第五章运筹学线性规划在管理组织中的应用标准规定样式分析.docx
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第五章运筹学线性规划在管理组织中的应用标准规定样式分析
第五章线性规划在管理中的应用
5.1某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。
管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。
可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表：
机器设备类型
每周可用机器台时数
铣床
500
车床
350
磨床
150
每生产一件各种新产品需要的机器台时数如下表：
机器设备类型
新产品Ⅰ
新产品Ⅱ
新产品Ⅲ
铣床
8
4
6
车床
4
3
0
磨床
3
0
1
三种新产品的单位利润分别为0.5元、0.2元、0.25元。
目标是要确定每种新产品的产量，使得公司的利润最大化。
1、判别问题的线性规划数学模型类型。
2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。
3、建立该问题的线性规划数学模型。
4、用线性规划求解模型进行求解。
5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。
6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。
解：
1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。
2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：
0.5x1+0.2x2+0.25x3
决策的限制条件：
8x1+4x2+6x3≤500铣床限制条件
4x1+3x2≤350车床限制条件
3x1+x3≤150磨床限制条件
即总绩效测试（目标函数）为：
maxz=0.5x1+0.2x2+0.25x3
3、本问题的线性规划数学模型
maxz=0.5x1+0.2x2+0.25x3
S．T．8x1+4x2+6x3≤500
4x1+3x2≤350
3x1+x3≤150
x1≥0、x2≥0、x3≥0
4、用Excel线性规划求解模板求解结果：
最优解（50，25，0），最优值：
30元。
5、灵敏度分析
目标函数最优值为:
30
变量最优解相差值
x1500
x2250
x30.083
约束松弛/剩余变量对偶价格
10.05
2750
30.033
目标函数系数范围:
变量下限当前值上限
x1.4.5无上限
x2.1.2.25
x3无下限.25.333
常数项数范围:
约束下限当前值上限
1400500600
2275350无上限
337.5150187.5
（1）最优生产方案：
新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。
最大利润值为30元。
（2）x3的相差值是0.083意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润0.25元/件，提高到0.333元/件。
（3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时；
三个对偶价格0.05，0，0.033表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。
（4）目标函数系数范围
表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围
表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。
各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元不变。
6、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是：
maxz=0.5x1+0.2x2+0.25x3
S．T．8x1+4x2+6x3≤500
4x1+3x2≤350
3x1+x3≤150
x3≥18
x1≥0、x2≥0、x3≥0
这是一个混合型的线性规划问题。
代入求解模板得结果如下：
最优解（44，10，18），最优值：
28.5元。
灵敏度报告：
目标函数最优值为:
28.5
变量最优解相差值
x1440
x2100
x3180
约束松弛/剩余变量对偶价格
10.05
21440
30.033
40-.083
目标函数系数范围:
变量下限当前值上限
x1.4.5无上限
x2.1.2.25
x3无下限.25.333
常数项数范围:
约束下限当前值上限
1460500692
2206350无上限
318150165
401830
（1）最优生产方案：
新产品Ⅰ生产44件、新产品Ⅱ生产10件、新产品Ⅲ生产18件。
最大利润值为28.5元。
（2）因为最优解的三个变量都不为0，所以三个相关值都为0。
（3）四个约束的松弛/剩余变量0，144，0，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，新产品Ⅲ的产量也刚好达到最低限制18件，而车床的可用工时还剩余144个工时；
四个对偶价格0.05，0，0.033，-0.083表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额，第四个对偶价格-0.083表明新产品Ⅲ的产量最低限再多规定一件，总的利润将减少0.083元。
（4）目标函数系数范围
表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围
表明铣床的可用条件在460到692工时之间、车铣床的可用条件在206工时以上、磨铣床的可用条件在18到165工时之间、新产品Ⅲ产量限制在30件以内。
各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元，-.083元不变。
5.2某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm，现在要在宽度上进行切割以完成以下订货任务：
32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其长度都是一样的。
问应如何切割可使所用的原铜板为最少？
解：
本问题是一个套材下料问题，用穷举法找到所有可能切割的方式并建立数学模型：
minf=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10
S.T.3x1+2x2+2x3+x4+x5+x6≥75
x2+2x4+x6+3x7+2x8+x9≥50
x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10≥110
xi≥0（i=1，2…..10）
用Excel线性规划求解模型板求解：
最优解：
（18.33,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：
63.3333
因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。
即其结果为：
即最优解：
（19,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：
64
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为:
63.333
变量最优解相差值
x118.3330
x20.056
x30.111
x40.111
x5200
x60.167
x70.167
x8250
x90.056
x100.111
约束松弛/剩余变量对偶价格
10-.333
20-.278
30-.222
目标函数系数范围:
变量下限当前值上限
x1.7511.071
x2.9441无上限
x3.8891无上限
x4.8891无上限
x5.83311.083
x6.8331无上限
x7.8331无上限
x8.44411.111
x9.9441无上限
x10.8891无上限
常数项数范围:
约束下限当前值上限
12075无上限
2050110
350110275
这是一个统计型的线性规划问题，所以分析价值系数的取值范围和相差都没有意义。
松弛/剩余变量都为0，表示最优方案已达到三种规格薄铜板数量的最低限。
三个约束条件的对偶价格-.333、-.278、-.222分别表示三种规格薄铜板数量的最低限再增加一个，将增加原铜板.333cm、.278cm、.222cm。
这个数字实际跟薄铜板长度规格相一致。
常数项数范围表示三种规格薄铜板数量的最低限在这些范围内，每增一个限额所原原铜板.333cm、.278cm、.222cm不变。
这里需要特别指出的是，第一种规格的薄铜板32cm宽，已使三块组合就能比较恰当地用完原铜板，所以这种规格的薄铜板无论增加多少，都不改变用原铜板的比例。
5.3某医院对医生工作的安排为4小时一个工作班次，每人要连续工作二个班次。
各班次需要医生人数如下表：
班次
时间
人数
1
0:
00-4:
00
4
2
4:
00-8:
00
7
3
8:
00-12:
00
9
4
12:
00-16:
00
12
5
16:
00-20:
00
8
6
20:
00-24:
00
6
其中，第6班报到的医生要连续上班到第二天的第1班。
问在各班开始时应该分别有几位医生报到。
若参加1、2、6班的医生需要支付夜班津贴，为了使支付总的夜班津贴为最少，应如何安排各班开始时医生的报到人数。
解：
第一步：
不考虑夜班津贴。
线性规划数学模型为：
minf=x1+x2+x3+x4+x5+x6
S.T.x6+x1≥4
x1+x2≥7
x2+x3≥9
x3+x4≥12
x4+x5≥8
x5+x6≥6
xi≥0（i=1，2，3，4，5，6）
用Excel线性规划求解模板求解得：
第一班安排7人，第三班安排10人，第四班安排2人，第五班安排6人，第二、第六班不安排人。
总人数为25人。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为:
25
变量最优解相差值
x170
x200
x3100
x420
x560
x600
约束松弛/剩余变量对偶价格
13.0
20-1
31.0
40--1
50.0
60--1
目标函数系数范围:
变量下限当前值上限
x10.11
x211无上限.
x30.11
x41.12
x5011
x611无上限
常数项数范围:
约束下限当前值上限
1无下限47
247无上限
3无下限910
41112无上限
5689
6568
这是一统计型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。
班次
时间
所需人数
本段安排人数
上段安排人数
本段实际人数
多余人数
1
0:
00-4:
00
4
7
0
7
3
2
4:
00-8:
00
7
0
7
7
0
3
8:
00-12:
00
9
10
0
10
1
4
12:
00-16:
00
12
2
10
12
0
5
16:
00-20:
00
8
6
2
8
0
6
20:
00-24:
00
6
0
6
6
0
合计
46
25
50
4
松弛/剩余变量一栏就是上表的“多余人数”一列是各时间段安排所剩余的人数。
“对偶价格”一栏。
第一个常数项由4增加到5，因为还剩下2人，所以不会改变最优值；
第二个常数项由7增加到8，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人最优值解也必须增加1，因为是求最小化问题，所以对偶价格为－1；
第三个常数项由9增加到10，刚好将原来剩余的人用上，所以不会改变最优值；
第四个、第六个常数项与第二个常数项一样；
第五个常数项由2增加到3，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人，但下个班就可以再少安排一个人，所以不会改变最优值；
本题的这种情况是每一个变量都会影响到两个时段的结果，所以在进行灵敏度分析时也必定要考虑这个因素，这里第一个时段是特殊情况（有资源剩余），其余的时段分析时相邻两个是相互影响的。
因此，第2时段为-1，第3时段为0，后面的依次相反。
若第2时段为0，则第3时段就为-1。
第二步：
考虑夜班津贴。
线性规划数学模型为：
minf=x1+x2+x3+x5+x6
S.T.x6+x1≥4
x1+x2≥7
x2+x3≥9
x3+x4≥12
x4+x5≥8
x5+x6≥6
xi≥0（i=1，2，3，4，5，6）
用Excel线性规划求解模板求解得：
即：
总人数还是25人，但每班安排人数有所调整：
第一班不安排人，第二班安排7人，第三班安排2人，第四班安排10人，第五班安排0人，第六班安排6人。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为:
15
变量最优解相差值
x101
x270
x320
x4100
x500
x660
约束松弛/剩余变量对偶价格
120
200
30-1
400
520
60-1
目标函数系数范围:
变量下限当前值上限
x101无上限
x2112
x3011
x4001
x511无上限
x6011
常数项数范围:
约束下限当前值上限
1无下限46
2579
37911
41012无上限
5无下限810
646无上限
这是一统计型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。
班次
时间
所需人数
本段安排人数
上段安排人数
本段实际人数
多余人数
1
0:
00-4:
00
4
0
6
6
2
2
4:
00-8:
00
7
7
0
7
0
3
8:
00-12:
00
9
2
7
9
0
4
12:
00-16:
00
12
10
2
12
0
5
16:
00-20:
00
8
0
10
10
2
6
20:
00-24:
00
6
6
0
6
0
合计
46
25
50
4
“对偶价格”一栏。
第一个常数项由4增加到5，因为还剩下2人，所以不会改变最优值；
第二个常数项由7增加到8，由于上段时间已增一个人，这个人本班还上班，所以本也不需要增加人。
第三个常数项由9增加到10，前面安排的人都已下班，本班刚好只朋9人，若需求再增加一人，就需要新安排一人所以对偶价格-1；
第四个、第五个、第六个常数项与前三个常数项一样；
5.4某塑料厂要用四种化学配料生产一种塑料产品，这四种配料分别由A、B、C三种化学原料配制，三种化学原料的配方及原料价格如下表：
配料
1
2
3
4
价格（元/公斤）
含原料A（%）
30
40
20
15
11
含原料B（%）
20
30
60
40
13
含原料C（%）
40
25
15
30
12
要配制的塑料产品中，要求含有20%的原料A，不少于30%的材料B和不少于20%的原料C。
由于技术原因，配料1的用量不能超过30%，配料2的用量不能少于40%。
第一次配制的塑料产品不能少于5公斤。
请设计一套配料方案，使总的成本为最低。
解：
线性规划数学模型：
minf=10.7x1+11.3x2+11.8x3+9.45x4
S.T.0.1x1+0.2x2-0.05x4=0
-0.1x1+0.3x3+0.1x4≥0
0.2x1+0.05x2-0.05x3+0.1x4≥0
0.7x1-0.3x2-0.3x3-0.3x4≥0
-0.4x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4≤0
x1+x2+x3+x4≥5
xi≥0（i=1，2，3，4，）
将模型代入到线性规划求解模板，得结果：
用配料1，1.5公斤；用配料2，0.1公斤；用配料3，0公斤；用配料4，3.4公斤；花费总的最低成本49.31元。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为:
49.31
变量最优解相差值
x11.50
x2.10
x301.98
x43.40
约束松弛/剩余变量对偶价格
10-7.4
2.190
3.6450
40-.14
51.90
60-9.862
目标函数系数范围:
变量下限当前值上限
x110.5610.7无上限
x2-481.811.311.533
x39.8211.8无上限
x4-5.0539.459.8
常数项数范围:
约束下限当前值上限
1-.0250.475
2无下限0.19
3无下限0.645
4-1.50.167
5-1.90无上限
605无上限
本问题的相差值栏，x3的相差值为1.98，表示目前配料3的成本11.8太高，无法选用，若该配料的成本再降低1.98元就可以选取用。
松弛/剩余变量栏：
前五个给条件都表示的是配料或原料的配比关系。
松弛/剩余变量为0关系表示已完全按要求配比，不为0的表示没有达到配比要求。
第五个约束是总产品的产量最低限，松弛/剩余变量为0表示已达到产量要求。
关五个约束的对偶价格表示配料或者说原料不匹配时，对总费用的影响。
不为0的对偶价格表示配比每差一个单位都会使总费用的增加量。
第五个对偶价格是每增加一公斤的产品，需要增加的费用值。
在学数项取值范围栏：
前五个约束在常数项在这个范围内，保持上述的对偶价格，而此时的上限都不高，说明这个最优方案中的匹配关系失衡并不严重，若比例失衡将会导致费用的增加比例更大。
对五个对偶价格实际上说明了该产品的绝对成本，在这个方案下，生产多少的产品都是这个成本构成。
5.5某工厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品，产品Ⅰ需经过A、B两种机器加工，产品Ⅱ需经过A、C两种机器加工，产品Ⅲ需经过B、C两种机器加工，产品Ⅳ需经过A、B两种机器加工。
有关数据见下表所示：
产品
机器生产率（件/小时）
原料成本（元/件）
产品价格（元/件）
A
B
C
Ⅰ
10
20
16
65
Ⅱ
20
10
25
80
Ⅲ
10
15
12
50
Ⅳ
20
10
18
70
机器成本（元/小时）
200
150
225
每周可用机时数
150
120
70
请为该厂制定一个最优生产计划。
解：
线性规划数学模型：
maxZ=21.5x1+22.5x2+8x3+27x4
S.T.2x1+x2+x4≤3000
x1+2x3+2x4≤2400
3x2+4x3≤4200
xi≥0（i=1，2,......4）
用Excel线性规划求解模板求解得：
最优生产方案：
产品Ⅰ生产267件；
产品Ⅱ生产1400件；
产品Ⅲ不安排生产；
产品Ⅳ生产1067件。
可获得的最高利润：
66033.3元。
灵敏度分析报告：
即：
目标函数最优值为:
66033.3495
变量最优解相差值
-----------------------
x1266.6670
x214000
x3030.8333
x41066.6670
约束松弛/剩余变量对偶价格
----------------------------
105.333
2010.833
305.722
目标函数系数范围:
变量下限当前值上限
-------------------------------
x113.521.545
x25.33322.5无上限
x3无下限838.333
x410.752743
常数项数范围:
约束下限当前值上限
-------------------------------
1260030006200
280024003200
3042005400
此模型的最优解中，四个变量有三个变量不为0，即需要安排生产，另一个为0的变量表示产品Ⅲ由于成本高或价格低，使所获的利润太低，不值得生产。
从相差值栏可见，该产品的单位利润需要再增加30.8333元才值得生产。
松弛/剩余变量栏中三个数据都为0，表示该决策中所提供三种设备的机时都已全部利用，没有剩余；从对偶价格栏还可以看到三种设备的机时虽然都已用尽，但此时对三种设备增加机时，则设备B所带来的总利润为最多。
因此设备B是瓶径。
从约束条件的取值范围也可以看到这一点，因为设备B的机时取值范围最小，因此该设备是关键。
5.6某企业生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，市场两种产品的需求量为：
产品Ⅰ在1-4月份每月需1万件，5-9月份每月需3万件，10-12月份每月需10万件；产品Ⅱ在3-9月份每月需1.5万件，其他月份每月需5万件。
该企业生产这两种产品的成本为：
产品Ⅰ在1-5月份生产时每件5元，6-12月份生产时每件4.5元；产品Ⅱ在1-5月份生产时每件8元，6-12月份生产时每件7元；该企业每月生产两种产品的能力总和不超过12万件。
产品Ⅰ容积为每件0.2立方米，产品Ⅱ容积为每件0.4立方米。
该企业仓库容积为1.5万立方米。
要求：
1、问该企业应如何安排生产，使总的生产加工储存费用为最少，建立线性规划数学模型并求解，若无解请说明原因。
2、若该企业的仓库容积不足时，可从外厂租借。
若占用本企业的仓库每月每立方米需1万元的储存费，而租用外厂仓库时其储存费用为每月每立方米1.5万元，试问在满足市场需求情况下，该企业又应如何安排生产，使总的生产加储存费用为最少。
解：
1、这是一个72个变量、60个约束条件的线性规划问题，若不考虑外厂租借仓库，则无法求解（无解），只有考虑外厂租借仓库才能解决本问题。
分析及解决过程和结果可见下表：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
仓容
外存
产
品
Ⅰ
销售量（千件）
10
10
10
10
30
30
30
30
30
100
100
100
15000（m3）
1元/m3
容量
不限
1.5元/m3
成本（元、件）
5
5
5
5
5
4.5
4.5
4.5
4.5
4.5
4.5
4.5
产量（件）
x1=10
x2=10
x3=10
x4=10
x5=30
x6=30
x7=30
x8=45
x9=105
x10=70
x11=70
x12=70
总容积（千m3）
0.2x1
0
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