九上第21章 一元二次方程 单元测试.docx

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九上第21章一元二次方程单元测试

第二十一章一元二次方程单元测试

一、单选题（共10题；共30分）

1、上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元.下列所列方程中正确的是（）

A、168（1+a）2=128B、168（1-a%）2=128

C、168（1-2a%）=128D、168（1-a2%）=128

2、在俄罗斯民间流着这样一道数学趣题：

甲、乙两人合养了若干头羊，而每头羊的卖价又恰与羊的头数相等，全部卖完后，两人按下面的方法分钱：

先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。

为了平均分配，甲应该找补给乙多少元？

（）

A、1元B、2元C、3元D、4元

3、已知关于x的方程（m+3）x2+x+m2+2m-3=0的一根为0，另一根不为0，则m的值为（）

A、1B、-3C、1或-3D、以上均不对

4、用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（）

A、（2x－2）（3x－4）=0∴2－2x=0或3x－4=0B、（x+3）（x－1）=1∴x+3=0或x－1=1

C、（x－2）（x－3）=2×3∴x－2=2或x－3=3D、x（x+2）=0∴x+2=0

5、已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足

，则m的值是

A、3或﹣1B、3C、1D、﹣3或1

6、方程x2=9的解是（　　）

A、x1=x2=3B、x1=x2=9C、x1=3，x2=﹣3D、x1=9，x2=﹣9

7、如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个实数根，那么实数k的取值范围是（　　）

A、k≤

B、k

C、k

D、k

8、已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，则该方程的另一根为（　　）

A、2B、3C、4D、8

9、若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（  ）

A、k＞1B、k≠0C、k＜1D、k＜1且k≠0

10、（2017•黔东南州）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则

+

的值为（  ）

A、2B、﹣1C、

D、﹣2

二、填空题（共8题；共25分）

11、（2015•凉山州）已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则

=________．

12、校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是　________米．

13、已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x=________.

14、某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是________

15、关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________

16、方程3x2﹣2x﹣1=0的一次项系数是________，常数项是________．

17、关于x的方程kx2﹣4x+3=0有实数根，k的取值范围________．

18、关于x的方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则实数k的值为________．

三、解答题（共5题；共35分）

19、已知关于x的方程（a-1）

+2x+a-1=0．

（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；

（2）当a为何值时，方程仅有一个根？

求出此时a的值及方程的根．

20、某商场进价为每件40元的商品，按每件50元出售时，每天可卖出500件.如果这种商品每件涨价1元，那么平均每天少卖出10件.当要求售价不高于每件70元时，要想每天获得8000元的利润，那么该商品每件应涨价多少元？

21、已知关于x的方程mx2﹣（m+3）x+3=0（m≠0）．

（1）求证：

方程总有两个实数根；

（2）如果方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，求满足条件的整数m的值．

22、解方程：

﹣x2﹣2x=2x+1

23、（2016•新疆）周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？

四、综合题（共1题；共10分）

24、已知关于x的方程x（x－k）＝2－k的一个根为2．

（1）求k的值；

（2）求方程2y（2k－y）＝1的解．

第二十一章一元二次方程单元测试答案解析

一、单选题

1、【答案】B

【考点】一元二次方程的应用

【解析】当商品第一次降价a%时，其售价为168-168a%=168（1-a%）；

当商品第二次降价a%后，其售价为168（1-a%）-168（1-a%）a%=168（1-a%）2．

∴168（1-a%）2=128．故选B．

2、【答案】B

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【分析】先设甲、乙两人合养了n头羊，两人先分了x次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了2y（0＜2y＜10，2y是整数）元，当甲找给乙钱后，甲乙都得到了（5+y）元，甲给了乙10-（5+y）=5-y元，再根据2y是奇数和偶数两种情况进行讨论即可．【解答】设甲、乙两人合养了n头羊，两人先分了x次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了2y（0＜2y＜10，2y是整数）元，当甲找给乙钱后，甲乙都得到了（5+y）元，甲给了乙10-（5+y）=5-y元，

∴有n2=20x+10+2y，

∵（20x+10）个位为0，2y是完全平方数的个位数，2y=1，4，5，6，9，

若2y是奇数，则2y=1，5，或9，

∴20x+10+2y=20x+11，20x+15或20x+19，

∵20x+11、20x+15、20x+19除以4的余数都是3，它们不是完全平方数，

∴2y是偶数，2y=4或6，y=2或3．

若y=2，n2=20x+14=2（10x+7），右边不是完全平方数

∴y=3，

∴甲应该找给乙5-3=2（元）钱．

故选：

B．【点评】本题考查的是一元二次方程的整数根与有理根，解答此题的关键是根据题意设出相应的未知数，得出关于n、x、y的方程，再分类讨论

3、【答案】A

【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系

【解析】【分析】首先将根为0代入方程解得m的值，然后利用根的判别式进行判断m的范围，再根据二次项系数不能为0，从而得到所求的m的值．【解答】∵关于x的方程（m+3）x2+x+m2+2m-3=0的一根为0，

∴（m+3）×02+0+m2+2m-3=0，

即m2+2m-3=0，

解得：

m=1或-3．

又关于x的方程的另一根不为0，

所以△＞0，

即1-4（m+3）（m2+2m-3）＞0，

解得：

m∈（-∞，+∞），当m=-3时，m+3=0，此方程不可能有两根，

故选A．【点评】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解和根的判别式的综合运用，关键是求到m的取值范围

4、【答案】A

【考点】解一元二次方程-因式分解法

【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程的一般步骤依次分析各项即可判断.

【解答】A.（2x－2）（3x－4）=0，∴2－2x=0或3x－4=0，本选项正确；

B.（x+3）（x－1）=1，展开得，x2－x+3x－3－1=0，整理得，x2+2x－4=0，故错误；

C.（x－2）（x－3）=2×3，展开得，x2－3x－2x+6－6=0，整理得，x2－5x=0，x（x－5）=0，所以x=0或者x-5=0，故错误；

D.x（x+2）=0，∴x=0或者x+2=0，故错误；

故选A.

【点评】熟练掌握各种解方程的一般方法是学习数学的基础，因而此类问题在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.

5、【答案】B

【考点】解一元二次方程-因式分解法，根的判别式，根与系数的关系

【解析】【分析】∵α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，

∴根据一元二次方程根与系数的关系，得α+β=﹣（2m+3），αβ=m2。

∵

，即

，∴

，即m2﹣2m﹣3=0。

解得，m=3或m=﹣1。

又∵由方程x2+（2m+3）x+m2=0根的判别式

解得

，

∴m=﹣1不合题意，舍去。

∴m=3。

故选B。

6、【答案】C

【考点】解一元二次方程-直接开平方法

【解析】【解答】解：

x2=9，

两边开平方，得x1=3，x2=﹣3．

故选C．

【分析】利用直接开平方法求解即可．

7、【答案】A

【考点】根的判别式

【解析】【解答】解：

∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个实数根，

∴△=（﹣6）2﹣4×1×2k=36﹣8k≥0，

解得：

k≤

．

故选A．

【分析】由方程有两个实数根结合根的判别式，得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．

8、【答案】C

【考点】根与系数的关系

【解析】【解答】解：

设关于x的方程x2﹣6x+m=0的另一个根是t，

由根与系数的关系得出：

t+2=6，

则t=4．

故选：

C．

【分析】设出方程的另一个跟，直接利用根与系数的关系求得答案即可．

9、【答案】D

【考点】根的判别式

【解析】【解答】解：

∵方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣6）2﹣4×k×9＞0，

解得：

k＜1，

又∵k≠0，

∴k＜1且k≠0，

故选：

D．

【分析】由方程有两个不相等的实数根得出∴△=（﹣6）2﹣4×k×9＞0，解之得出k的范围，结合一元二次方程的定义可得答案．

10、【答案】D

【考点】根与系数的关系

【解析】【解答】解：

根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，所以

+

=

=

=﹣2．

故选D．

【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，利用通分得到

+

=

，然后利用整体代入的方法计算

二、填空题

11、【答案】

【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系

【解析】【解答】解：

∵m≠n时，则m，n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣

．

∴原式=

=

=

=﹣

，

故答案为：

﹣

．

【分析】由m≠n时，得到m，n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．

12、【答案】2

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【解答】解：

设道路的宽为xm，依题意有

（32﹣x）（20﹣x）=540，

整理，得x2﹣52x+100=0，

∴（x﹣50）（x﹣2）=0，

∴x1=2，x2=50（不合题意，舍去），

答：

小道的宽应是2m．

故答案为：

2．

【分析】设道路的宽为xm，将4块草地平移为一个长方形，长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出道路的宽．

13、【答案】1

【考点】解一元二次方程-因式分解法

【解析】【解答】解：

设x2+3x=y，

方程变形得：

y2+2y﹣3=0，即（y﹣1）（y+3）=0，

解得：

y=1或y=﹣3，即x2+3x=1或x2+3x=﹣3（无解），

故答案为：

1．

【分析】设x2+3x=y，方程变形后，求出解得到y的值，即可确定出x2+3x的值．

14、【答案】289（1﹣x）2=256

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【解答】解：

根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2，

即方程为289（1﹣x）2=256．

故答案为：

289（1﹣x）2=256．

【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．

15、【答案】

【考点】根的判别式

【解析】【解答】解：

∵一元二次方程x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根，

∴△=32﹣4（﹣m）＞0，

∴

故答案为

【分析】根据一元二次方程x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根可得△=32﹣4（﹣m）＞0，求出m的取值范围即可．

16、【答案】﹣2；﹣1

【考点】一元二次方程的定义

【解析】【解答】解：

方程3x2﹣2x﹣1=0的一次项系数是﹣2，常数项是﹣1，

故答案为：

﹣2；﹣1．

【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项可得答案．

17、【答案】k≤

【考点】根的判别式

【解析】【解答】解：

当k=0，方程变形为﹣4x+3=0，此一元一次方程的解为x=

；当k≠0，△=16﹣4k×3≥0，解得k≤

，且k≠0时，方程有两个实数根，

综上所述实数k的取值范围为k≤

．

故答案为：

k≤

．

【分析】分类讨论：

当k=0，方程变形为﹣4x+3=0，此一元一次方程有解；当k≠0，△=16﹣4k×3≥0，方程有两个实数解，得到k≤

且k≠0，然后综合两种情况即可得到实数k的取值范围．

18、【答案】4

【考点】根的判别式

【解析】【解答】解：

∵方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4k=0，

即﹣4k=﹣16，

k=4

故本题答案为：

4．

【分析】若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于k的方程，求出k的取值．

三、解答题

19、【答案】

（1）将x＝2代入方程

，得

，解得：

a＝

．

将a＝

代入原方程得

，解得：

x1＝

，x2＝2．

∴a＝

，方程的另一根为

.

（2）①当a＝1时，方程为2x＝0，解得：

x＝0.

②当a≠1时，由b2－4ac＝0得4－4（a－1）2＝0，解得：

a＝2或0．

当a＝2时，原方程为：

x2＋2x＋1＝0，解得：

x1＝x2＝－1；

当a＝0时，原方程为：

－x2＋2x－1＝0，解得：

x1＝x2＝1．

综上所述，当a＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1.

【考点】一元二次方程的解，根的判别式

【解析】【分析】

（1）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；

（2）分两种情况探讨：

①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b2－4ac＝0求出a的值，再代入解方程即可．

20、【答案】解：

设售价应提高x元，依题意得

（10+x）（500-10x）=8000，

解这个方程，得x1=10，x2=30，

∵售价不高于70元，所以x=30不符合题意，

答：

该商品每件应涨价10元．

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【分析】一个商品原利润为50-40=10元，提价x元，现在利润为（10+x）元；根据题意，销售量为500-10x，由一个商品的利润×销售量=总利润，列方程求解．

21、【答案】

（1）证明：

∵m≠0，

∴方程mx2﹣（m+3）x+3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，

∴△=（m+3）2﹣4×m×3

=（m﹣3）2，

∵（m﹣3）2≥0，即△≥0，

∴方程总有两个实数根；

（2）解：

∵x=

，

∴x1=1，x2=

，

∵方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，

∴

为大于1的整数，

∵m为整数，

∴m=1．

【考点】根的判别式

【解析】【分析】

（1）先计算判别式得到△=（m+3）2﹣4×m×3=（m﹣3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；

（2）利用公式法可求出x1=1，x2=

，然后利用整除性即可得到m的值．

22、【答案】解：

方程整理得：

x2+4x+1=0，

这里a=1，b=4，c=1，

∵△=16﹣4=12，

∴x=

=﹣2±

；

【考点】解一元二次方程-公式法

【解析】【分析】方程整理后，利用公式法求出解即可；

23、【答案】解：

设要邀请x支球队参加比赛，由题意，得

x（x﹣1）=28，

解得：

x1=8，x2=﹣7（舍去）．

答：

应邀请8支球队参加比赛

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【分析】设要邀请x支球队参加比赛，则比赛的总场数为

x（x﹣1）场，与总场数为28场建立方程求出其解即可．本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时单循环形式比赛规则的总场数为等量关系建立方程是关键．

四、综合题

24、【答案】

（1）解：

将x＝2代入所给的方程中得：

，解得

；

（2）解：

将

代入方程2y（2k－y）＝1中得方程2y（4－y）＝1，整理得

∴

，

∴

，

∴

，

∴

．

【考点】解一元二次方程-公式法

【解析】【分析】先根据2是所给方程的一个根求出k的值，将k的值代入

（2）中可得到关于y的一元二次方程，整理成一般形式以后利用公式法解方程．