
这一解析关系延拓到整个 S 平面，即得到 S 平面-〉S1 平面的映射关系：
1
=
𝑠1𝑇
2
𝑠1𝑇
2
2
𝑠1𝑇
2
𝑠1𝑇
2
𝑠1𝑇
2
=
‒ 𝑗𝑠1𝑇
1 + 𝑒 ‒ 𝑗𝑠1𝑇
再将 S1 平面通过标准变换映射到 Z 平面，即令：
𝑧 = 𝑒𝑠T
最后得到 S 平面到 Z 平面的单值映射关系。
{
21 ‒ 𝑍 ‒ 1
1 + 𝑍 ‒ 1
𝑇
𝑇
=>称为双线性变换
双线性变换法的主要优点是不存在频率混迭。
由于 S 平面与 Z 平面一一单值对应，S 平
面的虚轴（整个𝑗Ω）对应于 Z 平面单位圆的一周，S 平面的Ω = 0对应于 Z 平面的𝜔 = 0；
Ω = ∞对应于 Z 平面的𝜔 = 𝜋，即数字滤波器的频率响应终止于折叠频率处，所以双线性变换
不存在频谱混迭效应。
靠频率的严重非线性关系得到 S 平面与 Z 平面的单值一一对应关系，整个𝑗Ω轴单值对
应于单位圆一周，这个频率关系是
Ω = C * 𝑡𝑔
2
（𝜔），其中𝜔和Ω为非线性关系。
从左图可以看出，在 0 频率附
近，𝜔和Ω接近于线性关系，当Ω进
一步增加时，𝜔增长变得缓慢。
当
Ω→∞时，𝜔 = 𝜋，𝜔终止于折叠频率
处。
所以双线性变换不会出现由于
高频部分超过折叠频率而混淆低频
部分的现象。
正由于𝜔和Ω之间的非线性关
系，导致数字滤波器的幅频响应相
对于模拟滤波器的幅频响应有畸变。
例如一个模拟微分器，它的幅度与频率是线性关系，但是通过双线性变换后，不可能得到数
字微分器。
若：
H（𝑗Ω） = 𝑘Ω + 𝑏,则
H（e
𝑗𝜔
2
𝜔
另外，一个线性相位的模拟滤波器经过双线性变换后，滤波器不再有线性相位特征。
虽然
双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用最普遍，最有成效的一种设计工具。
这是因为
大多数滤波器都有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，他们在通带内要求
一个衰减为 0 的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为∞的常书特性，这种特性的滤波
器经过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。
例如，一个考尔型的模拟滤波器Ha （𝑠）
，双线性变换后，得到的H（𝑧）在通带与阻带内都保
持原模拟滤波器相同的起伏特性，只有通带截止频率、过渡带的边缘频率以及起伏的峰点、
谷点频率等临界频率点发生了非线
性变化，这种频率点的畸变可通过
预畸来加以校正。
即将模拟滤波器
的临界频率事先加以畸变，通过双
线性变换后正好映射到所需要的数
字频率上。
𝑑𝑡 ‒ 𝑝𝑦（𝑡） = 𝐾𝑥（𝑡）
附录 B 双线性变换法原理
B.1 连续时间系统 H（s）的最基本环节
连续时间系统 H（s）的极点有两种情况；单重极点和多重极点。
但是一个多重极点环节可
以看成由多个单重极点环节级联构成，例如对二重极点有：
𝐴𝐴
因此，可以将一阶环节
𝐾
看成是构成𝐻（𝑠）的最基本环节。
它对应于一阶微分方程。
𝑑𝑦（𝑡）
系统结构如下图所示。
若要将该系统离散化，主要是对一次积分运算的离散化。
𝑦（𝑡）|𝑡 = 𝑛𝑇 = 𝑦（𝑡）|𝑡 = （𝑛 ‒ 1）𝑇 + ∫（𝑛 ‒ 1）𝑇𝑥（𝜏）𝑑𝜏
𝑦（𝑛𝑇） = 𝑦[（𝑛 ‒ 1）𝑇] + 2{𝑥[（𝑛 ‒ 1）𝑇] + 𝑥[𝑛𝑇]}
𝑦（𝑛） = 𝑦[（𝑛 ‒ 1）] + 2{𝑥[（𝑛 ‒ 1）] + 𝑥[𝑛]}
𝑌（𝑧） = 𝑧 ‒ 1𝑌[𝑧] + 2[𝑧 ‒ 1𝑋（𝑧） + 𝑋（𝑧）]
B.2 积分的数值计算与离散一阶系统
一次积分运算可以用梯形法做数值运算，即：
𝑛𝑇
将上式第二行的积分用梯形法近似，则有：
𝑇
该式即为一次积分运算离散化后的数值计算公式，其中 T 为取样间隔。
将自变量符号中
的 T 隐去，可写成差分方程的习惯表达形式：
𝑇
两边取单边 z 变换，并考虑到 y（-1）=x（-1）=0，有：
𝑇
整理得：
𝑌（𝑧） 𝑇
1 ‒ 𝑧 ‒ 1
也就是说，一次积分单元离散后是一个以系统函数𝐻1（𝑧）表示的离散时间系统。
因此，一
次积分运算可以用下图所示的离散系统实现其数值计算。
B.3 连续时间一阶环节的离散实现
当将图 1 中的积分器离散化后，整个一阶环节
𝐻1
其中就是式 3 给出的离散化后的积分环节
𝐾
可以用图 3 所示的系统离散化，
可以求得该离散系统的系统函数为：
𝑌（𝑧）𝐾𝐻1（𝑧）
1
1
𝐾
将式 3 代入得：
𝐾
𝑇 ∗ 1 +𝑧‒1 ‒ 𝑝
也就是说，图 1 一阶连续时间系统离散化后所对应的离散时间系统的系统函数由式 4
确定，比较式 1 和式 4 可知，若在式 1 中令
2
1 + 𝑧 ‒ 1
则可以直接从H𝑖（s）得到对于能够的H𝑖（𝑧）
B.4 高阶连续时间系统的离散实现
由于一阶环节是高阶连续时间系统的最基本环节，若每个一阶环节都用式 5 进行离散
化，则整个系统都被离散化了。
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