复合函数的单调性.docx

复合函数的单调性.docx

《复合函数的单调性.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复合函数的单调性.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

复合函数的单调性

复合函数的单调性

函数的值域与函数的单调性

我们将复习函数的值域与函数的单调性两部分内容．

通过本专题的学习，同学们应掌握求函数值域的常用方法；掌握函数单调性的定义，能用定义判定函数的单调性；会判断复合函数的单调性；了解利用导数研究函数单调性的一般方法．

[知识要点]

一．函数的值域

求函数值域的方法主要有：

配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、图象法，利用函数的单调性、利用函数的反函数、利用已知函数的值域、利用导数求值域等．

二．函数的单调性

1．定义

如果对于给定区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f（x2），那么就称f（x）在这个区间上是减函数．如果y=f（x）在某个区间上是增函数或减函数，就说y=f（x）在这一区间上具有严格的单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间．

注：

在定义域内的一点处，这个函数是增函数还是减函数呢？

函数的单调性是就区间而言，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题．

2．函数单调性的运算规律

在共同的定义域上，设“f型”是增函数，“g型”是减函数，则：

（1）f1（x）+f2（x）是增函数；

（2）g1（x）+g2（x）是减函数；

（3）f（x）-g（x）是增函数；

（4）g（x）-f（x）是减函数．

[典型例题]

一．函数值域的求法

（一）配方法

例1．

解：

例2求函数y=2x+2-3×4?

x（-1≤x≤0）?

的值域

解y=2x+2-3·4x

=4·2x-3·22x

令2x=t

例3．

解：

∴函数定义域为[3,5]

例4．若实数x、y满足x2+4y2=4x，求S=x2+y2的值域

解：

∵4y2=4x-x2≥0

∴x2-4x≤0，即0≤x≤4

∴当x=4时，Smax=16

当x=0时，Smin=0

∴值域0≤S≤16

例5．已知函数y=f（x）=x2+ax+3在区间x∈[-1,1]时的最小值为-3，求实数a的值．

分析：

的位置取决于a，而函数的自变量x限定在[-1，1]内，因此，有三种可能性，应分别加以讨论．

解：

综合

（1）

（2）（3）可得：

a=±7

（二）判别式法

例6．

解由已知得（2y-1）x2-（2y-1）x+（3y-1）=0（*）

（2）若2y-1≠0，则∵x∈R

∴Δ=（2y-1）2-4（2y-1）（3y-1）≥0

即（2y-1）（10y-3）≤0

例7．

解由已知得（y-1）x2+（y-4）x-（6y+3）=0（*）

①若y=1，代入（*）式-3x-9=0

∴x=-3，此时原函数分母x2+x-6的值为0

∴y≠1

②若y≠1，则∵x∈R

∴Δ=（y-4）2+4（y-1）（6y+3）≥0

化简可得（5y-2）2≥0，则y∈R

说明：

m（y）x2+n（y）x+p（y）=0的形式，再利用x∈R，由Δ≥0求出y的取值范围，但需注意两点：

（1）要分m（y）=0和m（y）≠0两种情况讨论，只有m（y）≠0时，才可利用判别式；

（2）在求出y的取值范围后，要注意“=”能否取到．

（三）换元法

例8．

解：

∴ymax=1，ymin=-23

∴原函数值域?

-23≤y≤1

例9．

解：

（四）利用函数的单调性

例10．

解：

例11．

解：

调递减

说明在利用函数的单调性求值域时，应注意如下结论：

在共同定义域上，设“f型”是增函数，“g型”是减函数，则

（1）f1（x）+f2（x）是增函数；

（2）g1（x）+g2（x）是减函数；（3）f（x）-g（x）是增函数；（4）g（x）-f（x）是减函数．但当两个单调函数之间的运算符号为“x”、“÷”时，则不具有这种规律．

（五）基本不等式法

这种方法是利用如下的“基本不等式”和与“复数的模”有关的不等式求函数值域．

例12．

解：

例13．

解：

∵y≥0

例14．

解：

又y是x的连续函数

（六）利用原函数的反函数

如果一个函数的反函数存在，那么反函数的定义域就是原函数的值域．

例15．

解y·10x+y·10-x=10x-10-x

即y·102x+y=102x-1

∴1+y=（1-y）·102x

（七）利用已知函数的值域

例16．

解利用三角函数的值域来求值域，把函数式去分母变形得：

ycosx-sinx=1-3y

（八）图象法

例17．

解：

由图象知：

值域为y≥3

（九）利用导数求值域

此种方法在本学期学习导数的应用时已作了详尽的阐述，这里就不再多说了．

二．函数的单调性

（一）函数单调性的判定

1．利用已知函数的单调性

例1若y=（2k+1）x+b是R上的减函数，则有（）

解：

选D

说明：

函数y=kx+b，当k>0时是增函数；k=0时是常函数；k<0时是减函数．

例2．

减区间是__________________．

解：

减区间是（-∞,-1）和（-1,+∞）．

说明：

函数的两个单调区间之间可以用“，”或“和”字连接，而不能用符号“∪”连

例3函数f（x）=4x2-mx+5，当x∈（-2,+∞）时是增函数，则m的取值范围是_________；当x∈（-2,+∞）时是增函数，当x∈（-∞,-2）时是减函数，则f

（1）=________________.

解：

∴m=-16

∴f

（1）=4+16+5=25

2．利用定义判定或证明函数的单调性

例4根据函数单调性的定义证明函数f（x）=-x3+1在R上是减函数．

证明在（-∞,+∞）上任取x1、x2，且x1

f（x2）-f（x1）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）

∵x1

当x1x2<0时，有x12+x1x2+x22=（x1+x2）2-x1x2>0

当x1x2≥0时，有x12+x1x2+x22>0

∴f（x2）-f（x1）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）<0

即f（x2）

所以函数f（x）=-x3+1在（-∞,+∞）上是减函数

说明

-f（x1）的符号；同学们也不妨应用导数的知识来解决本题．

（2）用定义证明或判断函数的单调性，要注意步骤清晰，讨论严密．

例5．

解

（1）i）设x1，x2∈（0，1]，且x1

∵x1-x2<0,0

∴f（x1）-f（x2）>0

即f（x1）>f（x2）

ii）设x1，x2∈[1,+∞），且x1

∴由

（1）中讨论可知y当x≥0时单调递增，当x=0时，

∴当x=0时，y有最小值

说明

（2）中函数最值不能用基本不等式求，因为不存在使

的x；同理可证：

3．利用图象讨论函数的单调性

例6作函数f（x）=|x2-1|+x的图象，并根据图象讨论函数的单调性．

解

由图象，

（二）复合函数的单调性

例7．

解∵-x2-2x+3≥0

∴x2+2x-3≤0

∴（x-1）（x+3）≤0

∴-3≤x≤1

则当x∈[-3,-1]时，u=-x2-2x+3单调递增

当x∈[-1,1]时，u=-x2-2x+3单调递减

例8．

解：

例9已知f（x）=8+2x-x2,g（x）=f（2-x2）,讨论g（x）的增减性．

解：

g（x）=8+2（2-x2）-（2-x2）2=8+4-2x2-4+4x2-x4=-x4+2x2+8=-（x2-1）2+9

g’（x）=-4x3+4x=-4x（x+1）（x-1）

令?

g’（x）>0，得x≤-1?

或?

0≤x≤1

令?

g’（x）<0，得-1≤x≤0或x≥1

∴g（x）的单调递增区间是（-∞,-1]和[0,1]

g（x）的单调递减区间是[-1,0]和[1,+∞）

（三）函数单调性的应用

例10．

的取值范围．

解：

时，f（x）在R上单调递增，得0

综上，a的取值范围是a∈（0,1）∪（2,+∞）

例11．

区间[0,+∞）是单调函数．

解：

（1）当a≥1时，

又x1-x2<0∴f（x1）-f（x2）>0即f（x1）>f（x2）

所以，当a≥1时，函数f（x）在[0，+∞）上是单调减函数．

f（x1）=1，f（x2）=1，即f（x1）=f（x2），所以函数f（x）在区间[0,+∞）上不是单

调函数．

综上，当且仅当a≥1时，函数f（x）在区间（0,+∞]上是单调函数．

例12定义在R+上的函数f（x）满足①f

（2）=1，②f（xy）=f（x）+f（y）③当x>y时，有f（x）>f（y），如果f（x）+f（x-3）≤2，求x的取值范围．

解f（x）+f（x-3）=f（x2-3x）≤2=2f

（2）=f

（2）+f

（2）=f（4）

由③知x2-3x≤4∴x2-3x-4≤0

又∵f（x）定义域为x>0

[练习题]

值域与最值

A组

一．选择题

1．已知I=R，函数y=lgx的值域为P，y=ax（a＞0且a≠1）的值域为M，则下列等式中不正确的是（）

（A）（IM）∩P=φ（B）M∪P=P

（C）P∪（IM）=R（D）P∩M=M

5．函数y=f（x）的值域是[-2，2]，则函数y=f（x+1）的值域是（）

（A）[-1，3]（B）[-3，1]（C）[-2，2]（D）[-1，1]

二．填空题

6．若x+2y=4，x＞0，y＞0，则lgx+lgy的最大值是___________

范围是_________

8．f（x）=ax2–c（a≠0），如果-4≤f

（1）≤-1，-1≤f

（2）≤5，那么f（3）的取值范围是___________

三．解答题

B组

一．选择题

1．函数y=-x2–2x+3（-5≤x≤0）的值域是（）

（A）（-∞，4]（B）[3，12]（C）[-12，4]（D）[4，12]

（A）（-∞，+∞）（B）（-∞，0）∪（0，+∞）

（C）（-∞，0）（D）（0，+∞）

（A）6（B）12（C）16（D）24

5．函数y=x（x–2）的定义域为[a，b]，值域为[-1，3]，则点（a，b）的轨迹是右图的

（A）点H（1，3）和F（-1，1）（B）线段EF，GH

（C）线段EH，FG（D）线段EF，EH

6．已知函数f（x）=2x–1，g（x）=1–x2，构造函数F（x），定义如下：

当|f（x）|≥g（x）时，F（x）=|f（x）|，当|f（x）|＜g（x）时，F（x）=-g（x），那么F（x）（）

（A）有最小值0，无最大值（B）有最小值-1，无最大值

（C）有最大值1，无最小值（D）无最小值，也无最大值

二．填空题

7．实数x，y满足xy＞0且x2y=2，则xy+x2的最小值是___________

8．设x，y∈R+，x+y+xy=2，则x+y的取值范围是____________

三．解答题

（1）求实数b、c的值

（2）判断函数F（x）=lgf（x）在x∈[-1，1]上的单调性，并给出证明.

13．f（x）是定义在R上的奇函数，且满足如下两个条件：

①对于任意的x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）

②当x＞0时，f（x）＜0，且f

（1）=-2

求函数f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值.

函数的单调性

A组

一．选择题（共20分）

1．已知函数f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则（）

A．f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）B．f（a）+f（b）＞f（-a）–f（-b）

C．f（a）+f（