高中数学向量汇总归纳.docx
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高中数学向量汇总归纳
平面向量的数量积及平面向量的应用
1.定义及运算律.
两个向量的内积（即数量积）,其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”.
设a及b是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:
0°≤θ≤180°,我们把|a|·|b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,则a·b=x1x2y1y2.
其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:
a·b=b·a，（λ·a）·b=λ（a·b），（a±b）·c=a·c±b·c.
2.平面向量数量积的重要性质.
①|a|=aa=|a|
|a|cos
|a|2
θ
=
（a
b）
;|a
·
≤·
当且仅当
a,b
共线时
;cos
|a|
|b|
b|
|a|
|b|,
取等号.
②设
a=（x1
12
2
则
:
|a|=
x12
y12
;cos
θ
=
（x1x2
y1y2）
12
12
≤
y）,b=（x,y）,
;|xx+yy|
x12
y12
x22
y22
x12
y12
x22
y22
3.两向量垂直的充要条件
若a,b均为非零向量,则:
a⊥ba·b=0.
若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,则a⊥bx1x2+y1y2=0.
4.向量的模及三角不等式
|a|2=a·a或|a|=
a
a;|a·b|≤|a|·|b|;|a|2-|b|2=（a+b）·（a-b）;|a±b|=a2
b2
2|a||b|cos
（θ为a,b夹角）;||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
5.三角不等式的推广形式
|a+a+⋯+a|≤|a|+|a|+⋯+|a|.
12n
1
2
n
1/10
小练习一
【例1】计算下列各题:
（1）
已知等边三角形
ABC边长为1,且BC=a,CA=b,AB=c,求a·b+b·c+c·a;
（2）
已知a、b、c是空间中两两垂直的向量,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求r=a+b+c的长度以及它和
a,b,c的
夹角;
（3）
已知（a+3b）与（7a-5b）垂直,且（a-4b）与（7a-2b）垂直,求a、b的夹角;
（4）
已知|a|=2,|b|=5,a,b的夹角是2π,p=3a-b,q=λa+17b,问系数λ取向值时，p⊥q.
3
【解前点津】
（1）利用x2=x·x,通过对（a+b+c）2
的计算得出结论;
（2）运用公式及运算律
;（3）利用
两向量垂直的充要条件
;（4）利用两向量垂直的充要条件，
运算律以及内积定义.构造关于λ的方程，解
之即得.
【规范解答】
（1）∵（a+b+c）2=a2+b2+c2-2（a·b+b·c+c·a）=3-2（a·b+b·c+c·a）=0
a·b+b·c+c·a=3.
2
（2）cosr,a
=
r
a
∵|r|=r2且
|r|
|a|
2
2
2
2
2
r=（a+b+c）=a+b+c-2（a·b+b·c+c·a）=14-2（a·b+b·c+c·a）=14.
∴|r|=14
cosr,a=（a
b
c）
a
|a|2
14
;
14
|a|
14|a|
14
（a
b
c）
b
|b|2
14
;
cosr,b=
14
|b|
14|b|
7
（a
b
c）
c
|c|2
3
.
cosr,c=
14
|c|
14|c|
14
（3）由条件:
（a+3b）·（7a-5b）=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,（a-4b）·（7a-2b）=7|a|2+8|b|2-30a·b=0
|a|2=|b|2=2a·b
（|a|·|b|）2=4（a·b）2
ab
1.
|a||b|
2
由cos
a,b
=1
得:
a,b
=
;
2
3
由cos
a,b
=-1
得:
a,b
=2
.
2
3
（4）令p·q=0得:
（3a-b）·（λa+17b）=0
3λ|a|2-17|b|2+（51-λ）a·b=0
①
2/10
将|a|=2,|b|=5,a·b=|a|·|b|·cos2代入①得3λ·4-17×25+（51-λ）·（-5）=0解之:
λ=40.
3
【解后归纳】综合利用内积的定义及运算律，内积运算形式与实数运算形式的相互转化，是计算的一项基本功.
【例2】在△ABC中,AB=（2,3）,AC=（1,k）,且△ABC的一个内角为直角，求k的值.
【解前点津】因谁是直角，尚未确定，故必须分类讨论.
【规范解答】①当∠A=90°时,因为AB·AC=0,
∴2×1+3·k=0,∴k=-2.3
②当∠B=90°时,BC=AC-AB=（1-2,k-3）=（-1,k-3）
∵AB·BC=0,∴2×（-1）+3×（k-3）=0k=11.
3
③当∠C=90°时,∵AC·BC=0,∴-1+k·（k-3）=0,k2-3k-1=0k=33.
2
∴k的取值为:
-2
11或3
3.
3
3
2
【例4】已知平行四边形以a=（2,1）,b=（1,-3）为两邻边.
（1）求它的边长和内角;
（2）求它的两对角线的长和夹角.
【解前点津】利用内积的有关运算性质.
【规范解答】
（1）|a|=
22
12
5,|b|=
12
（3）2
10
cosα=
ab
（2
1
1
3）
2,
5
10
|a||b|
10
∴α=π-arccos
2.
10
（2）|a+b|=
（a
b）2
a2
b2
2ab
5
102
（1）
13,
|a-b|=
a2
b2
2ab
5
10
2
（1）
17.
1
1
cosβ
=
2
（a
b）2
（a
b）
a2
b2
5
10
5221
.
1
1
13
17
13
17
221
（a
b）
（a
b）
2
2
【解后归纳】
本题综合运用了向量的有关运算性质，也可利用余弦定理求解
.
小练习二
一、基础夯实
3/10
1.已知|a|=1,|b|=
2
且（a-b）与a垂直,则a与b的夹角是
（
）
A.60°
B.30°
C.135°
D.45°
2.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为
则向量m=a-4b的模为
（
）
3
A.2
B.2
3
C.6
D.12
3.a,b是两个非零向量
（a+b）2=a2+b2是a⊥b的
（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.若a=（-4,3）,b=（5,6）,则3|a|2-4a·b等于
（
）
A.23
B.57
C.63
D.83
5.已知a=（λ,2）,b=（-3,5）且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是
（）
A.λ>10
B.λ≥10
C.λ<10
D.λ≤10
3
3
3
3
6.已知a=（4,3）,向量b是垂直a的单位向量，则
b等于
（
）
A.
3,4或
4,3
B4,3或
3,4
5
5
5
5
5
5
5
5
C3,4或
4,3
D3,4或
3,4
5
5
5
5
5
5
5
5
7.已知a=（2,3）,b=（-4,7）,则a在b方向上的投影为
（
）
A.
5
B.
5
C.
65
D.
13
5
5
5
13
8.已知A（3,2）,B（-1,-1）,若点P（x,-
1）在线段AB中垂线上,则x为
（
）
2
A.-7
B.7
C.2
D.-2
4
4
9.已知a=（3,0）,b=（k,5）,且a与b的夹角为3
则k的值为
（
）
4
A.-4
B.4
C.5
D.-5
10.已知a=（3,-1）,b=（1,2）,求满足条件:
x·a=9与x·b=-4的向量x为
（
）
A.（2,3）
B.（2,-3）
C.（-2,3）
D.（-2,-3）
二、思维激活
11.已知向量a、b的夹角为
|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|=
.
3
12.已知a⊥b、c与a,b的夹角均为60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则（a+2b-c）2=
.
13.已知a=（1,2）,b=（1,1）,c=b-ka,若c⊥a,则c=
.
14.已知点A（1,0）,B（3,1）,C（2,0）,且a=BC,b=CA,则a与b的夹角为
.
三、能力提高
15.设A、B、C、D是平面内任意四点
求AB·CD+BC·AD+CA·BD值.
4/10
16.
设OA=（3,1）,OB
=（-1,2）,OC⊥OB,BC∥OA,O是原点，求满足
OD+OA=OC时的OD坐标.
17.
已知两单位向量
a与b的夹角为120°,若c=2a-b,d=3b-a,试求:
c与d的夹角.
18.
已知a=（3,-1）,b=
1
3
2
·b,y=-ka+t·b,且x⊥y,试求kt
2
2
且存在实数k和t,使得x=a+（t-3）
2
t
的最小值.
平面向量的数量积及平面向量的应用解答
1.D
∵a·（a-b）=a2-a·b=0,∴a·b=1=1·2cosθ,∴cosθ=
1.
2
2.B
|m|=
m2=a2
16b2
8ab
22
16
821cos
20
16cos
23.
3
3.C
展开得:
a2+b2+2a·b=a2+b2
a·b=0.
4.D
原式=3（42+32）-4·（-20+18）=83.
5.A
∵a·b=10-3λ,|a|=
4
2
|b|=
34,∴由cosα=
10
3
<0得λ>10.
34
4
2
3
x
3
x
3
2
2
5
5.
6.D
且4x+3y=0
解方程组得
或
设b=（x,y）,则x+y=1
y
4
y
4
5
5
7.C
∵a·b=2×（-4）+3×7=13,|a|=
13,|b|=
65,∴13=13
65·cosθ
13
65
∴|a|·cosθ=
.
65
5
8.C
由条件知AB中点为M1,1
令MP·AB=0得:
（x-1,-1）·（-4,-3）=-4（x-1）+（-1）·（-3）=0,x=2.
2
9.D
作内积:
a·b=3k=3·
k2
25cos3
k<0且
k2
25
=-
2k
k=-5.
4
10.B设x=（m,n）,则由条件得
3m
n
9
m
2
m
2n
4
n
故x=（2,-3）.
3
11.由已知条件得:
a·b=1,故原式=
（a
b）2
（ab）2
（4
1
2）（41
2）
21.
12.由条件得:
c·a=3×1×cos60°=3,c·b=3×2·cos60°=3.
2
原式=a2+4b2+c2+2a·c+4a·b-4b·c=1+16+9+3-12=17.
13.∵c=（1-k,1-2k）,∴由c·a=0得1·（1-k）+2（1-2k）=0得k=3
c=
2,
1.
5
5
5
14.由条件a=（-1,-1）,b=（-1,0）
|a|=
2
|b|=1,由a·b=
2cosθ得:
（-1·（-1）+（-1）·0=2cosθ
cosθ=
2
θ=45°.
2
5/10
15.∵AB=AD-BD,BC=BD-CD,CA=CD-AD,
∴原式=（AD-BD）·CD+（BD-CD）·AD+（CD-AD）·BD
=AD·CD-BD·CD+AD·BD-AD·CD+BD·CD-AD·BD=0.
16.设OC=（x,y）,由OC⊥OB得:
-x+2y=0,又BC=OC-OB=（x+1,y-2）,而BC∥OA3（y-2）-（x+1）=0解关
于x,y的方程组得x=14,y=7.
∴OC=（14,7）OD=OC-OA=（11,6）.
17.∵a、b是两单位向量,∴|a|=|b|=1,且a,b夹角为120°.
∴a·b=|a|·|b|·cos120°=-1,2
∵|c|2=c·c=（2a-b）·（2a-b）=4a·a-4a·b+b·b=4|a|2-4a·b+|b|2=7,
∴|c|=7.
∵|d|2=d·d=（3b-a）·（3b-a）=9b·b-6a·b+a·a=13,
∴|d|=13.
∵c·d=（2a-b）·（3b-a）=6a·b-3b·b-2a·a+a·b=-17,2
∴cosθ=-
17
17
91
（θ为c、d夹角）.
2
7
13
182
∴θ=π-arccos17
91.
182
1
2
3
2
18.∵|a|=
3
（
1）
2
1
2,|b|=
2
2
∵a·b=
3
1
1
3
0,故a⊥b,
2
2
∵x·y=0,∴［a+（t2-3）·b］·［-ka+tb］=0化简得:
k=t3
3t.
4
∴kt2
1（t2
4t3）
1（t2）2
7≥-7.
4
4
4
4
4
当且仅当t=-2
时,k
t2
有最小值-7.
t
4
小练习三
一选择题
6/10
1．已知A、B、C为三个不共线的点，
P为△ABC所在平面内一点，若
PAPB
PC
AB，则点P与△ABC
的位置关系是
（
）
A、点P在△ABC内部
B、点P在△ABC外部
C、点P在直线AB上
D、点P在AC边上
2．已知三点A（1，2），B（4，1），C（0，-1）则△ABC的形状为
（
）
A、正三角形
B、钝角三角形
C、等腰直角三角形
D、等腰锐角三角形
3．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为
，两人用力都为|F|，若|F|=|G|，则
的值为（
）
A、300
B、600
C、900
D、1200
二、填空题
5．一艘船以
5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成
300角，则水流速度为
km/h。
6．两个粒子a，b从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为
Sa=（3，-4），Sb=（4，
3），
（1）此时粒子b相对于粒子a的位移
；
（2）求S在Sa方向上的投影
。
三、解答题
7．如图，点P是线段AB上的一点，且
AP︰PB=m︰n
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