高等代数.docx
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高等代数
《高等代数2》
研究性教学设计方案
学院数学科学学院
专业数学与应用数学
班级数学2015级
授课教师陈惠香
授课团队代数学
扬州大学教务处
2016年元月23日
注意事项
1．课程设计包括理论讲授内容、自主学习安排、探究知识、实践部分、拓展要求等；
2．教学过程设计分讲授、研讨和实践等设计；
3．每门课程设计要附课程教学大纲；
4．每个单元的教学设计要彰显研究性。
一、课程简介（作用、地位、特点、学情分析）
《高等代数》是数学专业的一门重要基础课程，也是现代科学技术中处理离散量理论的基础，它是学生学习专业课程和以后从事科学研究的重要基础。
《高等代数2》在《高等代数1》的基础上向学生进一步介绍代数学中一些基本的概念、理论与方法。
内容主要包括二次型、线性空间与线性变换、λ-矩阵，欧氏空间、线性函数和双线性函数等的基本概念、基本理论及基本计算方法。
《高等代数》是学生所接触到的第一门以公理化形式叙述数学概念的数学课程，其特点是高度抽象和高度概括。
学好《高等代数》课程需要学生具有较高的抽象思维能力、提炼概括能力以及较高的逻辑推理能力，并需要学生善于积极地主动思考，但是目前我们的学生的状况正是缺少这些能力，而且由于在中学长期形成的被动接受知识、被动接收学习任务的习惯，学生缺乏学习主动性、缺乏独立思考能力，许多学生对于学习甚至于不作任何思考。
经过了《高等代数1》课程一个学期的训练，尤其是通过一些研究课题的完成，情形略有改变，但是在学生主动学习、主动思考的习惯养成方面收效甚微，学生能力的也有待进一步提高。
本课程拟尝试进一步改变学生被动学习的状态，养成主动学习、主动思考的习惯，努力提高学生分析问题解决问题的能力。
二、课程教学理念与目标
根据我院数学与应用数学（师范）本科专业的特色，本课程在传统教材的基础上，应注重突出课程内容的系统性与相互联系。
改变传统教学法的单纯注重知识讲授的弊端，选择恰当的专题采取以案例为起始点、学生为中心的教学法。
一部分单元（或章节）拟通过“分析案例提出问题-分析问题拟定解决方案-分步研讨解决问题”模式展开教学，整个教学过程恰好是一个典型的科研过程，通过让学生参与这一过程，激发学生学习本课程的兴趣，引导学生主动思维，体会数学知识的发现过程和数学的一般研究过程，在学习基础知识的同时，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
另一部分单元（或章节）拟通过“分析案列-归纳提炼-产生概念”模式展开教学，通过教师与学生的互动，让学生参与这一过程，使学生体会数学概念和知识的形成过程，培养学生的抽象思维能力和提炼概括能力。
总之在学生学好基础知识的同时，使学生学会应用理论联系实际的思维分析方法，注重学生各项能力的提高。
三、使用教材及网站建设
《高等代数》第四版，北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，高等教育出版社。
网站：
四、课程学时分配表
《高等代数》课程分为《高等代数1》和《高等代数2》，学习时间为2个学期，第二学期《高等代数2》学习课程的后六章，即第五章二次型、第六章线性空间、第七章线性变换、第八章λ-矩阵、第九章欧几里得空间、第十章双线性函数。
第二学期六章的学时分布如下：
教学内容与学时安排
序号
章目名称
学时分配
序号
章目名称
学时分配
讲授
实验
讲授
实验
1
二次型
12
4
λ-矩阵
10
2
线性空间
14
5
欧几里得空间
16
3
线性变换
22
6
双线性函数
6
五、内容设计
【课程单元1:
二次型】
1.教学框架与教学内容
本单元的教学内容：
二次型的定义及其矩阵表示、二次型的标准型、唯一性、正定二次型。
通过本单元的学习，使学生理解并掌握有关二次型的一些基本概念：
数域上的n元二次型，线性替换，非退化的线性替换，二次型的矩阵，二次型的标准形，复和实二次型的规范形，实二次型的正惯性指数，负惯性指数，符号差。
矩阵的合同，正定二次型等。
掌握用配方法化二次型为标准形，用对二次型的矩阵作初等变换的方法化二次型为标准形，化复和实二次型为规范形，掌握实二次型的惯性定理和实二次型正定的一些条件。
2.重点和难点
本单元的重点和难点：
用合同变换化二次型为标准形；惯性定理；正定、负定二次型及其判定定理。
3.教学方式
拟采用讲授、自学、讨论和练习相结合。
4.教学方法
讲授法：
课程主要内容。
练习法：
集中讲解和练习习题。
自学法：
布置适当自学内容（根据内容可提出具体要求，让学生提交自学内容报告）。
研讨法：
提出合适问题让学生自行研究，提交研究论文或报告。
5.教学过程
本单元的教学过程分讲授、自学、学生自主探究和练习四部分，其中前三部分安排如下：
（1）讲授或在教师引导下共同探讨
通过与学生共同回顾在中学数学二次曲线和二次曲面的表达形式以及标准型,介绍现代数学研究的一种常用方法，推广这些概念到一般情形，以此引入二次型以及线性替换的概念，并展开教学内容。
提出问题：
一般二次型是否如二次曲线和二次曲面那样有标准型？
若有，标准型是什么形式？
如何化一个二次型为标准型，然后整个教学过程都围绕这些问题展开。
这一教学过程就是在教师引导下，学生共同参与探究、解决问题的过程。
（2）自主学习内容
查阅并自学二次曲线和二次曲面的代数表达形式以及标准型。
（3）学生自主探究问题
试论述实二次型半正定的等价条件，并给出证明。
写成小论文。
6.评价方式（论文（含研讨、调研等）、作业、笔试等）
本单元学生的学习成绩评价方法如下：
作业、小论文、单元测验。
【课程单元2：
线性空间】
1.教学框架与教学内容
本单元教学内容：
集合与映射、线性空间的定义及其性质、维数和基及坐标、基变换与坐标变换、线性子空间、子空间的交与和、子空间的直和、以及线性空间的同构。
通过本单元的学习，使学生理解并掌握映射和线性空间的一些基本概念：
线性空间的定义和基本性质，线性空间中向量线性相关性，线性空间的维数、基和向量的坐标，线性空间中的基变换和坐标变换，线性子空间，生成子空间，子空间的交、子空间的和、子空间的直和，线性空间的同构。
在此基础上要求学生掌握线性空间基变换下向量坐标变换公式，线性空间的非空子集构成线性子空间的条件，n维线性空间基的存在性，子空间交与和的一些性质，维数公式，子空间的和是直和的充要条件，数域上两个有限维线性空间同构的等价条件。
2.重点和难点
本单元的重点和难点：
使学生明确中学所学的向量只是向量空间中向量的特例；维数、基底、坐标的概念，基底与坐标的区别；基变换公式，子空间；子空间的和，维数公式；子空间的直和；同构的概念。
3.教学方式
拟采用讲授、自学、讨论和练习相结合。
4.教学方法
讲授法：
课程主要内容。
练习法：
集中讲解和练习习题。
自学法：
布置适当自学内容（根据内容可提出具体要求，让学生提交自学内容报告）。
研讨法：
提出合适问题让学生自行研究，提交研究论文或报告。
5.教学过程
本单元的教学过程分讲授、自学、学生自主探究和练习四部分，其中前三部分安排如下：
（1）讲授或在教师引导下共同探讨
通过与学生共同回忆分析在《高等代数1》中所学到的若干集合的案列：
如数域P上n维向量空间、全体
矩阵、一元多项式环
等，总结它们的共性，以此引入线性空间的概念。
提出问题：
我们所熟悉的这些例子，哪些性质可以发展到一般的线性空间上？
如何理解并掌握抽象的线性空间？
然后围绕这两个问题展开教学内容，将上述问题分解成若干小问题，逐步深入探讨。
整个教学过程就是在教师引导下与学生共同探讨解决上述问题的过程。
（2）自主学习内容
自学复习n维向量空间中向量组的线性相关和线性无关性。
（3）学生自主探究问题
n维向量空间中向量组的线性相关和线性无关的哪些性质可推广到一般的线性空间中？
给出所有可能的性质，并给出证明。
形成书面报告材料提交。
6.评价方法（论文（含研讨、调研）、作业、笔试等）
本单元学生的学习成绩评价方法如下：
作业、提交的专题报告、单元测验。
【课程单元3：
线性变换】
1.教学框架与教学内容
本单元教学内容：
线性变换的定义及运算、线性变换的矩阵、特征值与特征向量、对角矩阵、线性变换的值域与核、不变子空间、若尔当标准型与最小多项式。
通过本单元的学习，使学生理解并掌握线性变换的一些基本概念：
线性变换的定义，线性变换的加、乘、数量乘法的定义和基本性质，可逆线性变换和它的逆变换的定义，线性变换的逆和多项式，线性变换的矩阵，矩阵的相似，线性变换的特征值和特征向量，特征多项式，特征子空间，线性变换的值域和核，不变子空间，最小多项式，若尔当形矩阵。
同时要使学生掌握线性变换和矩阵的关系，矩阵相似的性质，哈密尔顿-凯莱定理，线性变换在一组基下的矩阵是对角矩阵的条件，n级矩阵与对角矩阵相似的条件。
2.重点和难点
本单元的重点和难点：
线性变换的运算；同一线性变换在两组不同基下的对应矩阵之间关系；求特征值，特征向量；矩阵对角化的方法；不变子空间的概念极其重要性质；若尔当快和若尔当标准形。
3.教学方式
拟采用讲授、自学、讨论和练习相结合。
4.教学方法
讲授法：
课程主要内容。
练习法：
集中讲解和练习习题。
自学法：
布置适当自学内容。
研讨法：
提出合适问题让学生自行研究，课堂提问讨论。
5.教学过程
本单元的教学过程分讲授、自学、学生自主探究和练习四部分，其中前三部分安排如下：
（1）讲授或在教师引导下共同探讨
人类认识事物总是从个体到整体，从个体的研究到各事物的相互联系。
前一个单元学习了线性空间，其中的向量可以看成个体，如何研究他们彼此之间的关系？
向量之间有哪些联系？
从已掌握的知识看他们之间最简单的是线性关系，而通过线性变换是研究向量之间线性关系最有效和简便的方法。
本单元通过向学生介绍线性变换，并通过线性变换来研究向量之间的关系，向学生展示一种最新的数学方法。
教学内容就是围绕线性空间的整体性质，如何用线性变换研究线性空间的性质？
用线性变换能研究线性空间哪些性质？
等等一些列问题展开。
教学过程就是在教师引导下与学生共同探讨研究上述问题的过程。
（2）自主学习内容
自学若尔当标准型的理论推导。
（3）学生自主探究问题
复数域上
矩阵全体按相似分类，共有多少类？
每一类可取哪个矩阵作为代表元？
6.评价方法（论文（含研讨、调研）、作业、笔试等）
本单元学生的学习成绩评价方法如下：
作业、提交的专题报告、单元测验。
【课程单元4：
-矩阵】
1.教学框架与内容
本单元教学内容：
-矩阵及其等价标准型、行列式因子与不变因子、矩阵相似的条件与初等因子、复矩阵的若尔当标准型、矩阵的有理标准型。
通过本单元的学习，使学生掌握
矩阵的一些基本概念：
矩阵，
矩阵的秩，
矩阵的逆矩阵，初等变换、等价、不变因子，行列式因子，矩阵的初等因子，矩阵的有理标准形，复矩阵的若尔当标准形等。
同时要使学生掌握
矩阵可逆的充要条件，
矩阵标准形的存在性，唯一性及求法。
不变因子，行列式以及初等因子的求法，
矩阵等价的条件，矩阵相似的条件。
2.重点和难点
本单元的重点和难点：
矩阵的概念与可逆性，
矩阵在初等变换下的标准形，不变因子，矩阵相似的条件，初等因子，若尔当标准形的理论推导，矩阵的有理标准形。
3.教学方式
拟采用讲授、自学、研讨和练习相结合。
4.教学方法
讲授法：
课程主要内容。
练习法：
集中讲解和练习习题。
自学法：
布置适当自学内容。
研讨法：
提出合适问题让学生自行研究，提交研究论文或报告。
5.教学过程
本单元的教学过程分讲授、自学、学生自主探究和练习四部分，其中前三部分安排如下：
（1）讲授
从前一两个单元的学习可以看出，以下两个问题值得研究:
（1）对于数域P上任意给定的两个
矩阵
，如何判断它们是否等价？
是否存在一种便于操作的方法？
（2）对于数域P上任意给定的
矩阵
，
和一个什么样的矩阵相似？
要求这个矩阵形状简单、形状固定，且由
唯一确定。
本单元的教学围绕上述两个问题展开，整个教学过程就是探讨研究并解决上述问题的过程。
（2）自主学习内容
矩阵相似的条件。
（3）学生自主探究问题
给定
矩阵
，是否存在一种方法求出可逆矩阵
使得
为
的若尔当标准型？
若没有，试给出理由；若有，试给出方法并举例。
提交研究论文。
6.评价方法（论文（含研讨、调研）、作业、笔试等）
本单元学生的学习成绩评价方法如下：
作业，提交的论文或报告，单元测验。
【课程单元5：
欧几里得空间】
1.教学框架与内容
本单元教学内容：
欧几里得空间的定义与性质、标准正交基、欧氏空间的同构、正交变换与正交矩阵、子空间及向量到子空间的距离、对称变换与对称矩阵。
通过本单元的学习，使学生理解并掌握欧氏空间的一些基本概念：
欧几里得空间的定义，向量的长度，夹角，正交的概念，基的度量矩阵，正交向量组，正交基，标准正交基，正交矩阵，欧氏空间的同构，正交变换，子空间的直和，正交补，最小二乘法问题，最小二乘解。
同时要使学生掌握柯西一布涅柯夫斯基不等式，n维欧氏空间中标准正交基的存在性，施密特正交化方法，n维欧氏空间同构的条件，正交变换的基本性质，实对称矩阵的性质及标准形的求法。
2.重点和难点
本单元的重点和难点：
欧几里得空间的定义，柯西一布涅柯夫斯基不等式；施密特正交化过程，欧几里得空间的同构；正交变换；求特征值，特征向量及过渡的正交矩阵；最小二乘法。
3.教学方式
拟采用讲授、自学、讨论和练习相结合。
4.教学方法
讲授法：
课程主要内容。
练习法：
集中讲解和练习习题。
自学法：
布置适当自学内容。
研讨法：
提出合适问题让学生自行研究，提交研究论文或报告。
5.教学过程
本单元的教学过程分讲授、自学、学生自主探究和练习四部分，其中前三部分安排如下：
（1）讲授
通过与学生共同回顾几何空间向量的长度、夹角及内积等相关概念，我们发现：
在一般的线性空间中还没有相应的概念。
这就产生了如下问题：
在一般的线性空间中能否引入向量的长度、夹角及内积等相关概念？
何时能引入？
如何引入？
为此我们引入欧几里得空间，然后在欧几里得空间中引入相应的几何概念。
然后围绕一般的几何问题在欧氏空间中展开讨论。
本单元的教学就是围绕上述问题开展讨论，在教师引导下与学生共同解决上述问题并逐步深入探讨。
（2）自主学习内容
自学酉空间
（4）学生自主探究问题
尝试阐述酉空间的基本理论。
提交书面报告。
6.评价方法（论文（含研讨、调研）、作业、笔试等）
本单元学生的学习成绩评价方法如下：
作业，提交的论文或报告，单元测验。
【课程单元6：
双线性函数】
1.教学框架与内容
本单元教学内容：
线性函数、对偶空间、双线性函数、对称双线性函数。
通过本单元的学习，使学生理解并掌握线性函数与对偶空间的定义及相应定理，掌握线性函数及双线性函数的性质。
2.重点和难点
本单元的重点和难点：
对偶空间性质及其相应定理，线性函数的性质。
3.教学方式
拟采用讲授、自学、讨论和练习相结合。
4.教学方法
讲授法：
课程主要内容。
练习法：
集中讲解和练习习题。
自学法：
布置适当自学内容。
研讨法：
提出合适问题让学生自行研究，提交研究论文或报告。
5.教学过程
本单元的教学过程分讲授、自学、学生自主探究和练习四部分，其中前三部分安排如下：
（1）讲授
通过与学生共同回顾一些熟悉的函数，提出问题：
可否从函数的角度研究线性空间？
本单元的教学就是向学生介绍现代代数学中一种常用的研究方法，即利用线性函数研究线性空间的性质，尤其是线性空间与其对偶空间的联系。
（2）自主学习内容
自学辛空间
（5）学生自主探究问题
辛空间与欧氏空间有哪些共性、哪些差异？
。
6.评价方法（论文（含研讨、调研）、作业、笔试等）
本单元学生的学习成绩评价方法如下：
作业，提交的报告，单元测验等。
六、总表
以章节、内容、课时、教学方式、研讨和调研等的内容和要求为表头
教学内容
各教学环节学时分配
序号
章目名称
讲授
解题
研讨
小计
1
二次型
8
3
1
12
2
线性空间
10
2
2
14
3
线性变换
16
4
2
22
4
λ-矩阵
7
2
1
10
5
欧几里得空间
11
3
2
16
6
双线性函数
4
1
1
6
合计
56
15
9
80
附：
课程教学大纲
高等代数课程教学大纲
AdvancedAlgebra
课程编号：
0410056
课程性质：
学科基础课
适用专业：
数学与应用数学信息与计算科学
先修课程：
中学数学
后续课程：
近世代数、近世代数续论
总学时：
160
总学分：
10
教学目的与要求：
《高等代数》是数学专业的一门重要基础课程，它是学生学习专业课程和以后从事科学研究的重要基础。
本课程向学生介绍代数最基本的概念、理论与方法。
内容主要包括多项式和线性代数理论，而多项式理论主要以一元多项式的因式分解及唯一性定理为主体，线性代数部分则较为系统地向学生介绍线性方程组，线性空间与线性变换，二次型，欧氏空间等的基本概念、基本理论及基本计算方法。
通过本课程的学习，要求学生掌握多项式理论、线性方程组理论、矩阵理论、线性空间与线性变换的理论、欧氏空间及其相关的线性变换理论。
本课程应注重学生关于空间及其联系的有关问题的学习，致力于培养学生的抽象思维和逻辑推理的能力，提高学生的分析、解决问题的能力。
教学内容与学时安排
序号
章目名称
学时分配
序号
章目名称
学时分配
讲授
实验
讲授
实验
1
多项式
22
6
线性空间
14
2
行列式
18
7
线性变换
22
3
线性方程组
20
8
λ-矩阵
10
4
矩阵
20
9
欧氏空间
14
5
二次型
12
10
双线性函数
8
第一章多项式（22学时）
第一节多项式的定义与运算
一、数域
数域的定义、性质，有理数域的最小性。
二、多项式的定义
多项式的定义，多项式的相等，零多项式，多项式的次数，次数定理。
三、多项式的运算
多项式的加法、减法，多项式的乘法，一元多项式环。
第二节带余除法、整除性
一、带余除法
带余除法定理，长除法，综合除法。
二、整除性
多项式整除的定义，性质。
第三节多项式的最大公因式
一、两个多项式的最大公因式
公因式，最大公因式，两个多项式的最大公因式的存在和唯一性定理。
二、两个多项式的互素
两个多项式的互素的定义，性质。
三、多个多项式的最大公因式和互素
第四节因式分解及唯一性定理
一、不可约多项式
不可约多项式的定义、性质。
二、因式分解及唯一性定理
因式分解及唯一性定理，多项式的标准分解及其应用。
第五节重因式
一、多项式的导数
多项式的导数的定义、求导法则。
二、重因式
重因式的概念，判定和去掉重因式的方法。
第六节多项式函数
一、多项式函数
多项式函数的概念，余数定理。
二、多项式的根
根的定义与性质。
三、多项式相等与多项式函数相等
第七节复系数与实系数多项式的因式分解
一、复系数多项式的因式分解
复数域上多项式的根和不可约多项式，复系数多项式的因式分解。
二、实系数多项式的因式分解
实数域上多项式的根和不可约多项式，实系数多项式的因式分解，根号解问题，根的近似解法。
第八节有理系数多项式
一、有理系数多项式的可约性
本原多项式，高斯（Gauss）引理，整系数多项式及其性质，艾森斯坦（Eisentein）因判别法。
二、有理系数多项式的有理根
第九节多元多项式与对称多项式
一、多元多项式
多元多项式的概念，次数，字典排序法，首项定理，齐次多项式，多元多项式函数。
二、对称多项式
对称多项式，初等对称多项式，对称多项式基本定理，对称多项式的初等对称多项式表示。
本章重点难点：
数域概念，有理数域的最小性；带余除法，辗转相除法，互素；因式分解定理，不可约多项式定义；重因式，余数定理；实多项式的因式分解，本原多项式概念。
教学基本要求：
1、理解数域和一元多项式的定义。
掌握多项式的一些基本概念：
多项式的相等，整除，因式、重因式、公因式、最大公因式、多项式的互素，不可约多项式，多元多项式、对称多项式、初等对称多项式等。
2、掌握一元多项式的基本理论和基本方法：
带余除法和整除性，因式，重因式，公因式，辗转相除法和最大公因式，数域P上的多项式的因式分解及唯一性，特殊数域上多项式的因式分解，多项式函数、重根和重因式。
基本掌握多元多项式的一些基本性质，会将对称多项式化为初等对称多项式的多项式。
第二章行列式（18学时）
第一节排列、n阶行列式的定义
一、二、三阶行列式
二、三阶行列式的定义，对角线计算方法。
二、排列
排列的定义和性质，逆序数，奇、偶排列。
三、n阶行列式的定义
n阶行列式的定义，上（下）三角形行列式的计算，对角形行列式的计算。
第二节n阶行列式的性质
一、行列式的性质
性质1—性质5，化三角形行列式求值，
形行列式。
二、行列式的几何意义
二阶行列式：
平行四边形的有向面积，三阶行列式：
平行六面体的有向体积。
第三节按行（列）展开定理
一、余子式和代数余子式
元素的余子式和代数余子式。
二、按行（列）展开定理
按行（列）展开定理及其推论，按行（列）展开定理的几何意义。
第四节n阶行列式的计算
一、行列式常用计算方法
定义法，归化法，降阶法，加边法，数学归纳法，递推法等。
二、几种重要的行列式
范德蒙德（
）行列式的性质和计算，箭形行列式，循环行列式等。
第五节克拉默（Cramer）法则
一、关于连加号的交换性质
二、克拉默法则
解线性方程组的克拉默法则及其推论。
三、克拉默法则的应用介绍
几何应用，多项式应用。
第六节拉普拉斯（Laplace）定理，行列式相乘规则
一、子式和余子式
行列式的子式、余子式和代数余子式。
二、拉普拉斯（Laplace）定理
拉普拉斯定理，特殊类型行列式计算公式。
三、行列式的乘法规则
行列式的乘法规则及其应用。
本章重点难点：
n阶行列式的定义，n阶行列式的计算；行列式的代数余子式及其展开定理；齐次线性方程有非零解的条件，行列式乘法规则；递推公式。
教学基本要求：
1、掌握行列式的一些基本概念：
排列，排列的逆序和逆序数，偶排列和奇排列，n级行列式的定义，矩阵的定义，矩阵的初等变换，行列式的子式、余子式和代数余子式等。
2、掌握排列的一些基本性质，行列式的基本性质，n级行列式的一些计算方法，掌握行列式按一行（列）展开，范德蒙德行列式的性质和计算，解线性方程组的Cramer法则，了解Laplace定理和行列式的乘法规则。
第三章线性方程组（20学时）
第一节消元法
一、矩阵的概念
矩阵的定义，零矩阵，负矩阵。
二、矩阵的初等行变换
矩阵的初等行变换，矩阵的等价，行阶梯形矩阵，简化行阶梯形矩阵。
三、消元法解线性方程组
非
升级会员 