等腰对补角模型word版.docx
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等腰对补角模型word版
第三讲：
“等腰对补角”模型
知识目标
模块一
等腰直角对直角
例1、例
2、例
3
难度：
模块二
等边对
120°
例4、例
5、例
6
难度：
模块三
等腰对补角
例
7
难度：
知识导航
常用导角模型
如图1，若∠AOB=∠COD，则∠1=∠2；反之，若∠1=∠2，则∠AOB=∠COD。
如图2，“8字”导角得∠1+∠A=∠2+∠D，若已知∠A=∠D，则∠1=∠2；反之也成立。
如图3，∠A+∠B+∠ACD+∠D=360°，若已知∠A+∠D=180°（即对角互补），则∠B+∠ACD=180°，进而得到∠1=∠2.
这几个导角结论在本讲“等腰对补角”和第四讲“等腰旁等角”模型中经常使用
模块一等腰直角对直角
例1、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠BDC=90°，求证：
∠ADB=∠ADC=45°
练习
如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ADB=45°，求证：
∠ADC=45°
例2、如图，已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，∠ADB=∠ADC=45°，求证：
∠BAC=90°
练习
如图，已知△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，∠ADB=∠ADC=45°，求证：
AB=AC
总结归纳
（1）若已知条件是“等腰Rt△”，求证：
“角平分线”，辅助线作法：
过等腰Rt△的直角顶点作（两直角顶点连线的）垂线，构造等腰Rt△的“手拉手”模型，
所作垂线的方向是朝着已知45°角的方向（若题目中两个45°均未知，则两个方向均可）。
（2）若已知条件是“角平分线”，求证“三角形为等腰Rt△”，辅助线作法为：
作“双垂”。
例3、如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，∠BAO=90°，AHy轴于H，
C为OB的中点，求证：
CH平分∠AHO。
练习
（2015-2016江汉区八上期末）已知四边形ABCD为正方形，△CDE为等腰三角形，CD=CE，F为DE的中点，BE、CF交于G，求∠AGB。
挑战压轴
（2016-2017黄陂区八上期中第24题）如图，在平面在直角坐标系中，已知A（7a，0），B（0，-7a），点
C为x轴负半轴上一点，ADAB，∠1=∠2.
（1）求∠ABC+∠D的度数；
（2）如图1，若点C的坐标为（-3a，0），求点D的坐标（结果用含a的式子表示）。
模块二等边对120°
例4、△ABC为等边三角形，D为△ABC外一点且∠BDC=120°，求证：
①∠ADB=∠ADC=60°
②BD+CD=AD
练习
如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC外一点且∠BDA=60°求证：
①∠ADC=60°；②BD+CD=AD
例5、如图，△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点且∠ADB=∠ADC=60°
求证：
①△ABC为等边三角形；②BD+CD=AD
练习
如图，在△ABC中，∠BAC=60°，D为△ABC外一点且∠ADB=∠ADC=60°求证：
①△ABC为等边三角形；②BD+CD=AD
总结归纳
（1）若已知条件是“等边△”，求证“角平分线”，辅助线作法为：
对已知的60°构造等边△，
得两个等边△共顶点的“手拉手”模型.（若题目中两个60°均未知，则两个方向均可）.
（2）若已知条件是“角平分线”，求证“三角形为等边△”，辅助线作法为：
作“双垂”.
例6、△ABC为等腰三角形，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，以AC为边向外作等边△ACE，
（1）求证：
∠FBD=∠FCD
（2）若AF=3，DF=1，求EF的值
模块三等腰对补角
例7、如图，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=DE，∠BAC=∠ADE=，D在BC上，连
接CE，求证：
AB//CE
练习
如图，点D是△ABC的边BC上一点，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=120°，求∠BCE的度数。
第3讲：
“等腰对补角”模型
A基础巩固
1、如图，在平面直角坐标系中，
△ABC
的三个顶点
A、B、C的坐标分别为
A（a，0），
B（b，0），C（0，b），且
a，b满足
a
b
（b3）2
（1）求点A、B、C的坐标.
（2）若点P为x轴上一点，且点
CE，求∠PAE的度数.
P在点
B的右侧，点
E在第四象限，且
PE=PC，PE
PC，连接
AE，
2、如图，在直角坐标系中，
A的坐标为（a，0），且a、b满足ab8a2b4=0，点
P为第一象限内一点，且
PA=OA，ACx轴交OP于点C，AD平分∠PAC交OP于点D，
求∠ODB的度数.
B综合训练
3、如图，△ABD为等边三角形，以BD为边向外作等边△DBC，点E、F分别在AB、AD上且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG，证明下列结论：
（1）△AED△DFB；
（2）CG=DG+BG
4、（2015二中八上月考）等腰△ABC和等腰△ADE中，AB=AC，AD=DE，
∠BAC=∠ADE=，点D在BC上，连CE.
（1）如图1，=90°时，求∠DCE的度数.
（2）选择图2或图3其中的一个，求证：
AB//CE.
图1图2图3
5、（学而思2017元旦综测第23题）如果四边形有一组邻边相等，且对角互补，那么这样
的四边形称为“等腰互补四边形”，如图1，图2，图3中的四边形ABDC，AB=AC，
∠BAC+∠BDC=180°，则称四边形ABDC为“等腰互补四边形”.
小吴同学酷爱钻研，他发现当∠BAC=60°时（如图1）.∠ADB=∠ADC=60°；小吴继续
研究发现．当∠BAC=90°时（如图2）.∠ADB=∠ADC=45°，他猜想：
当∠BAC=°时（如图3），∠ADB=∠ADC=90°-1.
2
（1）小吴同学的猜想正确吗？
如果是，请帮他证明；如果不是，请说明理由.
（2）如图4，已知△ABC，以AB为边作等边△ABE，以AC为边作顶角为120°的等
腰△ACF，即∠ACF=120°，FA=FC．P是BC边上一动点，连接PE、PF，当∠BPE=60°
时，求证：
PEPF
图1图2图3
图4
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