等腰三角形培优导学案.docx
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等腰三角形培优导学案
等腰三角形培优导学案
知识导引
1、等腰三角形的性质：
有两条边相等；在同一个三角形中，等边对等角；等腰三角形三线合一（顶角平分线、底边上的高线和底边上的中线互相重合）；是轴对称图形，有一条对称轴。
等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三条边相等，三个角都是60°，三条边上都满
足三线合一，有三条对称轴。
2、等腰三角形的判定：
在同一三角形中，等角对等边；等边三角形的判定定理有：
三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
3、解与等腰三角形相关的问题时，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是要思考运用等腰三角形的特殊性质。
这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线限制关系的证明等问题的解决提供了新的理论依据。
4、寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：
从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等。
实际解题中的一个常用技巧是构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务。
常用的构造方法有：
（1）角平分线＋平行线；
（2）角平分线＋垂线；（3）垂直平分线；（4）三角形中的2倍关系。
典例精析
例1—1：
如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB相邻的外角的平分线CF相交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，
（1）图中有哪几个等腰三角形？
请说明理由。
2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？
请证明。
例3：
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20°，且AD＝AE，则∠CDE＝
例4：
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠DAE的度数为。
例5：
老师布置了一道思考题：
如图1，点M，N分别在正三角形ABC的BC，AC边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q，求证：
∠BQM＝60°。
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完
（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM＝CN”与“∠BQM＝60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M，N分别分别移动到BC，AC的延长线，是否仍能得到∠BQM＝60°？
③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，AC边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM＝60°？
探究活动例：
小区内有一个三角形小花坛，现在小明想把它分割成两个等腰三角形，使之可以种上不同的花，但是一定可以分成两个等腰三角形吗？
于是小明开始探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件，小明把三角形花坛抽象成几何图形，如图1，△ABC中，设∠A＝，∠B＝，∠C＝。
请探究△ABC中个角度有怎样的关系才能被分割成两个等腰三角形，并
探究如何分割。
（第2题图）（第3题图）
3、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（A、6个B、7个C、8个D4、如图所示，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B，C，E在通一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：
①AE＝BD；
②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确的结论个数是（）
A、1个B、2个C、3个D、4个
5、已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成2：
1两部分，已知三角形的底边长
为5，则腰长为。
6、如图，在△ABC中，EG∥BC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，AB＝10，AC＝12，△AEG的
10、已知：
如图，OA平分∠BAC，∠1＝∠2，求证：
△ABC是等腰三角形。
11、已知一个等腰三角形的三边长分别是x，2x－1，5x－3，那么这个三角形的周长是多少？
12、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（图②）.
（1）在图①中画出折痕所在的直线l。
设直线l与AB，AC分别相交于点D，E，连结CD。
（画图工具不限，不要求写作法）
（2）请你找出完成问题
（1）后所得到的图形中的等腰三角形（不要求证明）。
13、如图
（1）等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。
（1）
（2）
（3）是否仍有AE∥BC？
证明你的猜想。
B组瞄准中考
1、（济宁中考）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是
（）
A、15cmB、16cmC、17cmD、16cm或17cm
2、（大庆中考）如图，在△ABC中，AC＝BC>AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成的△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所
有点P的个数为（）
3、（西宁中考）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB＋∠EDC
＝120°，BD＝3，CE＝2，则△ABC的边长为（）
A、9B、12C、16D、18
4、（宿迁中考）等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为
5、（邵阳中考）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，请你写出一个正确的结论：
6、（无锡中考）如图，OB＝OC，∠B＝80°，则∠AOD＝
7、（宁波中考）
（1）如图1，△ABC中，∠C＝90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形。
（不写作法，但须保留作图痕迹）
（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示，请你判断：
能否分别画一条直线把它
们分割成两个等腰三角形？
若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数。
8、（株洲中考）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36垂足，连结CE。
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE＝5，求BC的长。
9、（玉溪中考）将两个等边△ABC和△DEF（DE>AB）按如图所示摆放，点D是BC上一点（除点B，点C外）。
把△DEF绕顶点D按顺时针方向旋转一定的角度，使得边DE，DF与△ABC
的边（边BC除外）分别相交于点M，N。
（1）∠BMD和∠CDN相等吗？
（2）画出使∠BMD和∠CDN相等的所有情况的图形。
（3）在题
（2）中任选一种图形说明∠BMD和∠CDN相等的理由。
10、（沈阳中考）已知：
如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连结BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点。
（1）求证：
①BE＝CD；②△AMN是等腰三角形。
（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形，请直接写出
（1）中的两个结论是否仍然成立。
11、（绍兴中考）数学课上，李老师出示了如下框中的题目：
小敏同桌小聪讨论后，进行解答：
（1）特殊情况，探索结论：
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与BD的大小关系，请你直接写出结论：
AEBD
（2）特例启发，解答题目：
题目中，AE与BD的大小关系是：
AEBD（填“>”，“<”或“＝”）。
理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F。
（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题：
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且DE＝CE。
若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长。
（请你直接写出结果）
12、（杭州中考）如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连结AP交BC于点E，连结BP交AC于点F。
（1）证明：
∠CAE＝∠CBF；
（2）证明：
AE＝BF；
（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC
和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG，如果存在点的取值范围。
P，能使得S△ABC＝S△ABG，求∠ACB
C组冲击金牌
1、将一根长度为11的铅丝折成三段，再首尾相接围成一个等腰三角形，如果要求所围成的等腰三角形的边长都是整数，那么其底边可取的不同长度有（
A、2个B、3个
、4个
2、意识△ABC的三边长分别为
b、c，且a
b
、5个
bc
bca
定是（）
等边三角形B底边长为a的等腰三角形如图，若AB＝AC，BG＝BH，30°B、32°C
有三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为
A、
C、
3、
A、
4、
、腰长为a的等腰三角形、等腰直角三角形
D
AK＝KG，则∠BAC的度数为（
D等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰
、36°
、40°
度。
E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于
5、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点F，求证：
AF＝EF
6、如图，已知等边△ABC中，DE∥BC，FG∥BC，现将等边△ABC分别沿DE和FG对折，点A分别落在点A1和点A2，连结A2B，A2C。
（1）求证：
△AFG是正三角形；
（2）求证：
A2BA2C；
（3）设A1D，A1E交FG与M，N两点，若DE＝7cm，FG＝3cm，求△A1MN的周长。
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