3.设X与Y相互独立，且E（X）=2，E（Y）=3，D（X）二D（Y）=1，则E[（X—Y）2]=___
4.设Xi,X2,山，Xn是取自总体N（~；「2）的样本，则统计量
n
（xj_卩）2服从布.
5
5.设X~B（2,p）,Y〜B（3,p），且P{X>^}=-，则P{Y>1}=
9
二、选择题（每题3分，共15分）
1.一盒产品中有a只正品，b只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为【】
（A）旦丄；（B）；（C）丄；（D）亠彳.
a+b-1（a+b）（a+b-1）a+b（a+b丿
2.设随机变量X的概率密度为px=C1"X3则方差D（X）=【】
*f10,其他
11
（A）2；（B）；（C）3；（D）.
23
3.设A、B为两个互不相容的随机事件，且PB0,则下列选项必
然正确的是【】
（A）P（A）=1-P（B）；（B）P（AB）=0；（C）P（AB）=1；
DPAB=0.
4.设fx=sinx是某个连续型随机变量X的概率密度函数，则X的取
值范围是【】
A0,寸；Bb,：
：
1；C--2,^2；
D:
'牛-
5•设X〜NJc2,丫二aX-b，其中a、b为常数，且a=0,
则丫〜【】
ANa」-b,a2二2-b2BNa.邛b,al2-b2；CNaUb,a2；「2；DNaA-b,a2；「2.
三、（本题满分8分）甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被命中，求它是乙命中的概率.
A
四、（本题满分12分）设随机变量X的密度函数为f（x）二，
e+e
求：
1
（1）常数A；
（2）P{0：
：
：
Xln3}；（3）分布函数F（x）.
五、（本题满分10分）设随机变量X的概率密度为
‘6x（1_x）,0cxc1
（X戶、0,其他
求丫=2X-1的概率密度
六、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的
（1）系数A；
（2）X，Y的边缘密度函数；（3）问X，Y是否独
立。
八、（本题满分10分）设总体X的密度函数为
f（x,B）=E阿x>1
.0,x兰1
其中未知参数一：
1,Xi,X2，…，Xn为取自总体X的简单随机样本，求参数1的矩估计量和极大似然估计量•
九、
（本题满分10
分）
设总体X~N:
匕
二2,其中且亠与二2都未
知，
-:
:
2a
-0•现从总体X
中抽取容量n=16的样本观
测
值X1,X2,■
x16,算出
116
xxi=503.75,
16心
1162
s：
..—二Cx-x=6.2022，试在置信水平10.95下，求」的V15y
置信区间•
（已知：
気5（15）=1.7531,10.05（16）=1.7459,t°.°25（15）=2.1315,to.02516=2.1199）.
07-08-1《既率论与数理统计》试题A
1.选择题（将正确的答案填在括号内，每小题4分，共20分）
1•检查产品时，从一批产品中任取3件样品进行检查，则可能的结果
是：
未发现次品，发现一件次品，发现两件次品，发现3件次品。
设事件
A表示发现i件次品”i=0,1,2,3。
用Ao,Ai,A2,A3表示事件发现
1件或2件次品"，下面表示真正确的是（）
（A）A1A2;（B）AlA2;（C）AoAlA2;（D）A3AlA2.
2•设事件A与B互不相容，且PA=0,PB=0,则下面结论正确的是（）
（A）A与B互不相容；（B）PBA0;
（C）PAB=PAPB;（D）PAB=PA.
3.设随机变量X~N1,2,Y~N2,4,且X与Y相互独立，则
2X_Y（A）2XY~N0,1;（B）2X~N0,1;
2yl3
（C）2XY1~N1,9;（D）2——'~N0,1.
2、3
4•设总体X~N」M2,」，；—是未知参数，X1,X2,…，Xn是来
自总体的一个样本，则下列结论正确的是（）
1n_
（A）S2（Xi—X）2〜2（n-1）;
n-1y
1n一
（B）—、（Xi-X）2〜2（n）;
ni二
（0匸半Wx"）2〜2（n—1）；
i吕
1n一
（Df（Xi-X）2〜2（n）
CTi二
5•设总体X~Nd；「2，X1,X2,…，Xn是来自总体的一个样本，则二2的无偏估计量是（）
（A）^^£仗匚-X2；（B）n-1i台
n_n
丄E（Xi—X2；（C）丄瓦x2；（D）X2.nidni=1
填空（将答案填在空格处，每小题4分，共20分）
1•已知A,B两个事件满足条件PAB=PAB,且PAAp,则
P（B）=.
111
2•3个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为-，一,-，则
543
此密码被破译出的概率是
3•设随机变量X的密度函数为…2;0其:
他1,，用Y表示对X的
3次独立重复观察中事件X出现的次数，则
PY=2二.
4•设两个随机变量X和Y相互独立，且同分布：
PX=—1二PY=—1，PX=1二PY=1=?
，则
PX二
0,xcO
5•设随机变量X的分布函数为：
F（x）=Asinx,0兰x誇，则
1,x-
I.2
A=:
三.计算
1.（8分）盒中放有10个乒乓球，其中有8个是新的。
第一次比赛从中任取2个来用，比赛后仍放回盒中。
第二次比赛时再从盒中取2个，求第二次取出的球都是新球的概率。
2.（6分）设随机变量X和Y独立同分布，且X的分布律为：
12
PX-1,PX=2二
33
求Z二XY的分布律。
3.（12分）设随机变量X的密度函数为：
_x
fxi=Cex
（1）试确定常数C;
（2）求P（X|"）;（3）求Y=X2的密度函数。
4.（20分）设二维连续型随机变量X,Y的联合概率密度为：
1
<1,y<1
其他
xyfx,y二4i0
（1）求随机变量X和Y的边缘概率密度；
（2）求EX,EY和DX,DY;
（3）X和Y是否独立？
求X和Y的相关系数RX,Y,并说明X和
Y是否相关？
（4）求PXY1o
5.（6分）设总体X的分布律为
X_1
PX=Xpx-1,2,,X1,X2,,Xn是来自总体X的
一个样本°求参数P的极大似然估计°
6.（8分）食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准重量为500g°每隔一定的时间，需要检验机器的工作情况°现抽得10罐，测得其重量
（单位：
g）的平均值为X=498,样本方差s2=6.52°假定罐头的重量X~N2,试问机器的工作是否正常（显著性水平
=0.02）?
（Uo.oi=2.33,to.oi9-2.82,to.oi10-2.76）
08-09-1《既率论与数理统计》试题A
一、填空题（每题3分，共15分）
1、已知随机变量X服从参数为2的泊松（Poisson）分布，且随机变量
Z=2X—2，则E（Z）=
2、设A、B是随机事件，PA=0.7,PA-B=0.3,则PAB
3、设二维随机变量X,Y的分布列为
1
2
3
1
1
1
1
6
9
18
2
1
a
P
3
若X与Y相互独立，则八］的值分别为。
4、设D（X）=4,D（Y）=1,R（X,Y）=0.6，贝UD（X—Y）=
5、设Xi,X2」l）,Xn是取自总体N（d；「）的样本，则统计量
1n
（Xi」）2服从分布.
i1
二、选择题（每题3分，共15分）
1.一盒产品中有a只正品，b只次品，有放回地任取两次，第二次取到
正品的概率为【】
（A）a1；（B）辿日；（C）a；（D）」
a+b_1（a+b）（a+b_1）a+b（a+b丿
2、设事件A与B互不相容，且PA=0,PB=0,则下面结论正确的是【】
（A）A与B互不相容；（B）P（BA、>0;
X与Y分别服从正态分布N0,1和
<、1（B）PXYE1二
2
j1
（D）PX-Y乞1二
2
3、设两个相互独立的随机变量
N1,1,则【】
（A）PXY乞0=~;
2
1
（C）PX-Y"=
2
4、如果X,Y满足D（X'Y）=DX-Y，则必有【】
（A）X与Y独立；（B）X与Y不相关；（C）DY=O；（D）
DX=0
5、设相互独立的两个随机变量X与Y具有同一分布律，且X的分布律
X
01
P
11
22
则随机变量Z-maxX,Y的分布律为【】
11
（A）Pz=0,Pz=1；（B）Pz=0=1,Pz=1=0；
22
1331
（C）Pz=0,Pz=1；（D）Pz=0,Pz=1=
4444
三、（本题满分8分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：
任意取出的零件是合格品（A）的概率.
四、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的
次数，Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：
（1）（X,Y）的联合概率分布；
（2）PYX?
五、（本题满分12分）设随机变量X~N0,1，Y=X2•1，试求
随机变量Y的密度函数.
立。
个样本，
⑴•求未知参数、-2的极大似然估计量；：
?
2；
⑵.判断?
是否为未知参数的无偏估计.
九、（本题满分8分）设总体X~NJ,匚2,其中且」与二2都未知，
--:
:
:
■「：
：
•：
：
，匚20.现从总体X中抽取容量n=16的样本观测值
-116
X1,X2，,X16，算出xXi=503.75，
16
s=J丄送（Xi-乂丫=6.2022，试在置信水平1一。
=0.95下，求卩的.15心
置信区间.（已知：
t0.05（15）=1.7531,t0.05（16）=1.7459,t°.025（15）=2.1315,t°.025（16）=2.1199）.
06-07-1《既率论与数理统计》试题A参考答案
、1.0.75；2.0.2；3.3；4.Z2（n）；5.
19
27
二、1、
（C）;2、（D）；3.B;4、A;5、D
三、解：
设A表示事件甲命中目标”，B表示事件乙命中目标"，则AB表示目标被命中”，且
P（AUB）=P（A）P（B）-P（AB）
二P（A）P（B）-P（A）P（B）=0.50.4-0.50.4=0.7所求概率为P（B/AUB）二P[B（AB）]
p（aUb）
。
号1
—1
FyW）
二026x（1—x）dx-1）2（4-y）；
y—11
当1即y3时，Fy（y）=06x（1-x）dx=1；
2'0
0,g
12
FY（y）=fy—1）（4—y）.Icy兰3
4
、1,心
「3
所以fY（y）=q（y一1）（3一y）,1vy*
、0,其他
六、解：
由题意知，X的可能取值为：
0,1,2,3;Y的可能取值为1,3•且
P'X=0,丫£，
1
228，
P「X=2,Y=1；弋2
121J
2328，
二A。
廿dXo
'=e^yd^-A
12
所以A=2.
）X的边缘密度函数
fx（x）=j]f（x,y）dy=*
-x
e
0,
x0
其他
右y
J0,
（3）因f（x,y）二fx（x）fY（y）,所以X,Y是独立的.
4=o-hePp
八、解：
E（X）Xf（x）dxx1dx=
Y的边缘密度函数：
fY（y）=
-Ho
J=f（x,y）dx=丿
y0
其他
1-1
X-1
Pn
似然函数为L（0）f（Xi,B）
肚丿
•°,
Xi1（i=1,2,,n）
令EX=X，即X，得参数一：
的矩估计量为
:
-1
其他
当Xi1（i=1,2-,n）时，L（-）0,
n
lnL（nln11）'TnXj
i=1
n
-InXj=0
i4
dlnL（Jn
得参数1的极大似然估计值为
九、解：
由于正态总体nil,置信区间为
—
n
'Inxi
i=4
-2中期望J与方差二2都未知，所以所求
由：
=0.05,
-S-
X--如（n-1）X
n=16，得0.025.查表，得t002515=2.1315.
2
-^怙（nT）.Jn
本观测值
得X二丄'Xj=503.75,
16日
]6x-x2=6.2022.
■15i3
所以，X-St：
.n-1=503.75-6.20222.1315=500.445,
.•：
n2「16
507.055,
st_n-1=503.756.20222.1315
、n2、16
因此所求置信区间为500.445,507.055
07-08-1概率论与数理统计》试题A参考答案
一.1•
B；2D•;
3•B;4
•C；
5•A.
二.1•
PB=1
-P；2•
3；
—;
3•—;4•
1
;5•1.
5
64
2
三.1•
解：
设用
Ai表示:
第一
次比赛取出的两个球中有
i个新球”，
i=0,1,2;
784
PB=PAoPBAoPAiPBAiPA?
PBA?
0.387
2025
2•解：
Z二X的可能取值为2,3,4,贝y
111PZ=2=PX=1,Y=1=
339
」」」12214
PZ=3UPX=1,Y=2PX=2,Y=1二
33339
PZ=4二PX=2,Y=2=2-=~
339
所以Z=XY的分布律为
Z
2
3
4
P
1
4
4
9
9
9
-bey.-beI-be
解
（1）=fxdx「_：
Ce乐=乳oe^dx=2CN
1
得：
C
2
fx=亠卡［7x
2
（2）P（X<1）=
（3）当y0时,
当y-0时,
1
e」dx二1
11-x|
e1
•_j2
Fyi=PX2乞yi=0；
）=p（-V7兰x兰J7）=
e小Xdx
=Fe」dx
0
0,
ey
y_0
4.解
（1）当X<1时,
-be
fxX「；fX,ydy二二
1xy
-oO
4dy
1
（2,
0,
1
X<1
其他
同理fYy二2,
I0,
y1
其他
（2）EX二
_■xfXxdx二
f-d^0
」2
同理:
EY=.yfYydy=0
EX2
，七02
x
J-=C
1x2
fXxdx「L
同理:
EY2二：
：
y2fYydy=1
3
1
EX"2于Q
同理:
DY=EY2-EY2
（3）由于fx,y=fxx彳丫y,
所以X和Y不独立。
EXY二xyfx,ydxdy二/y
*qo
'"xySdx'
RX,Y」XY—EXEYJDXJDY
1-0
9_
1
3
所以X和Y相关。
（4）PXY1=fx,ydxdy
xy；：
1
111
3川’
424
5.解：
似然函数为：
n
LpiriPXi二Xi
i=1
01
」dx
n
）=口
i=1
1_x
79
〜xydyodx.」xydy96
n
（1-p=pn（1-pgi
lnLp二nlnp
令dlnLpn
dp
fn
z
n
'xi
i=1
Xi
-nIn1-p
得参数p的极大似然估计为
6.解：
假设Ho:
亠=500,
X选择统计量：
T-
：
0=2
X
已：
」500
u“
-~t9
S10498—500
统计量的样本值:
T0.97
6.5S/10
由于T=0.97vt0.01（9）=2.82，接受原假设H
0。
所以在显著性水
平〉=0.02下，可以认为自动装罐机工作正常
08~09-1学期概率论与数理统计》试题A参考答案
2c12
一、填空题：
1、2；2、0.4;3.o=—P=-；4、2.6;5、工2（n）
99
二、选择题：
1、C;2、D;3、B;4、B;5、C
三、解：
设Bi=取出的零件由第i台加工”（i=1,2）
21
PA]=PB1PARPB2PAB20.97—0.98=0.973
33
1,3•且
P=0,Y=3/=—i=
1「3
228，（11=1
28.
四、解：
由题意知,X的可能取值为：
0,1,2,3;Y的可能取值为
28,卩次曰‘丫曰匚。
；
p，：
x=2,y=v=c32「i，P：
X=3,Y=3：
=
是，
（1）（X,Y）的联合分布为
X
1
3
0
0
1
8
1
3
8
0
2
3
8
0
3
0
1
8
（2）PVX
8
五、解：
随机变量X的密度函数为
设随机变量丫的分布函数为Fyy,则有
FYy二PVX2岂y_1‘①.如果y-1乞0,即y乞1,则有Fyy=0；
②.如果yV,则有"
FYy二P’X2乞y一1,y—1乞X空y—1'
2兰2yJ_x2
e2dxe2dx
鼻口■-2二o
y1
re2dx
即Fv（y）才阪0edX
0y_1
所以，
fYy=Fyy=2二
I1__
y-1
y」
1
2「y=
y1
y_1
y1
y-1
i1Ix
六、解：
①E（X）二xe〒xdx=02
22
D（X）二E（X）-[E（X）]
1xl
—hdx-O二0
2
②Cov（X,X）=E（XX）-E（X）E（X）=
所以X与X不相关.
七、（本题满分10分）
解：
（1）由1「二二f（x,y）dxdy「0：
.0：
Ae4x2y）dxdy
.心_x
二A0edx0
亠.2y1
）eydy=丄A所以A=2
J2
_-be
（2）X的边缘密度函数：
fx（x）二f（x,y）dy=
e~x
0,
x0
其他
2e"y
、0,f（x,y）二fx（x）fy（y），所以X，y是独立的
⑴.当二20为未知，而-：
：
：
：
：
」「：
：
•：
：
为已知参数时，似然函
丄£（Xi-町;
2二2口
-He
Y的边缘密度函数：
fY（y）=Jf（x,y）dx=*
_**^0
（3）因
八、解：
数为
n
L（b2）=（2吨2戸exp*
y0
其他
因而
所以
解得
n
InL（ct2）=--ln（2兀er2卜——送（人一卩f22cry
厂InL二25丁人」2
Y22匚2i4
1n
宀丄—2
ni4
1
4-0
因此
221n2，匚2的极大似然估计量为：
？
2Xi-亠]
ni二
2,
所以
⑵.因为Xi~N」，二2i=1,
X-」
△~N0,1i=1,2,
CT
EXj_」］=0,D〔Xj_」I-；「2
i=1,2,,
所以
所
E^Xi—42LE（Xi—卩F+D〔Xi—»]=因此,E?
2二E丄、Xi」2
ILni弓
1n1
=_'、ETXj_J-_-n；「2=；丁2
nin
1n
所以，；？
2=—乂[Xj-"是未知参数二2的无偏估计
ny
九、解：
由于正态总体N」，二2中期望丄与方差二2都未知，
—S—S
X—tjn-1）X+—n-1）.
（Jn空Jn空丿
n=16，得0.025.查表，得t002515=2.1315.
2
匚2i=1,2,
置信区间为
由、=0.05,
所以所求
观测值，得X二丄''Xi=503.75,
16i#
116_
s二'Xi-x2-6.202215i^
x—t：
Jn-1-503.75■2.1315=500.445,
、n2*16
srn-1=5
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